Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

Répondre

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
dix-huit plus soixante quinze
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Retour

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Yassine
15-01-2017 17:41:28

Je reviens d'abord sur la réponse "$p$ depend de $K$", qui, même si c'est correct, n'a en réalité pas beaucoup de sens. Je donne un exemple :
$\forall x, \exists y, \exists z Prop(x,y,z)$ où $Prop(x,y,z)$ est une propriété quelconque. Ici, se poser la question "est-ce que $z$ dépend de $y$ n'a pas beaucoup de sens. La seule affirmation correcte est que $y$ et $z$ dépendent de $x$ (c'est $x$ qui peut "varier").
D'ailleurs, l'assertion en question s'écrir également de manière équivalente comme  $\forall x, \exists z, \exists y Prop(x,y,z)$ (inversion $y$ et $z$) : la règle étant, si tu as deux quantificateurs de même nature qui se suivent, tu peux échanger l'ordre $\forall x\forall y$ et la même chose que $\forall y\forall x$, idem avec $\exists$. Par contre, si les quantificateurs sont différents, tu ne peux pas le faire : $\forall x\exists y$ et complètement différent de $\exists y \forall x$

Il est donc absolument important que tu fasses attention aux quantificateurs des différentes assertions que tu écris.

Ce qu'on vient de montrer, c'est la propriété suivante :
(a) $\forall T \in \mathcal{E}', \exists K \subset \subset \Omega, \exists p \in \mathbb{N}, \exists C \in \mathbb{R}_+, \forall f  \in C^\infty(\Omega), |\langle T,f\rangle| \le C P_{K,p}(f)$
où je note $K \subset \subset \Omega$ pour "$K$ compact inclut dans $\Omega$".
Il faut bien noter les quantificateurs de $K$, $p$ et $C$ et il faut également noter que la fonction $f$ est dans $C^\infty(\Omega)$ (elle n'est pas forcément à support compact).

Pour l'ordre de la distribution, tu dois montrer autre chose :
(b) $\forall T \in \mathcal{E}', \exists p \in \mathbb{N}, \forall L \subset \subset \Omega, \exists C \in \mathbb{R}_+, \forall \varphi  \in \mathcal{D}_L(\Omega), |\langle T,f\rangle| \le C P_{L,p}(\varphi)$

Cette assertion est complètement différente, les quantificateurs sont différents (pour le compact que j'ai noté $L$ pour plus de clarté), et la fonction $\varphi$ est a support compact dans $L$.

Bien sûr, ce que ton cours te dit, c'est que (a) $\implies$ (b).

J'anticipe ta question suivante : comment on fait pour démontrer ça
Je réponds : travaille un peu !!

tina
14-01-2017 20:19:46

Mais, la première partie du théorème dit que tout $T \in \mathcal{E}'$ est d'ordre fini, donc $m$ doit être indépendant de $K$. Que faire dans ce cas?

Yassine
14-01-2017 19:58:38

Oui, il dépend de $K$. On l'a obtenu en appliquant la propriété de continuité de $T$ à la fonction $\chi\varphi$ à support dans $K$. On obtient donc un $p_K$ qui dépend du compact considéré.

tina
14-01-2017 18:50:41

S'il vous plaît, et comment savoir si m dépend de K ou pas?

Yassine
14-01-2017 18:09:37

Je ne vois ce qu'est $K_0$.

Pour ton autre question, non, ce n'est pas correct. Il faut dire : pour toute distribution $T \in \mathcal{E}'$, il existe un compact $K$ tel que pour toute fonction $\varphi \in C^\infty$, bla bla.

Conre-exemple de ce que tu dis :
$T = \delta_0$. On a alors $supp(T)=\{0\}$.
Je prends $K=[2,3]$ et $\varphi$ telle que $supp(\varphi)=[-1,1]$ et telle que $\varphi(0)=1$ (une telle fonction existe). Alors, $\varphi$ et toutes ses dérivées sont nulles sur $K$, donc $P_{K,m}(\varphi)=0$ pour tout $m$. Et pourtant $|\langle T,\varphi \rangle | = \varphi(0) > CP_{K,m}(\varphi)$ pour toute constante $C \le 0$.

tina
13-01-2017 21:31:04

Merci beaucoup pour toute votre aide. Donc, on n'a pas besoin d'un autre compact $K_0$. C'est bien ça?

2. Aussi, dans le théorème de mon cours, je pense qu'il y a une erreur. Ca devrait être: si $T \in \mathcal{E}'$, alors quelque soit le voisinage compact $K$ de $Supp T$, il exist $c \geq 0$ t.q
$$
\forall \varphi \in \mathcal{E}, |\langle T,\varphi \rangle | \leq C P_{K,m}(\varphi)
$$
c'est bien ça?
Merci par avance pour votre aide.

Yassine
13-01-2017 13:45:39

Je l'ai dit juste avant !!!
Je le redis :
On doit choisir $\chi$ qui vaut $1$ sur un voisinage du support de $supp(T)$ (Pour montrer que l'extension aux fonctions $C^\infty$ ne dépend pas du choix de $\chi$, on a besoin de dire que si $\chi1-\chi2 = 0$ sur un voisinage de $supp(T)$, alors $<T,\chi1\varphi>=<T,\chi2\varphi>$. Si on se contente de $\chi$ égale à $1$ sur $supp(T)$, on a un problème, cf le contre-exemple).
Donc, si $V$ est un voisinage de $supp(T)$, alors l'inclusion est stricte : $supp(T) \varsubsetneq V$ ($V$ contient un ouvert qui contient $supp(T)$ et $supp(T)$ est un fermé).

Et si $\chi$ vaut $1$ sur $V$, par définition du support, $V \subset supp(\chi)$.

tina
13-01-2017 13:26:44

et pourquoi il faut ajouter cette contrainte de $Supp T \subset V \subset Supp(\chi)$? S'il vous plaît

Yassine
13-01-2017 13:19:41

1- Non, il y a deux contraintes sur le choix de $\chi$
(i)-  $\chi \in \mathcal{D}(\Omega)$
(ii)- il existe un voisinage ouvert $V \supset supp(T)$ tel que $\chi(V)=\{1\}$.
On a donc l'inclusion inverse de cette que tu écris :
$supp(T) \subset V \subset supp(\chi) \subset \Omega$.

2- Je pense que je suis allé un peu trop vite et ai dit une bêtise sur l'exemple de la fonction $f$ que je t'ai donnée  : comme $f'$ est continue, alors $f'(1) = \lim_{x \to 1^-} f'(x) = 0$.
Voici l'explication :
On choisis une fonction $\chi$ à support compact qui vaut $1$ sur un voisinage ouvert $V \supset supp(T)$ (choix obligé pour appliquer l'extension de la distribution $T$ aux autres fonctions) et on choisis $K$ compact tel que $supp(\chi) \subset K$ (choix obligé si on veut appliquer la propriété de continuité de $T$ à la fonction $\chi\varphi$). On a alors la chaine d'inclusion $supp(T) \varsubsetneq V \varsubsetneq supp(\chi) \subset K$.
Le point est que $\chi$ n'est pas constante sur $K$ mais uniquement sur une partie propre de $K$, à savoir $V$. Donc les dérivées de $\chi$ ne sont pas nulles sur $K$.

tina
13-01-2017 10:46:30

Bonjour,
je pense que je me suis mal exprimé.
1. On choisit $\chi \in \mathcal{D}_K$, où $K \subset Supp T$. Pourquoi on impose à $K$ d'être inclus dans $Supp T$?
2. Ce n'est pas clair, puisque $\chi=1$ sur $K$ pourquoi on n'écrit pas que $\chi^{(n)}=0$?
Merci pour votre aide.

Yassine
13-01-2017 09:57:54

Dans la propriété de continuité "standard" d'une distribution, On peut majorer $<T,\varphi>$ sur un compact $K$ à condition que le support de $\varphi$ soit inclut dans $K$.

Ici, on va vouloir appliquer cette propriété à $\chi\varphi$ dont le support est (au plus) égal au support de $\chi$, qui est un compact contenant strictement $supp(T)$ (on veut que $\chi$ soit égale à $1$ sur un voisinage ouvert de $supp(T)$). Il faut donc que $K$ soit assez grand pour contenir le support de $\chi\varphi$ pour toute $\varphi \in C^\infty$, vu qu'on ne souhaite apporter aucune contrainte supplémentaire à $\varphi$).

L'autre point est un peu plus subtile. Imaginons une fonction $f \in C^\infty(\mathbb{R})$ égale à $1$ sur l'intervalle fermé $[-1,1]$.
Alors $\displaystyle \sup_{x \in [-1,1]}|f'(x)|$ n'est pas égal à $0$. Certes, $f'$ vaut $0$ sur l'intervalle ouvert $]-1,1[$, par contre, il n'y a pas de contrainte sur sa valeur en $1$ et en $-1$, et donc $\displaystyle \sup_{x \in [-1,1]}|f'(x)|=\max(|f'(1)|, |f'(-1)|)$.

Ici, on aura $\chi$ qui vaut $1$ sur un voisinage ouvert de $supp(T)$ et $K$ compact contenant le support de $\chi$ (pour qu'on puisse appliquer la propriété de continuité à $\chi\varphi$). Donc, il faut bien prendre en compte le phénomène que j'ai décrit plus haut. Dans ta démonstration, tu ne peux donc pas remplacer $\chi^{(n)}(x)$ par $0$ dans la formule de Lebnitz.
Cela dit, comme $\chi \in \mathcal{D}$, toutes ses dérivées sont bornées sur un compact. Il n'y a donc pas de difficulté particulière.

tina
12-01-2017 21:12:42

Alors voici la preuve. On commence par choisir un compact $K$ suffisemment grand pour qu'il contienne $Supp T$. Pourquoi? S'il vous plaît.

Ensuite, soit $\varphi \in C^\infty$, à partir de $\varphi$ on construit une fonction à support compact, et pour ça on utilise une fonction plateau: $\chi$ t.q $\chi=1$ au voisinage $K$. Ainsi,  $\chi \varphi \in \mathcal{D}_K(\Omega)$. On a:
\begin{align*}
|\langle T,\varphi\rangle| &= |\langle T,\chi f\rangle |\\
& \leq C P_{K,m}(\chi \varphi)
\end{align*}
On a:
Par définition de $P_{K,m}$ et par Leibniz, que:
\begin{align*}
P_{K,m}(\chi \varphi) &= \sup_{x \in K,|\alpha| \leq m} |D^\alpha (\chi \varphi)|\\
&= \sup_{x \in K,|\alpha|\leq m} |\sum_{k=0}^{\alpha} \begin{pmatrix} &\alpha\\ &k \end{pmatrix} \chi^{(\alpha-k)} \varphi^{(k)}|
\end{align*}
et puisque $\chi=1$ sur $K$, on a
\begin{align*}
&= \sup_{x \in K,|\alpha|\leq m} |\sum_{k=0}^{\alpha} D^k \varphi|\\
& \leq c' P_{K_m}(\varphi)
\end{align*}
avec $C'= \begin{pmatrix} &\alpha\\ &k \end{pmatrix}$

Mais normalement, puisque $\chi=1$ au voisinage de $K$, alors $D^{\alpha}(\chi \varphi)= D^\alpha \varphi$ directement. Non?

Merci par avance pour votre aide.

Yassine
12-01-2017 20:21:15
tina a écrit :

Pourquoi il faut ajouter que $Supp \varphi \subset Supp T$?

Je ne vois pas trop où on ajoute cette contrainte.
Si on l'ajoute, ça voudra dire que le support de $\varphi$ est compact (fermé inclut dans un compact) et on n'aura rien gagné de plus par rapport aux fonctions test normales.

tina a écrit :

quel est le lien avec le théorème qui dit que $\varphi=0$ au voisinage de $Supp T$ alors ça implique que $<T,\varphi>=0$?

Comme je ne vois pas trop où tu as vus le premier point, je ne peux pas répondre à ce second point.

tina
12-01-2017 19:21:49

Avant d'écrire la dérnière version corrigée de mon raissonement, j'ai une question s'il vous plaît. On applique $T \in \mathcal{E}'(\Omega)$ à une fonction $\varphi \in C^\infty(\Omega)$. Pourquoi il faut ajouter que $Supp \varphi \subset Supp T$? Normlement, on ne devrait rien imposer au support de $\varphi$.S'il vous plaît, et quel est le lien avec le théorème qui dit que $\varphi=0$ au voisinage de $Supp T$ alors ça implique que $<T,\varphi>=0$?
Merci par avance pour votre aide.

Yassine
12-01-2017 14:51:54

Comme je te l'ai indiqué sur d'autres posts, tu ne fais pas attention à ce que tu écris !
exemple :

tina a écrit :

On  relarque que $\varphi(x)= \chi(x) \varphi(x) \in \mathcal{D}_K(\Omega)$. Alors on a:
\begin{align*}
|\langle T,\varphi\rangle| &= |\langle T,\chi \varphi\rangle|\\
& \leq C P_{K,m}(\varphi)
\end{align*}

1. Comment on peut en déduire que $|\langle T,\varphi \rangle| \leq C' P_{K,m}(\varphi), \ \forall \varphi \in C^\infty(\Omega)$?

Tu n'as qu'à poser $C'=C$ !
Bien sûr, ce n'est pas aussi simple, tu as fais une erreur une ligne plus haut en écrivant $|\langle T,\varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\varphi)$ au lieu de $|\langle T,\varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\chi\varphi)$

Il y a deux points importants dans la démonstration :
1- définir correctement le compact $K$ sur lequel la définition de continuité sera vérifiée.
Il faut d'abord bien noter la différence avec la condition de continuité "standard" d'une distribution :

Pour out compact $K$, on peut trouver une constante $C$ et un entier $m$ tels que, pour toute fonction test, bla bla.

Alors qu'ici, on dit

il existe un compact $K$, une constante $C$ et un entier $m$ tels que, pour tout fonction $C^\infty$, bla bla.

Ce qui est plus faible.

On va donc choisir le compact $K$ suffisamment grand pour qu'il contienne un ouvert qui contient $Supp(T)$ (on a besoin de définir la fonction plateau égale à $1$ sur un voisinage contenant $Supp(T)$) et borné, pour que ce soit un compact.

2- Comme tu l'a écris, on a $|\langle T,\varphi\rangle| \leq C P_{K,m}(\chi\varphi)$. La seule difficulté est de montrer qu'il existe une constante $\alpha$ telle que $P_{K,m}(\chi\varphi) \le \alpha P_{K,m}(\varphi)$. Ce qui s'obtient sans difficulté en utilisant la formule de Leibnitz.

Pied de page des forums