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mouradch
24-05-2017 22:53:31

bonjour;
Voila ma question: je dispose d'1 tableau; à 2 colonnes les (xi,yi)  (les xi sont équidistants) et je compte faire une interpolation en polynôme de Tchebychev, pour trouver ce polynôme la règle impose que les xi doivent être sous forme xi=( ......abscisses de Tchebychev ) mais comment trouver les yi qui leurs correspondent afin de trouver les coefficients de Tchebychev (a0,a1,a2,.........an), je ne dispose pas d'une fonction analytique, je dispose que du tableau de valeurs discrètes cité ci dessus (xi,yi).

Chehrouri
12-05-2017 12:00:52

bonjour;
Voila ma question: je dispose d'1 tableau; à 2 colonnes les (xi,yi)  (les xi sont équidistants) et je compte faire une interpolation en polynôme de Tchebychev, pour trouver ce polynôme la règle impose que les xi doivent être sous forme xi=( ......abscisses de Tchebychev ) mais comment trouver les yi qui leurs correspondent afin de trouver les coefficients de Tchebychev (a0,a1,a2,.........an), je ne dispose pas d'une fonction analytique, je dispose que du tableau de valeurs discrètes cité ci dessus (xi,yi).

Fred
23-04-2017 06:17:19

Tu n'as pas lu mon indication !

emna123
22-04-2017 22:12:24

[tex]a_n=Re(a_n)+iIm(a_n)[/tex], soit [tex]z=Re^{i\theta}[/tex]

[tex]Re\Big(a_nz^n\Big)=Re\Big((Re(a_n)+iIm(a_n))(R^n(cos(n\theta)+isin(n\theta)))\Big)=R^n[Re(a_n) (cos(n\theta))-Im(a_n)sin(n\theta)][/tex]
et
[tex]|a_nz^n|=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}R^n[/tex]

Il faut choisir [tex]\theta[/tex] tel que
[tex]Re(a_n) cos(n\theta)-Im(a_n)sin(n\theta)=(Re(a_n)^2+Im(a_n)^2)^{1/2}[/tex]

je n'arrive pas à trouver un tel  [tex]\theta[/tex]. Merci de m'aider

Fred
22-04-2017 20:48:35

Re-

  Tu choisis un $z$ avec $|z|=R$ et tel que $Re(a_n z^n)=|a_nz^n|=|a_n|R^n$ (je te laisse justifier l'existence d'un tel $z$, écris $a_n$ sous forme trigo...). Puis ensuite
$$Re(P(z))\geq Re(a_n z^n)-\sum_{i=0}^{n-1}|a_i||z^i|$$
et tu termines comme précédemment....

F.

emna123
22-04-2017 17:57:33

En fait mon but initial est de prouver l’existence des constante strictement positives [tex]\displaystyle c_1,c'_1,c_2, c'_2[/tex] tel que

[tex]M(R)=max_{|z|=R}|f(z)|[/tex] vérifie

[tex]\displaystyle c_2e^{c'_2R^n}\le M(R)\le c_1e^{c'_1R^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] assez grand

emna123
22-04-2017 17:18:26

edit: les constantes doivent être strictement positives

emna123
22-04-2017 16:58:43

D'accord,

J'ai une autre question:
Pour un polynôme de degré $n$ on considère

[tex]f(z) = e ^{p_n(z)}[/tex], je veux montrer qu'il existent  des  constantes [tex]c_1,c'_1,c_2, c'_2[/tex]  tel que
[tex]c_2e^{c'_2R^n}\le |f(z)|\le c_1e^{c'_1R^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] assez grand.

voici ce que j'ai écrit:
[tex]|f(z) |= |e ^{p_n(z)}|=e ^{Re(p_n(z))}\le e^{|p_n(z)|}\le e^{cR^n}[/tex] pour [tex]R[/tex] supérieur ou égal à 1  où [tex]c=n \max_{0 \leq k \leq n} |a_k| R^n[/tex] (on utilise l'inégalité triangulaire)

Mais pour l'inégalité à gauche je n'ai pas pu la montré. Je serai reconnaissante si vous m'aidez

Fred
22-04-2017 15:43:21

Presque pareil....

$\sum_{i=1}^{n-1}|a_i|r^i\le \frac{|a_n|}2 r^n$
pour $r$ assez grand....

F.

emna123
22-04-2017 09:34:26

Bonjour Fred,

[tex]\displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;|z|^i=\sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^i\le \sum_{i=1}^{n} |a_i|\;r^n[/tex] car pour [tex]r[/tex] assez grand [tex]r^k\le r^n[/tex] pour tout [tex]1\le k\le n-1[/tex]

pour le terme à gauche [tex]\displaystyle \Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|[/tex] implique
[tex]\displaystyle |a_nz^n|-|\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| \le |\displaystyle P(z)|[/tex] implique

[tex]\displaystyle |a_nz^n|-\sum_{i=1}^{n-1}| a_i|\;|z|^i\le |\displaystyle P(z)|[/tex]  et je sait pas quoi faire ici?

Fred
22-04-2017 08:57:07

Puisque tu tt'intéresses à M(r) tu spooses que le module de z vaut r. Dans l'inégalité de droite tu peux encore utiliser l'inégalité triangulaire puis utiliser que  $ r^k $ est bien plus petit que  $ r^n $ si  $ r $ est assez grand...

emna123
21-04-2017 21:39:36

[tex]|\displaystyle P(z)|=|\sum_{i=1}^{n} a_iz^i|=|\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i+a_nz^n|[/tex]

[tex]\Big|\;\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i| -|a_nz^n|\Big|\le |\displaystyle P(z)|\le |\sum_{i=1}^{n-1} a_iz^i|+|a_nz^n|[/tex]

et ensuite que faut il faire?

Fred
21-04-2017 21:15:36

Bonjour

  Sépare dans ton polynôme le terme de plus haut degré des autres puis majore et minore en utilisant l'inégalité triangulaire de la façon la plus naïve possible.

Fred

emna123
21-04-2017 20:09:03

Bonjour

Merci de m'aider à montrer le résultat suivant:

Soit [tex]P[/tex] un polynôme alors [tex]P=\sum_{n=1}^{+\infty} a_nz^n[/tex] avec [tex]a_n=\frac{f^{n}(0)}{n!}[/tex].
Montrer qu'il existe deux constantes [tex]C_1[/tex] et [tex]C_2[/tex] strictement positives tel que
[tex]C_1 r^n\le M(r)\le C_2 r^n[/tex] pour [tex]r[/tex] assez grand? où [tex]M(r)=max_{|z|=r}|P(z)|[/tex]

Merci en avance

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