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Yassine
17-06-2017 09:52:25

Ah, j'avais mal lu. Je n'ai pas vu qu'on demandait des ouverts de $E_1$ et de $E_2$ respectivement, au temps pour moi !

Fred
16-06-2017 21:51:40

Si $E_1=\{0\}$, alors $\Omega_1=E_1=\{0\}$ est bien un ouvert de $E_1$ (relativement à la topologie induite sur $E_1$).
Un ouvert de $E_1$ est l'intersection d'un ouvert de $E$ avec $E_1$.

F.

Yassine
16-06-2017 21:06:22

Bonsoir,
Une petite question Fred, qu'est ce qui garantit que $\Omega_1$ et $\Omega_2$ sont ouverts ? notamment dans le cas $E_1=\{0\}$.

Fred
16-06-2017 18:53:11

Tu prends $x\in a+\Omega_1+\Omega_2$. Il s'écrit $x=a+y_1+y_2$ avec $y_1\in \Omega_1$ et $y_2\in\Omega_2$, donc $\|y_1\|<r/2$ et $\|y_2\|<r/2$. Tu en déduis que $\|x-a\|=\|y_1+y_2\|\leq \|y_1\|+\|y_2\|\leq\dots$.

F.

checkmaths
16-06-2017 14:39:49

Pourrais-tu m'expliquer où et comment tu fais pour utiliser l'inégalité triangulaire ? pcq je n'ai jamais vu d'inégalité triangulaire avec des boules... Je suis vraiment paumé... Merci

Fred
16-06-2017 08:19:54

Bonjour,

  J'imagine que $\Omega$ est ouvert. Dans ce cas, il s'agit juste d'appliquer l'inégalité triangulaire : Soit $r>0$ tel que $B(a,r)\subset\Omega$. Pose $\Omega_1=B(0,r/2)\cap E_1$ et $\Omega_2=B(0,r/2)\cap E_2$.

F.

checkmaths
15-06-2017 17:50:09

Bonsoir, je suis étudiant en L3 Maths et je vais au rattrapage...
Je suis donc en train de refaire un exercice de l'examen de Calcul Différentiel de juin 2017.

[tex]\textrm{Dans tout l'exercice,  }E\textrm{ et }F\textrm{ sont des espaces vectoriels de dimension finies }(\dim E=n\textrm{, }\dim F=m),\\\textrm{et }\Omega\textrm{ est un ouvert de }E.[/tex]


[tex]\textbf{A.}\hspace{0,8cm}\textrm{Soit }g:\Omega\subset E\rightarrow F\textrm{ une application }C^1\textrm{, }a\in\Omega\textrm{ et }b\in F\textrm{. On pose }M=g^{-1}(\{b\})\textrm{. On suppose}\\\textrm{que }a\in M\textrm{ et que d}g(a)\textrm{ est surjective. On note }E_1=\ker\textrm{d}g(a)\textrm{ et soit }E_2\textrm{ un supplémentaire de }E_1\textrm{ :}\\E=E_1\oplus E_2.[/tex]

[tex]\hspace{0.6cm}1.\hspace{0.5cm}\textrm{Montrer que d}g(a)_{|E_2}\in\textrm{Isom}(E_2,F).[/tex]

[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{On a }\ker\textrm{d}g(a)_{|E_2}=E_2\cap\ker\textrm{d}g(a)=\{0\}\textrm{ donc d}g(a)_{|E_2}:E_2\rightarrow F\textrm{ est injective. De +, on a}[/tex]
[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{d}g(a)_{|E_2}=\textrm{d}g(a)(E_2)=\textrm{d}g(a)(E_2+\ker\textrm{d}g(a))=\textrm{d}g(a)(E)=F\textrm{ donc d}g(a)_{|E_2}\textrm{ est surjective.}[/tex]
[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{Ainsi d}g(a)_{|E_2}\in\textrm{Isom}(E_2,F).[/tex]

[tex]\hspace{0,6cm}2.\hspace{0.5cm}\textrm{Montrer qu'il existe }\Omega_1\textrm{ et }\Omega_2\textrm{ des voisinages ouverts de }0\textrm{ dans }E_1\textrm{ et }E_2\textrm{ respectivement, tels}[/tex]
[tex]\hspace{1,4cm}\textrm{que }a+\Omega_1+\Omega_2\subset\Omega.[/tex]

Et là, je suis complètement paumé...

Pourriez-vous m'aider svp ?

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