Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour
Quelques remarques :
1) tu dis que $\limsup_{n} \sin(n) = 1$. Est-ce que c'est un résultat que vous aviez déjà montré ou tu penses que c'est évident ?
2) Si $f$ est une fonction quelconque, $\limsup_{n} \sin(n) = 1 \nRightarrow \limsup_{n} \sin(f(n)) = 1$, il suffit de prendre comme contre exemple les fonctions $x \mapsto 0$ et $x \mapsto 2\pi x$
3) Si par contre, si $f$ est continue et croissante, alors $\limsup_{n} \sin(n) = 1 \Rightarrow \limsup_{n} f(\sin(n)) = 1$ (du moins, je pense que ça devrait se démontrer simplement).

Bonjour,
Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris tes posts. Pourrais-tu récapituler ?
Je pense que la partie la plus compliquée de l'exercice est l'approximation diophantienne.

Bonjour, la lim sup de sin est $sqrt(2),$
Alors a-t-on le droit de dire que la lim suo de $sin(n+\pi/4)$ est 1 car c'est la composée de $n+\pi/4$ par sin?

Bonjour,
J'imagine qu'il faut alors regarder si $n + \dfrac{\pi}{4}$ peut s'approcher autant qu'on veut de $\dfrac{\pi}{2}$, à $2k\pi$ près.
C'est à dire, $\forall \varepsilon > 0$, $\exists n,k \in \mathbb{Z}$, $|n + \dfrac{\pi}{4} - 2k\pi| < \varepsilon$, dans ce cas, $\sin(n + \dfrac{\pi}{4})$ sera aussi proche de $1$ qu'on veut.

bonsoir,
Par exemple, tu commencer par essayer de mettre cette somme sous la forme [tex]\sqrt2 . \sin(n+ a)[/tex] où [tex]a[/tex] est une constante bien choisie, genre [tex]\pi/...[/tex]