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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Alain Ratomahenin
- 07-12-2017 09:05:31
Bonjour .
Dans ma démonstration , il était question de démontrer l'identité des côtes du triangle semblable de hauteur 1 , notamment l'hypoténuse .
Il s'agit , dans ma manière , d'un rapport de proportions et non d'une réduction utilisant la formule de la hauteur . Y auriez vous pensé ? Dans le triangle normal , on trace un triangle semblable dont le côté parallèle à b ( plus petit côté ) est de hauteur 1 . On établi le rapport , avec le côté inconnu x , comme : ( x / 1 ) = ( b / a )
Pour le second inconnu , on trace un triangle semblable à l'autre extrémité du triangle normal .
- zebra
- 19-07-2017 14:16:48
salut
vous avez l'air de bien vous amuser
mais moi j'ai rien compris
je trouve que c'est pas très beau
merci quand même
- yoshi
- 18-07-2017 16:42:10
Salut,
Si elle ne fournit qu'un résultat approximatif, elle ne peut être considérée comme valide : c'est mathématiquement antinomique, incompatible...
@+
- Alain Ratomahenin
- 18-07-2017 15:34:52
Re
Donc on a affaire à des triangles tout à fait quelconques . Dans ton tableau , toutes les valeurs verifient grossièrement la formule de la hauteur h= bc/a et ce pour des valeurs très differentes .
Cette formule peut etre valide pour le triangle quelconque mais ne fournit qu'un resultat approximatif ?
- yoshi
- 18-07-2017 14:46:14
Salut,
j'ai décidé
* que mon triangle serait nommé ABC, avec AB =c, AC= b et BC =a (ça c'est standard)
* que les côtés seraient rangés dans l'ordre croissant de longueur
* que a serait toujours le plus grand et b le plus petit...
Si je ne prends pas cette précaution, je suis obligé de vérifier que la hauteur n'est pas extérieure à son côté auquel cas, mon calcul ne marche pas.
Je t'ai signalé le pb au post #27 p. 2...
On calcule tous les triangles possible à côtés entiers.
On élimine à chaque fois tous les multiples d'un triangle donné, en vérifiant que le pgcd des 2 petits côtés est 1 et tous les triangles rectangles grâce à la contraposée du théorème de Pythagore.
On stocke les autres dans une liste.
On reprend ensuite tous les triangles candidats, un par un et on exécute à chaque fois les opérations suivantes...
Exemple avec c,b,a =17,20,21...
1/2 périmètre p = 48/2=24
[tex]\text{aire du triangle s}=\sqrt{24(24-21)(24-20)(24-17)}=84[/tex]
or [tex]s = \frac{a\times h}{2}[/tex] d'où [tex]h =\frac{2s}{a}=\frac{168}{21}=8[/tex]
h entier ? Oui.
On continue
Connaissant a, b , c, h
Je cherche a1=CH, en calculant avec le théorème de Pythagore dans le triangle ABH :
[tex]a_1=\sqrt{c^2-h^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6[/tex]
a1 est-il entier ?
Oui
On calcule a2 = a - a1
Et on stocke les infos du triangle dans un sextuplet
(10,17,21,8,6,15)
qu'on affiche à l'écran...
Voilà ce que fait mon programme.
Et voilà les vrais résultats maintenant que j'ai corrigé mes erreurs de programmation.
Périmètre mini = 48, périmètre maxi = 500
b c a h a1 a2
10 17 21 8 6 15
13 20 21 12 5 16
17 25 28 15 8 20
13 37 40 12 5 35
25 29 36 20 15 21
15 37 44 12 9 35
17 39 44 15 8 36
15 41 52 9 12 40
20 37 51 12 16 35
29 35 48 21 20 28
25 39 56 15 20 36
25 51 52 24 7 45
26 51 55 24 10 45
25 52 63 20 15 48
29 52 69 20 21 48
35 53 66 28 21 45
40 51 77 24 32 45
25 74 77 24 7 70
34 65 93 16 30 63
29 75 92 21 20 72
52 73 75 48 20 55
39 85 92 36 15 77
53 75 88 45 28 60
68 75 77 60 32 45
37 91 96 35 12 84
60 73 91 48 36 55
25 101 114 20 15 99
51 74 115 24 45 70
65 87 88 60 25 63
17 113 120 15 8 112
29 101 120 20 21 99
41 104 105 40 9 96
68 87 95 60 32 63
58 85 117 40 42 75
25 113 132 15 20 112
73 80 119 48 55 64
65 89 132 39 52 80
65 109 116 60 25 91
37 125 132 35 12 120
53 100 141 28 45 96
65 106 123 56 33 90
39 113 148 15 36 112
52 101 147 20 48 99
68 109 123 60 32 91
53 117 136 45 28 108
90 97 119 72 54 65
73 102 145 48 55 90
75 109 136 60 45 91
65 119 138 56 33 105
26 145 153 24 10 143
89 116 123 80 39 84
87 100 143 60 63 80
87 109 154 60 63 91
85 104 171 40 75 96
105 116 143 84 63 80
39 164 175 36 15 160
85 111 182 36 77 105
97 120 161 72 65 96
100 109 171 60 80 91
51 145 188 24 45 143
45 164 187 36 27 160
73 143 180 55 48 132
119 137 144 105 56 88
73 148 195 48 55 140
110 137 171 88 66 105
91 159 170 84 35 135
91 125 204 35 84 120
106 119 195 56 90 105
119 145 156 105 56 100
61 185 186 60 11 175
74 145 213 24 70 143
65 173 204 52 39 165
85 149 208 51 68 140
35 197 216 28 21 195
89 170 189 80 39 150
41 202 207 40 9 198
97 153 200 72 65 135
68 185 207 60 32 175
55 183 224 33 44 180
111 175 176 105 36 140
137 145 188 105 88 100
51 205 224 45 24 200
65 183 236 33 56 180
53 205 228 45 28 200
85 164 237 36 77 160
97 170 219 72 65 154
136 169 183 120 64 119
29 221 240 21 20 220
53 197 240 28 45 195
116 159 215 84 80 135
97 169 228 65 72 156
109 156 235 60 91 144
@+
- Alain Ratomahenin
- 18-07-2017 13:32:50
Re
Je voulais dire a/c = h/b , bien sur . Il est à noter que cela se vérifie par le calcul de l'aire du triangle .
- Alain Ratomahenin
- 18-07-2017 11:49:57
Re
Je veux seulement savoir si dans un triangle quelconque a,b at c , c étant le plus grand , et h la hauteur , la relation a/c = b/h est à peu près vérifiée .
- yoshi
- 18-07-2017 10:05:18
Salut,
Tu m'assures que les triangles du deuxième tableau sont quelconques ?
1. Ces triangles sont scalènes : 3 côtés de longueurs différentes, donc ni isocèles ni équilatéraux. Les calculs sont éprouvés depuis 3 ans : ce sont de vrais triangles, tu peux le vérifier avec l'inégalité triangulaire...
2. Ce matin, avant de stocker les triangles dans une liste, j'ai ajouté une condition : [tex]a^2\neq b^2+c^2[/tex]. Ils ne sont pas rectangles non plus maintenant.
Par contre, il doit manquer des triangles...
Sinon pourquoi n'ai-je plus 10, 17, 21 : [tex]21^2\neq 10^2+17^2[/tex] ?
Je retourne dans mon programme voir ça de plus près...
@+
- Alain Ratomahenin
- 18-07-2017 08:43:44
Bonjour
@Yoshi
Tu m'assures que les triangles du deuxième tableau sont quelconques ?
j'ais essayé de verifier la formule de la hauteur h = ab / c . Cette relation est à peu près vérifiée dans le deuxième tableau : Cela marcherait il aussi pour les triangles quelconques ?
- yoshi
- 18-07-2017 06:42:50
Bonjour,
Après vérification :
1. Il y a bien des triangles rectangles dans le lot. Code modifié pour les éliminer
2. Il y a avait aussi tous les multiples d'un triangle qui convenait. Code modifié : je les élimine aussi : pas d'intérêt
Après quoi, pas de réponse avant un triangle de périmètre 54...
J'ai poussé le périmètre maxi jusqu'à 5000.
Voici les résultats uniques :
b c a h a1 a2
13 20 21 12 5 16
25 51 52 24 7 45
52 73 75 48 20 55
68 75 77 60 32 45
65 87 88 60 25 63
41 104 105 40 9 96
61 185 186 60 11 175
111 175 176 105 36 140
149 221 222 140 51 171
85 300 301 84 13 288
233 260 261 208 105 156
175 318 319 168 49 270
113 455 456 112 15 441
145 656 657 144 17 640
433 650 651 408 145 506
181 909 910 180 19 891
369 850 851 360 81 770
221 1220 1221 220 21 1200
520 1071 1073 504 128 945
754 985 987 696 290 697
505 1287 1288 495 100 1188
265 1595 1596 264 23 1573
949 1500 1501 900 301 1200
1275 1507 1508 1155 540 968
313 2040 2041 312 25 2016
671 1875 1876 660 121 1755
Cela fait peu finalement...
@+
- yoshi
- 17-07-2017 13:18:24
Re:Re,
s'agit il de triangles rectangles ?
En principe non... Peut-être certains le sont-ils, pas vérifié
Ils sont scalènes, présentés ordonnés dans l'ordre croissant des longueurs des côtés c, b, a...
Le point A est opposé au côté de valeur a,... etc...
J'ai choisi cette approche pour que, [BC] étant le plus grand côté, je pied H de la hauteur [AH] abaissée sur [BC] soit toujours entre B et C.
Ceci me permet alors d'en déduire a1 et a2... (l'équivalent des c1, c2 de ta notation).
J'ai calculé l'aire de chaque triangle par la formule de Heron, en utilisant a, je trouve h.
Si h est entier, je continue.
Je calcule alors alors a1
S'il est entier alors je trouve a2 : a-a1...
Je te rassure, je n'ai rien calculé à la main, j'ai modifié un programme écrit en Python il y a 3 ans, qui faisait d'autres choses bien plus complexes...
@+
- yoshi
- 17-07-2017 12:52:49
Re,
Avec les valeurs fournies au post #44 (pour un périmètre maxi de 200, mais je peux aller beaucoup plus haut. Le périmètre mini est 48, aucun triangle n'est trouvé avant), pourquoi ne collectes-tu pas les triangles où ta propriété est vraie, puis en les comparant, ne cherches-tu pas à quelle condition ?
Qu'est-ce qui est homogène ?
- Le triangle ? Peux-tu me dessiner un triangle qui ne l'est pas ?
- Le barycentre ? Qu'est-ce-que tu appelles barycentre homogène ? Quand ne l'est-il pas ?
Pour le dessin , il s'agit du barycentre d'un triangle quelconque
Tu vas me trouver pénible...
Mais barycentre tout court, ça ne veut rien dire, c'est incomplet...
Tu as un triangle ABC, On pose A(a), B(b) et C(c).
Moyennant quoi tu peux chercher le barycentre de [tex]\{(A,a),(B,b),(C,c)\}[/tex]
Si tu prends a=b=c=1, alors le barycentre est G centre de gravité du triangle... sinon, non !
Il y a bien longtemps, je m'amusais à construire des carrés magiques...
J'avais ramené chaque case au point centre de chaque carré et je leur avais affecté un coefficient égal au nombre placé dans le carré et j'avais cherché si le Barycentre de ces points affectés des coefficients cités ci-dessus se trouvait au centre théorique du carré...
Autrement dit, dans le domaine physique,
- prenons un plateau solide carré à la structure homogène sur lequel sont tracées n² cases
- suspendons ce plateau par un fil à la structure homogène par son centre théorique : il est horizontal.
- posons sur les n² cases, des masses en matière homogène, positionnées de façon parfaitement centrées dans les cases carrées, de 1 g à n² g
Question : le plateau reste-t-il horizontal ?
A priori, on pourrait croire que oui, et pourtant en général, c'est non...
Sauf dans un cas bien particulier de carré magique...
@+
- Alain Ratomahenin
- 17-07-2017 12:48:51
Re
Oui , en fait c'est bien du centre de gravité qu'il s'agit . La relation qui en découle F ( a' + b' + c' ) = 0 peut etre interressante si on arrive à trouver d'autres relations dans ce schéma .
Pour le tableau de valeurs j'ais remarqué qu'elles verifiaient grossièrement la relation hc = ab : s'agit il de triangles rectangles ?
Par contre j'ai vu que la relation de Pythagore avec h**2 + a2**2 = c**2 ? Là j'avoue ne pas comprendre ....
- Alain Ratomahenin
- 17-07-2017 11:16:50
Re
@Yoshi
Merci beaucoup pour ton travail que je n'oserais remettre en question . Ces valeurs m'ont permis de voir que ma relation est completement à coté . Elle ne doit etre vraie que pour certains triangles quelconques .
En fait , pour un h donné on augmente la longueur de b qui entraine l'augmentation c2 . On voit que la relation est grossièrement verifiée .
Pour le dessin , il s'agit du barycentre d'un triangle quelconque . Comme il est homogène , les forces gravitationnelles appliquées aux sommets sont égales . Le triangle est toujours en équilibre sur son axe pivotant car la somme des moments des forces est égal à 0 .
Ce qui donne une nouvelle relation qui met en jeu les trois cotés . Le travail consiste à déduire les relations existantes dans ce schéma .
J'ai mis ce principe en évidence il y a 30 ans de ça . j'en ais fait part à l'APMEP et à l'académie des sciences sans qu'aucunes suites ne me soient accordées .
- yoshi
- 17-07-2017 10:05:46
Salut,
Tu brilles toujours autant par tes explications...
Ton dessin est inexploitable sans...
Alors, puisque c'est comme ça, chacun son tour de jouer aux devinettes. Chose promise, chose due : j'ai travaillé pour toi...
Je te livre des résultat bruts, sans explications (j'en avais pourtant prévues).
b c a h a1 a2
10 17 21 8 6 15
13 20 21 12 5 16
15 20 25 12 9 16
17 25 28 15 8 20
13 37 40 12 5 35
25 29 36 20 15 21
15 37 44 12 9 35
20 34 42 16 12 30
17 39 44 15 8 36
15 41 52 9 12 40
20 37 51 12 16 35
26 40 42 24 10 32
29 35 48 21 20 28
25 39 56 15 20 36
30 40 50 24 18 32
25 51 52 24 7 45
26 51 55 24 10 45
25 52 63 20 15 48
34 50 56 30 16 40
30 51 63 24 18 45
29 52 69 20 21 48
35 53 66 28 21 45
20 65 75 16 12 63
39 60 63 36 15 48
40 51 77 24 32 45
25 74 77 24 7 70
26 74 80 24 10 70
45 60 75 36 27 48
50 58 72 40 30 42
30 74 88 24 18 70
34 65 93 16 30 63
40 68 84 32 24 60
29 75 92 21 20 72
@+