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Bonjour,
soit l'opérateur
\begin{align*}
A: H^1 &\to H^{-1}\\
     u &\to Au= \sum_{i,j=1}^n D_i(a_{ij} D_j u)
\end{align*}

où $(a_{ij})$ sont des fonctions réelles, bornées, t.q $a_{ij}= a_{ji}$, et t.q $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq |\xi|^2$.

On a le théorème suivant:
$$\forall \lambda >0,\forall f \in H^{-1}, \exists! u \in H^{-1}: Au-\lambda u=f$$

Je cherche à démontrer ce théorème. Voici la preuve que j'ai trouvé. On utilise le lemme suivant:
l'application
\begin{align*}
H^1 \times H^1 &\to \mathbb{C}\\
(u,v) &\to (u,v)*
\end{align*}
avec
$$
(u,v)*= \sum_{i,j=1}^n \int a_{ij}D_i \overline{D_j v} + \lambda \int u \overline v
$$

défini un produit scalaire sur $H^1$, et sa norme est équivalente à celle de $H^1$.

Preuve de l'existence: soit $f \in H^{-1}$, et soit $\lambda >0$. On considère la forme linéaire continue
\begin{align*}
H^1 &\to \mathbb{C}\\
v &\to <f,v>_{H^{-1},H^1}
\end{align*}

D'après Riesz,
$$\exists! w \in H^1, \forall v \in H^1: <f,v>_{H^{-1},H^1}= (x,w)*$$

Soit $\phi \in \mathcal{D}$. On a $$<f,phi>_{H^{-1},H^1}= <f,\phi>_{D',D}$$
\begin{align*}
<f,\phi>_{D',D}&= (\phi,w)*\\
& = \sum_{i,j} \int a_{ij} D_i \phi \overline{D_j w} + \lambda \int \phi \overline{w}\\
                       & = \sum <a_{ij} D_j w,D_i \phi>_{D',D}+ \lambda <w,\phi>_{D',D}\\
                       & = - <\sum D_i(a_{ij} D_j w),\phi> + <\lambda w,\phi>_{D',D}
\end{align*}
donc on conclut que $$f= -\sum_{i,j} D_i(a_{ij} D_j w)+ \lambda w$$

Mes questions s'il vous plaît, sont:

1. Pourquoi on a besoin que $a_{ij}= a_{ji}$?
2. à quoi sert la condition $\sum_{i,j} a_{ij}(x) \xi_i \xi_j \geq C |\xi|^2$?
3. Que signifie exactement le théorème? S'il vous plaît.
4. Dans la preuve du théorème: partie existence:
4.1. Je ne comprend pas pourquoi on introduit a forme linéaire continue qui à $v \in H^1$ associe $<f,v>_{H^{-1},H^1}$
4.2. Je n'arrive pas à comprendre pourquoi on introduit Riesz.
4.3. S'il vous plaît, pourquoi et comment on écrit pour tout $\phi \in  D, <f,\phi>_{H^{-1},H^1}= <f,\phi>_{D',D}= (\phi,w)*$? Je ne comprend pas pourquoi on peut l'écrire et quel est sont intérêt? S'il vous plaît.

Je vous remercie par avance pour votre aide.