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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

yoshi
05-05-2018 14:54:25

Re,

Quand un exercice aussi "touffu" est sorti du placard, il arrive que les allers-et retours à l'énoncé engendre des sottises (chez moi, surtout le soir)...
Les questions étaient celles-ci :

6.a. Justifier les résultats obtenus par le logiciel Xcas ci-contre (les résultats sont les suivants:
cos(pi/8)= racine((racine2 + 2)/2)
sin(pi/8)= racine((-(racine2)+2)/2)

b. En déduire les valeurs exactes des cosinus et sinus de :
7pi/8
9pi/8
5pi/8
3pi/8

Toi tu modifies la 6. b) ainsi :
En déduire les valeurs exactes des cosinus et sinus de :
pi/12;
11pi/12
13pi/12
5pi/12
7pi/12
C'est bien ça ?
Alors, il faut se souvenir que
[tex]\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{\sqrt 3}{2}[/tex]  et  [tex]\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac 1 2[/tex]
D'autre part, comme utilisé dans l'exercice :
1. Cosinus
[tex]\cos(x)=2\cos^2\left(\dfrac x 2\right)-1[/tex] 
d'où
[tex] \cos\left(\dfrac x 2\right)=\sqrt{\dfrac{1+cos(x)}{2}}[/tex] pour [tex]\dfrac x 2 \in \left[-\dfrac{\pi}{2}\,;\,+\dfrac{\pi}{2}\right][/tex] et [tex]=-\sqrt{\dfrac{1+cos(x)}{2}}[/tex] pour [tex]\dfrac x 2 \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\,\dfrac{3\pi}{2}\right][/tex]

2. Sinus
[tex]\cos(x)=1-2\sin ^2\left(\dfrac x 2\right)[/tex] 
d'où
[tex] \sin\left(\dfrac x 2\right)=\sqrt{\dfrac{1-cos(x)}{2}}[/tex] pour [tex]\dfrac x 2 \in \left[0\,;\,\pi\right][/tex] et [tex]=-\sqrt{\dfrac{1-cos(x)}{2}}[/tex] pour [tex]\dfrac x 2 \in \left[\pi\,;\,2\pi\right][/tex]

Donc
[tex]\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\cos\left(\dfrac{\dfrac{\pi}{6}}{2}\right)[/tex] , $x$ c'est [tex]\dfrac{\pi}{6}[/tex]
On en déduit :
[tex]\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt 3}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac 1 2+\dfrac{\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt 3}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt 3}}{2}[/tex]

[tex]\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt 3}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac 1 2-\dfrac{\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt 3}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 3}}{2}[/tex]


Je pense que tu as compris pour le suivant qu'il faut exprimer sinus et cosinus de [tex]\dfrac{7\pi}{12}[/tex] par rapport au cosinus de l'angle double [tex]\dfrac{7\pi}{6}[/tex]
Et là tu as donc besoin du [tex]\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)[/tex]...
[tex]\dfrac{7\pi}{6}=\pi+\dfrac{\pi}{6}[/tex]   donc   [tex]\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt 3}{2}[/tex]

J'utilise les formules remises en évidence :
[tex]\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt 3}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac 1 2-\dfrac{\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt 3}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 3}}{2}[/tex]

[tex]\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{7\pi}{6}\right)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\dfrac{\sqrt 3}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac 1 2+\dfrac{\sqrt 3}{4}}=\sqrt{\dfrac{2+\sqrt 3}{4}}=\dfrac{\sqrt{2+\sqrt 3}}{2}[/tex]


Pour 13pi/12

Soit tu écris que :
[tex]\dfrac x 2 =\dfrac {13\pi}{12}=\pi + \dfrac{\pi}{12}[/tex]  Donc [tex] x = 2\pi+ \dfrac{\pi}{6}[/tex]
soit :
[tex]\dfrac{13\pi}{12}=\dfrac{\dfrac{13\pi}{6}}{2}[/tex]  avec [tex]\dfrac x 2 =\dfrac{13\pi}{12}[/tex]  et [tex]x =\dfrac{13\pi}{6}=2\pi+\dfrac{\pi}{6}[/tex]

Et dans les deux cas
- Tu en déduis que :  [tex]\cos\left(2\pi+ \dfrac{\pi}{6}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt 3}{2}[/tex]
- Tu dégaines ta formule : [tex]\cos\left(\dfrac{13\pi}{12}\right)=\sqrt{\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{13\pi}{6}\right)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)}{2}}=\cdots[/tex]


A toi la suite...

@+

Theo.glac
05-05-2018 12:33:34

Bonjour, je suis pas très sûr d'avoir compris la question 6) b) enfin, si cela ne vous derange pas, pourrez-vous me montrer avec ces cinq exemples : pi/12; 11pi/12; 13pi/12; 5pi/12 et 7pi/12

yoshi
04-05-2018 14:09:58

Salut,

Oh mon dieu! Je crois avoir très bien compris

Ah bon ? Ça t'étonne tant que ça ?...

J'ai écrit :
1.

$\dfrac x 2=\dfrac{7\pi}{8}=\pi-\dfrac{\pi}{8}$  Donc $x= 2\pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

D'où :
$\dfrac x 2=\dfrac{7\pi}{8}=\pi-\dfrac{\pi}{8}$  Donc $x= 2\pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\sin(x)=\sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt 2}{2}$

2.

$\dfrac x 2=\dfrac{9\pi}{8}=\pi+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= 2\pi+\dfrac{\pi}{4}$   et  $\cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$

d'où
$\dfrac x 2=\dfrac{9\pi}{8}=\pi+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= 2\pi+\dfrac{\pi}{4}$   et  $\sin(x)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt 2}{2}$

3.

$\dfrac x 2=\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= \pi+\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=$   (1)

d'où :
$\dfrac x 2=\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= \pi+\dfrac{\pi}{4}$  et $\sin(x)=\sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt 2}{2}$ (1)

4.

$\dfrac x 2=\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x=   \pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt 2}{2}$ (2)

d'où
$\dfrac x 2=\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= \pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\sin(x)=\sin\left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\sqrt 2}{2}$ (2)

Mais si tu as bien compris ce qu'il faut faire... Qu'est-ce que tu veux de plus ?
N-B j'ai rajouté une étape intermédiaires pour 3. et 4., au cas où ...

@+

Theo.glac
04-05-2018 13:28:50

J'ai juste un problème enfin un truc que je ne comprends pas par rapport à l'exercice précédent (pas le qui suis-je)

yoshi a écrit :

Bonjour,

Q6 b)
$\dfrac x 2=\dfrac{7\pi}{8}=\pi-\dfrac{\pi}{8}$  Donc $x= 2\pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\dfrac x 2=\dfrac{9\pi}{8}=\pi+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= 2\pi+\dfrac{\pi}{4}$   et  $\cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\dfrac x 2=\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= \pi+\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ (1)
$\dfrac x 2=\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x=   \pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ (2)

(1) $\cos(\pi+x)=-\cos (x)$ et  $\sin(\pi+x)=- sin(x)$   (symétrie par rapport à l'origine)
(2) $\cos(\pi-x)=-\cos (x)$  et  $\sin(\pi-x)= sin(x)$     (symétrie par rapport à l'axe des sinus)

est ce que pour les sinus c'est ça:
1)vu que c'est cos(−x)=cos(x) sin(−x)=−sin(x) donc:
sin(x)= sin (-pi/4)= -sin(pi/4)

2)vu que c'est cos(pi+a)=−cos(a) et sin(π+a)=−sin(a) donc:
sin(x)= −sin(pi/4) et d'ailleurs le cosinus ce n'est pas plutôt −cos(pi/4)?

3) vu que c'est cos(pi+x)=−cos(x) et  sin(π+x)=−sin(x) donc:
sin(x)= -sin (pi/4)

4) vu que c'est cos(pi−x)=−cos(x)  et  sin(π−x)=sin(x) donc:
sin(x)= sin (pi/4)

est-ce que c'est correcte?

Parce que vous avez écrit par exemple que :

yoshi a écrit :

1. Cas où [tex]x\in [\pi\,;\,2\pi][/tex]
   Donc [tex]x> \pi[/tex]
   Par exemple [tex]x=\dfrac{4\pi}{3}[/tex]
  [tex]x=\pi+\dfrac{\pi}{3}[/tex]
   
   Et comme :
   [tex]\cos(\pi+a)=-\cos(a)[/tex]
   [tex]\sin(\pi+a)=-\sin(a)[/tex]

et après vous avez dit :

yoshi a écrit :

(1) $\cos(\pi+x)=-\cos (x)$ et  $\sin(\pi+x)=- sin(x)$   (symétrie par rapport à l'origine)

Donc je comprends pas ce qu'il faut faire:

pouvez vous faire un récapitulative et dire si ce que j'ai fait est correcte s'il vous plait?

Theo.glac
04-05-2018 13:25:29

Oh mon dieu! Je crois avoir très bien compris merci beaucoup yoshi

yoshi
04-05-2018 13:09:58

Re,

1. Il te faut te ramener à [tex]\sin(x)=\sin(\alpha)[/tex] avec [tex]\sin(\alpha)=\dfrac{\sqrt 3}{2}[/tex]
2. Parmi les quelques valeurs à connaître par cœur, il y a celle-ci : [tex]\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt 3}{2}[/tex] entre [0;\pi/2]
3. Mais ce n'est pas la seule, parce que [tex]\sin(\pi-x)=\sin(x)[/tex]
4. Donc [tex]\sin(x)=\dfrac{\sqrt 3}{2}\Leftrightarrow\;\begin{cases} x &= \dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\\x&=\dfrac{2\pi}{3}+2k\pi,\; k \in \mathbb{Z}\end{cases}[/tex]
5. Mais l'énoncé dit : "le sinus de ma moitié"
    Donc il faut résoudre [tex]\sin\left(\dfrac x 2\right)=\sin(\alpha)[/tex] avec [tex]\sin(\alpha)=\dfrac{\sqrt 3}{2}[/tex]
6. La solution doit être dans [tex][9\pi\,;\,10\pi][/tex]... donc, il faut jouer sur le k de [tex]2k\pi[/tex], parce que les deux valeurs de x entre 0 et $2\pi$ données par la résolution seront en fait l'une entre 0 et $\pi$, l'autre entre $\pi$ et $2\pi$ : il te faut trouver combien de fois $2\pi$ tu dois rajouter à l'une ou l'autre pour être dans le bon intervalle...

J'espère avoir été simple...

@+

Theo.glac
04-05-2018 11:28:49

(vu que vous expliquer bien j'ai une question à vous poser)

moi j'ai cet exercice là à faire aussi mais j'ai un qui "suis-je" à faire aussi avec cet exercice, dont ''Veroniqua1'' n'a pas écrit:

Je suis la mesure en radian d'un angle oriente appartenant à l'intervalle [9pi;10pi] et le sinus de ma moitié vaut racine(3)/2 qui suis je ?

''Yoshi'' pouvez-vous m'aider s'il vous plait ?

Theo.glac
04-05-2018 11:22:57

ah! Oui c'est bien de cette citation dont je parle et Honnêtement merci beaucoup ''yoshi'' j'ai compris!

yoshi
03-05-2018 20:04:31

Re,

Citation probablement incorrecte...

[tex]\sqrt{\dfrac{2-\sqrt 2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2}[/tex]
C'est de ceci dont tu veux parler ?

Si oui, alors si je note :


[tex]a=2-\sqrt 2[/tex]
et [tex]b = 4[/tex],
[tex]\sqrt{\dfrac{2-\sqrt 2}{4}}[/tex] s'écrit [tex]\sqrt{\dfrac a b}[/tex]
Et depuis la 3e, on sait que [tex]\sqrt{\dfrac a b}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}[/tex]
et [tex]\sqrt b =\sqrt 4 =2[/tex]

C'est clair ?

@+

Theo.glac
03-05-2018 19:52:19

Bonjour ''yoshi'' j'ai une question par rapport à votre message qui date du 11-02-2018 12:04:17

comment avez-vous fait pour passé de:

sin(pi/8)=(2-(racine2)/4

à:

sin(pi/8)=(2-(racine2)/2

je ne comprends pas comment vous avez fait pour changer de dénominateur, passer de 4 à 2

pouvez vous m'expliquer s'il vous plait ?

Hidelka
20-03-2018 18:40:53

Cette personne ne vous a peut etre pas répondu mais en tout cas merci, cela m'a beaucoup aidé !

yoshi
11-02-2018 12:04:17

Bonjour,

Q6  a)
[tex]\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)= ?[/tex]    et    [tex] \sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)= ?[/tex]
      [tex]\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{\dfrac{\pi}{4}}{2}[/tex]  donc ici, remplacer dans tes formules Q3 et Q4  $x$ par [tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex]
      sachant que :
     [tex]\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)= \dfrac{\sqrt 2}{2}[/tex]

     [tex]\sin^2\left(\dfrac x 2\right)=\dfrac{1-\cos(x)}{2}[/tex] 
     Donc les cos et sin de l'angle demandé, étant positifs :
     [tex]\sin\left(\dfrac x 2\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos(x)}{2}}[/tex] 

     [tex]\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)=\sqrt{\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)}{2}}=\sqrt{\dfrac{1-\dfrac{\sqrt 2}{2}}{2}}=\sqrt{\dfrac 1 2 - \dfrac{\sqrt 2}{4}}=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt 2}{4}}=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt 2}}{2}[/tex]
     A toi le cos...

Q6 b)
$\dfrac x 2=\dfrac{7\pi}{8}=\pi-\dfrac{\pi}{8}$  Donc $x= 2\pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=\cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\dfrac x 2=\dfrac{9\pi}{8}=\pi+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= 2\pi+\dfrac{\pi}{4}$   et  $\cos(x)=\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
$\dfrac x 2=\dfrac{5\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}+\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x= \pi+\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ (1)
$\dfrac x 2=\dfrac{3\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8}$ Donc $x=   \pi-\dfrac{\pi}{4}$  et $\cos(x)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ (2)

(1) $\cos(\pi+x)=-\cos (x)$ et  $\sin(\pi+x)=- sin(x)$   (symétrie par rapport à l'origine)
(2) $\cos(\pi-x)=-\cos (x)$  et  $\sin(\pi-x)= sin(x)$     (symétrie par rapport à l'axe des sinus)

Je me demande pourquoi je me fatigue : pas de retour...

@+

yoshi
09-02-2018 18:23:29

Bonsoir,

1. Cas où [tex]x\in [\pi\,;\,2\pi][/tex]
   Donc [tex]x> \pi[/tex]
   Par exemple [tex]x=\dfrac{4\pi}{3}[/tex]
  [tex]x=\pi+\dfrac{\pi}{3}[/tex]
   
   Et comme :
   [tex]\cos(\pi+a)=-\cos(a)[/tex]
   [tex]\sin(\pi+a)=-\sin(a)[/tex]
   Alors avec mon exemple :
   [tex]\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)= \cos\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex]
   [tex]\sin\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)= \sin\left(\pi+\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex]
   Avec les formules établies pour x/2 :
   [tex]\cos^2\left(\dfrac{4\pi}{6}\right)=\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)}{2}=\dfrac{1-\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{2}=\dfrac{\dfrac 1 2}{2}=\dfrac 1 4[/tex]
   Et il y a deux nombres a tel que [tex]a^2=\dfrac 1 4[/tex] : [tex]\dfrac 1 2[/tex] et [tex]-\dfrac 1 2[/tex]
   Puisque [tex]\dfrac{4\pi}{6} \in \left[\dfrac{\pi}{2}\,;\;\pi\right][/tex] alors [tex] \cos\left(\dfrac{4\pi}{6}\right)<0[/tex]
   Donc [tex]\cos\left(\dfrac{4\pi}{6}\right)=-\dfrac 1 2[/tex]
   Qu'est-ce que j'ai fait ?
   J'ai écrit l'angle x sous la forme [tex]\pi +a[/tex] avec a donc [tex]\in[0\,;\,\pi][/tex]
   Puis j'ai utilisé :
   [tex]\cos(\pi+a)=-\cos(a)[/tex]
   [tex]\sin(\pi+a)=-\sin(a)[/tex]
   Et dans les formules établies, j'ai remplacé $\cos(x)$ et $\sin(x)$ par $-\cos(a)$ et $-\sin(a)$

2. Cas où [tex]x\in [-\pi\,;\,0][/tex]
   Par exemple [tex]x=\dfrac{-\pi}{3}[/tex]
   Les formules à utiliser sont cette fois :
   [tex]\cos(-x)=\cos(x)[/tex]
   [tex]\sin(-x)=-\sin(x)[/tex]
   Dans les formules établies, je remplace $\cos(x)$ et $\sin(x)$ par $\cos(x)$ et $-\sin(x)$
   [tex]\cos^2\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) =\dfrac{1+\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}{2}=\dfrac{1+\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)}{2}=\dfrac{1+{\dfrac 1 2}}{2}=\dfrac 3 4[/tex]
  Et comme [tex]\cos\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) >0[/tex]  alors

N-B Dans le cas n°1, tu pouvais aussi procéder ainsi en écrivant : [tex]\cos\left(\dfrac{4\pi}{3}\right)= \cos\left(\dfrac{4\pi}{3}-2\pi\right)=\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)[/tex]
     Que tu enlèves ou ajoute [tex]2\pi[/tex] à un angle ne change ni, le cosinus, ni le sinus (ni la tangente)

3. Cas où [tex]x >2\pi[/tex] Tu enlèves le nombre de fois (ou ajoute, selon son signe) [tex]2\pi[/tex] à ton angle et tu te retrouveras dans l'un des deux cas précédents...

A suivre

holo
08-02-2018 13:41:36

tu as fait quoi comme calcule pour la 4?

chiantigallo
14-03-2017 08:46:34

bonjour, si tu connais sin(pi/8) tu peux facilement calculer    sin(pi-pi/8) ou bien sin (pi+pi/8)
sin(5pi/8)=sin(pi/2+sin(pi/8)  .
Sin (3pi/8)=sin (pi/2-sin(pi/8)
Un bonjour du chianti!
Emile

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