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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

yoshi
11-02-2018 11:04:17

Bonjour,

Q6  a)
[tex]\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)= ?[/tex]    et    [tex] \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)= ?[/tex]
      [tex]\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{2}[/tex]  donc ici, remplacer dans tes formules Q3 et Q4  $x$ par [tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex]
      sachant que :
     [tex]\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)= \dfrac{\sqrt 2}{2}[/tex]

     [tex]\sin^2\left(\dfrac x 2\right)=\dfrac{1-\cos(x)}{2}[/tex] 
     Donc les cos et sin de l'angle demandé, étant positifs :
     [tex]\sin\left(\dfrac x 2\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos(x)}{2}}[/tex] 

     [tex]\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt 2}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac 1 2 - \dfrac{\sqrt 2}{4}}=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt 2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2}[/tex]
     A toi le cos...

Q6 b)
$\dfrac x 2=\dfrac{7\pi}{8}=\pi-\dfrac{\pi}{8}$  Donc $x= 2\pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\dfrac x 2=\dfrac{9\pi}{8}=\pi+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= 2\pi+\dfrac{\pi}{4}$   et  $\cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\dfrac x 2=\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= \pi+\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ (1)
$\dfrac x 2=\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x=   \pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ (2)

(1) $\cos(\pi+x)=\-cos (x)$ et  $\sin(\pi+x)=- sin(x)$   (symétrie par rapport à l'origine)
(2) $\cos(\pi-x)=\-cos (x)$  et  $\sin(\pi-x)= sin(x)$     (symétrie par rapport à l'axe des sinus)

Je me demande pourquoi je me fatigue : pas de retour...

@+

yoshi
09-02-2018 17:23:29

Bonsoir,

1. Cas où [tex]x\in [\pi\,;\,2\pi][/tex]
   Donc [tex]x> \pi[/tex]
   Par exemple [tex]x=\dfrac{4\pi}{3}[/tex]
  [tex]x=\pi+\dfrac{\pi}{3}[/tex]
   
   Et comme :
   [tex]\cos(\pi+a)=-\cos(a)[/tex]
   [tex]\sin(\pi+a)=-\sin(a)[/tex]
   Alors avec mon exemple :
   [tex]\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)= \cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex]
   [tex]\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)= \sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex]
   Avec les formules établies pour x/2 :
   [tex]\cos^2\left(\dfrac{4\pi}{6}\right)=\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)}{2}=\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{2}=\dfrac{\dfrac 1 2}{2}=\dfrac 1 4[/tex]
   Et il y a deux nombres a tel que [tex]a^2=\dfrac 1 4[/tex] : [tex]\dfrac 1 2[/tex] et [tex]-\dfrac 1 2[/tex]
   Puisque [tex]\dfrac{4\pi}{6} \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\;\pi\right][/tex] alors [tex] \cos\left(\dfrac{4\pi}{6}\right)<0[/tex]
   Donc [tex]\cos\left(\dfrac{4\pi}{6}\right)=-\dfrac 1 2[/tex]
   Qu'est-ce que j'ai fait ?
   J'ai écrit l'angle x sous la forme [tex]\pi +a[/tex] avec a donc [tex]\in[0\,;\,\pi][/tex]
   Puis j'ai utilisé :
   [tex]\cos(\pi+a)=-\cos(a)[/tex]
   [tex]\sin(\pi+a)=-\sin(a)[/tex]
   Et dans les formules établies, j'ai remplacé $\cos(x)$ et $\sin(x)$ par $-\cos(a)$ et $-\sin(a)$

2. Cas où [tex]x\in [-\pi\,;\,0][/tex]
   Par exemple [tex]x=\dfrac{-\pi}{3}[/tex]
   Les formules à utiliser sont cette fois :
   [tex]\cos(-x)=\cos(x)[/tex]
   [tex]\sin(-x)=-\sin(x)[/tex]
   Dans les formules établies, je remplace $\cos(x)$ et $\sin(x)$ par $\cos(x)$ et $-\sin(x)$
   [tex]\cos^2\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{1+\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}{2}=\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{2}=\dfrac{1+{\dfrac 1 2}}{2}=\dfrac 3 4[/tex]
  Et comme [tex]\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) >0[/tex]  alors

N-B Dans le cas n°1, tu pouvais aussi procéder ainsi en écrivant : [tex]\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)= \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}-2\pi\right)=\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)[/tex]
     Que tu enlèves ou ajoute [tex]2\pi[/tex] à un angle ne change ni, le cosinus, ni le sinus (ni la tangente)

3. Cas où [tex]x >2\pi[/tex] Tu enlèves le nombre de fois (ou ajoute, selon son signe) [tex]2\pi[/tex] à ton angle et tu te retrouveras dans l'un des deux cas précédents...

A suivre

holo
08-02-2018 12:41:36

tu as fait quoi comme calcule pour la 4?

chiantigallo
14-03-2017 07:46:34

bonjour, si tu connais sin(pi/8) tu peux facilement calculer    sin(pi-pi/8) ou bien sin (pi+pi/8)
sin(5pi/8)=sin(pi/2+sin(pi/8)  .
Sin (3pi/8)=sin (pi/2-sin(pi/8)
Un bonjour du chianti!
Emile

Veroniqua1
03-03-2017 11:05:06

Soit un réel x appartient à [0;pi]. On note M le point du cercle C associé à x, et H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OIM.
1.a. Rappeler les coordonnées des point I et M.
I(1;0) et M(cosx; sin x)

b. En déduire la distance IM en fonction de x
IM= racine (2-2 cos x)

2. Démontrer que MH=sin(x/2)
Normalement j'ai réussi à le prouver

3. En déduire l'expression de sin (x/2) en fonction de cos x
1-2sin2(x/2)= cos(x)

4. Démontrer que cos (x/2)=racine ((1+cos x)/2)
J'ai trouvé ce résultat.

C'est à partir d'ici que j'ai besoin d'aide !
5. Expliquer comment on peut calculer cos(x/2) et sin(x/2) à partir des formules précédentes dans le cas ou x est un réel quelconque, pas forcément dans l'intervalle [0;pi]

6.a. Justifier les résultats obtenus par le logiciel Xcas ci-contre (les résultats sont les suivants:
cos(pi/8)= racine((racine2 + 2)/2)
sin(pi/8)= racine((-(racine2)+2)/2)

b. En déduire les valeurs exactes des cosinus et sinus de :
7pi/8
9pi/8
5pi/8
3pi/8

7. Déterminer les lignes trigonométriques de:
pi/12
11pi/12
13pi/12
5pi/12
7pi/12


Je vous en supplis aidez moi à partir de la question 5. Merci d'avance.

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