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Yassine
17-07-2017 18:52:24

J'insiste, j'ai une paille !

Supposons qu'on connaisse deux côtés et un angle. On a 3 inconnues (les deux autres angles et le troisième côté) et trois équations :
1) $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=\pi$
2) $\dfrac{a}{\sin\widehat{A}}=\dfrac{b}{\sin \widehat{B}}$
2) $\dfrac{b}{\sin \widehat{B}}=\dfrac{c}{\sin \widehat{C}}$
(on considère des angles dans $]0,\pi[$).
ça devrait donner une seule solution ?
Il faut que j'écrive le truc. Comme une égalité de sinus peut avoir deux solutions ($x=y$ ou $x=\pi-y$), ça peut cacher un train, mais comme j'ai contraint les angles dans $]0,\pi[$ ...

tibo
17-07-2017 17:40:41

Ha non, pas de paille dans tes yeux, mais dans les miens.
Mon contre-exemple est faux.

En voici un qui fonctionne :
$a=2$, $b=3$ et $\widehat{A}=\dfrac{\pi}{6}$



[edit]
Je m'étais planté en voulant généraliser de tête.
En fait il suffit de prendre $\widehat{A}\in\left]0;\dfrac{\pi}{3}\right[$ et $a\in]x;b[$, où $x$ est la distance de $C$ à $(AB)$

Yassine
17-07-2017 16:45:17

Re,
Je dois avoir une grosse paille dans l’œil, je ne vois pas ;-)

Tu as un triangle isocèle et tu connais un angle, tu les connais donc tous (deux égaux et somme égale à $\pi$), ensuite, avec la règle des sinus, tu déduis la dernière longueur non ?

tibo
17-07-2017 15:53:34

Salut,

Mon commentaire manquait clairement de rigueur (comme je le précisais entre parenthèses).
Parler d'espace de dimension 3 était certes une erreur.

Par contre à moi de te reprendre, un angle et deux longueurs peuvent définir 2 triangles selon l'angle donné :
Par exemple avec $a=b$ et $\widehat{A}\in\left]0;\dfrac{\pi}{3}\right[$, il y a deux triangles possibles.

Yassine
17-07-2017 13:03:08

Bonjour,
Pour ne pas polluer un autre fil, j'ouvre ici une nouvelle discussion suite à un commentaire de Tibo que je rappelle ci-dessous :

tibo a écrit :

En fait, on peut dire que l'ensemble des triangles est un espace de dimension 3.
(Ce n'est pas rigoureux du tout d'écrire ça comme ça, et il faudrait ajouter pas mal de précisions, mais grossièrement ça marche)
Cela signifie que pour définir un triangle, il faut connaitre 3 données de ce triangle (les 3 longueurs, un angle et 2 longueurs,...)

Donc l'existence d'une relation liant uniquement les 3 longueurs est impossible.
En effet, avec une telle relation, de 2 longueurs on pourrait calculer la troisième et alors définir complètement le triangle.
Ce qui entre en contradiction avec la dimension 3 de l'espace des triangles.

3 longueurs quelconques ne définissent pas toujours un triangle (imagine par exemple 1cm, 1cm et 1 année-lumière !)
Par contre, deux longueurs et un angle définissent toujours un triangle.
La contradiction apparente sur le nombre de degrés de liberté est en réalité cachée par le fait que l'angle s'entend à $\pi$ près.

Avec la loi des cosinus, on a $\displaystyle \cos \hat{A} = \dfrac{-a^2 + b^2 + c^2}{2bc}$, ce qui permet d'en déduire la relation
$(b-c)^2 \le a^2 \le (b+c)^2$. Donc, en ayant choisi $b$ et $c$, on n'est pas entièrement libre sur le choix de $a$. Par contre, toute valeur de $[b-c, b+c]$ (je suppose $b \ge c$) est légitime. On définit donc une région de $\mathbb{R}^3$

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