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Je ne vois pas dans ce que tu écris qu'il est dit que $\tilde{T} \in \mathcal{E}'$ !
On définit un nouvel objet $\tilde{T}$, qui donc peut s'appliquer à une classe plus large de fonctions, en mettant à profit un objet déjà connu, à savoir $T$. Pour que la définition ait un sens, il faut que $T \in \mathcal{E}'$, sinon, l'objet $\tilde{T}$ serait dépendant du choix particulier de $\chi$.

C'est de la pure notation : quand tu vois $\langle \tilde{T},\varphi\rangle_{\mathcal{E}',\mathcal{E}}$, il faut que tu le traduise dans ta tête comme $\langle T,\chi \varphi \rangle_{D',D}$ (pour un $\chi$ plateau telle que $\chi(Voisinage(Supp(T)))=\{1\}$).

Mais il a été définit dans ton cours. Tu peux également recouper avec la définition dans le Poly que je t'avais indiqué.
je ne suis pas sûr de comprendre ce que tu veux dire par "proprement" ?

Il faut noter que $\mathcal{E}' \subset \mathcal{D}'$ (les distributions à support compact sont d'abord des distributions).
Ensuite, il est marqué que $\chi \in \mathcal(D)$, ce qui veut en particulier dire que c'est une fonction à support compact.

On va essayer de regarder un cas particulier. Prenons la fonction $\delta_0 \in \mathcal{D}'(\mathbb{R})$.
Techniquement, on ne peut écrire $\langle \delta_0, \varphi \rangle = \varphi(0)$ que pour des fonctions à support compact. Mais on voit bien sur la définition que $\delta_0$ est "insensible" à ce que vaut la fonction en dehors de $0$. Donc, si je prends une fonction quelconque $\in C^\infty(\mathbb{R})$, je suis capable d'appliquer la même recette : $\langle \delta_0, f \rangle = f(0)$. Mais la définition de $\delta_0$ m'en empêche : on ne peut l'appliquer qu'à des fonctions à support compact.
C'est la qu'intervient $\chi$. Elle me permet de fabriquer une fonction à support compact à partir d'une fonction $f$ quelconque sans modifier la valeur de la fonction à l'intérieur d'un compact donné.
Ici, ce qui m'intéresse, c'est de préserver la valeur de la fonction en $0$. Je considère une fonction plateau qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ par exemple (il suffit que ce soit un voisinage de $0$). La fonction $f\chi$ est alors à support compact (car $\chi$ est à support compact) et préserve la fonction sur $[-1,1]$ ($\chi$ est un filtre : il laisse tout passer à l'intérieur de $[-1,1]$ et efface tout, i.e met $0$, en dehors), j'ai donc le droit d'écrire $\langle \delta_0, f\chi \rangle = f\chi(0) = f(0)$.
De plus, le choix de $\chi$, du moment que c'est une fonction à support compact qui vaut $1$ sur un voisinage de $0$, n'intervient absolument pas. La définition $\langle \bar{\delta}_0, f \rangle = \langle \delta_0, f\chi \rangle$ est en réalité indépendante du choix particulier de $\chi$.

C'est comme le déterminant (ou la trace) d'un endomorphisme, il est indépendant du choix de la base. Mais pour la calculer, on est souvent obligé de se donner une base

Comme je l'ai dit dans l'autre post, il faut que tu te relises.
Tu écris : $\tilde{T}: \mathcal{E}' \to \mathbb{C}$ alors que c'est $\tilde{T}: \mathcal{E} \to \mathbb{C}$ selon ta notation (il n'y a pas de "prime").
Cela dit, je ne connais pas cette notation de $\mathcal{E}(\Omega)$ (je vois ce qu'est $\mathcal{E}(\Omega)'$).
Je vais donc supposer que $\mathcal{E}(\Omega)=C^\infty(\Omega)$

1- Il faut que tu relises ce que j'ai écris dans l'autre post pour comprendre la différence entre $\tilde{T}$ et $T$. Dans d'autres ouvrages, on utilise néanmoins la même lettre, parce qu'il n'y a pas vraiment de risque de confusion.

2- Comme $\chi$ est à support compact, alors, pour toute fonction $f$, $f\chi$ est à support compact.