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anthony
29-10-2017 07:04:53

Bonjour,
S'il est vrai que l'entier [tex]n=195246501[/tex] est le plus petit entier naturel tel que le nombre réel [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] admette une partie fractionnaire commençant par [tex]8[/tex] zéros exactement.
Il vient [tex]frac(e^{\pi\sqrt{195246501}})=0.00000000856...[/tex] https://oeis.org/A127031
Il serait surprenant (au sens de peu probable) de trouver un nombre réel de la forme [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] tel que sa partie fractionnaire commence également par [tex]8[/tex] zéros exactement en observant les quelques millions de valeurs de [tex]n[/tex] suivantes (mettons jusqu'à [tex]n=205000000[/tex] pour fixer les idées).
Et pourtant, [tex]frac(e^{\pi\sqrt{204990857}})=0.00000000345...[/tex], la probabilité d'un tel événement (l'événement "trouver deux réels de la forme [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] tel que leurs parties fractionnaires commencent par [tex]8[/tex] zéros exactement dans l'intervalle [tex][195000000;205000000][/tex]") est inférieur à [tex]\frac{5}{1000}[/tex].

anthony
02-10-2017 07:26:50

Bonjour,
Au même titre que l'entier [tex]n=1844122=2*7*157*839[/tex]  (qui constitue le nombre presque entier [tex]frac(e^{\pi\sqrt{1844122}})=0.9999999...[/tex]), l'entier [tex]n=195246501=3*3023*21529[/tex] est constitué par la multiplication de deux nombres premier irréguliers :
(https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_pr … 3%A9gulier). Vous pouvez aisément retrouver la liste de ces nombres dans l'encyclopédie de Sloane : https://oeis.org/A000928
Sachant qu'environ 40% des nombres premiers rencontrés dans cette recherche sont des nombres premiers irréguliers, il n'est sans doute peu étonnant que les entiers  [tex]1844122[/tex] et [tex]195246501[/tex] possèdent cette même particularité d'être constitué par la multiplication d'au moins deux nombres premiers irréguliers. Néanmoins, ces drôles de nombres (premiers irréguliers) reviennent suffisamment souvent pour ne pas s'interroger sur leur présence.

Athony
15-09-2017 19:12:06

Bonjour,

Je reviens sur le sujet car la recherche fut longue mais elle a aboutit à un premier résultat :
L'entier [tex]n=195246501[/tex] est le plus petit entier naturel tel que le nombre réel [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] admette une partie fractionnaire commençant par 8 zéros exactement.
Il vient [tex]frac(e^{\pi\sqrt{195246501}})=0.00000000856...[/tex]
Le prochain record consisterait à trouver un entier [tex]n[/tex] tel que le nombre réel [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex] admette une partie fractionnaire commençant par [tex]9[/tex] zéros exactement à l'instar de [tex]n=652[/tex] (cet entier est issu de la constante de Ramanujan élevé au carré)

anthony
01-03-2017 05:22:36

Bonjour,
C'est assez surprenant de constater qu'une autre solution se trouve quelques millions après la première solution ?!
L'entier [tex]n=106109331[/tex] est également solution.
Pour résumer, on obtient :
[tex]frac(e^{\pi\sqrt{1467}})\sim frac(e^{\pi\sqrt{103763015}})\sim frac(e^{\pi\sqrt{106109331}})[/tex]

anthony
27-02-2017 19:20:59

Bonsoir,

L'entier [tex]n=103763015[/tex] est solution de l'inéquation.
Il a fallu attendre longtemps pour mettre la main dessus mais la voici enfin ;)

anthony
07-01-2017 16:19:18

Dommage,
Vous y étiez presque (non je plaisante).
Plus sérieusement, un peu plus loin que n=1 840 000, on passe un premier cap !

Yassine
07-01-2017 16:13:54

Non, je ne suis pas très impliqué, ça a excité ma curiosité et j'ai essayé de voir si on pouvait arriver à résoudre le problème numériquement.
Le module 'decimal' permet de faire des calcul en virgule flottante à des précisions arbitraires (plus que la précision autorisée par les formats 'standards' du type 'double' ou 'float'), limitées uniquement par des considérations de mémoire et de temps de calcul.

Il me semble que c'est possible (j'arrive déjà à une précision de $6.10^{-5}$). Mais je ne pense pas que je vais continuer. J'ai posté le code si jamais ça intéresse quelqu'un de continuer sur cette voie.

anthony
07-01-2017 15:57:28

Bonjour Yassine,

Vous semblez vous être très impliqué dans cette inéquation en allant jusqu'à écrire un code en Python.
Je vous félicite pour cet effort mais au final ou en êtes vous arrivé dans cette affaire ?

Yassine
07-01-2017 15:05:22

Voici un code Python que j'ai essayé.
Je n'ai pas eu la patience d'attendre longtemps.


from decimal import *

def decimal_part(d):
  return d - d.to_integral_value(ROUND_FLOOR)

getcontext().prec = 100
PrecisionSouhaitee = Decimal(1e-8)
BigPi = Decimal('3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679')
Sqrt163 = Decimal(163).sqrt()
RamanujanCste = (Sqrt163 * BigPI).exp()
Target = decimal_part(RamanujanCste**3)

Demarrage = 1468
NombreEssais = 100000
Trouvee=False
EcartLePlusFaible = Decimal(1000000)
NombreLePlusProche=-1
print("Target : {0}".format(str(Target)))
for n in range(Demarrage, Demarrage+NombreEssais+1):
  Candidat = decimal_part((Decimal(n).sqrt()*BigPi).exp())
  Diff = Candidat.max(Target)-Candidat.min(Target)
  #print("Candidat : {0}".format(str(Candidat)))
  #print("Diff : {0}".format(str(Diff)))
  if EcartLePlusFaible > Diff:
    EcartLePlusFaible = Diff
    NombreLePlusProche = n
  if Diff < PrecisionSouhaitee:
    print("Solution trouvée : {0}, Différence : {1}".format(n,str(Diff)))
    Trouvee = True
    break
if not Trouvee:
  print("Aucune solution trouvée après {0} essais, en démarrant de {1}".format(NombreEssais,Demarrage))
  print("Différence la plus faible trouvée {0} pour n = {1}".format(str(EcartLePlusFaible),NombreLePlusProche))

 

anthony
06-01-2017 15:40:17

Bonjour Yassine,

Oui oui c'est exactement de cela dont il s'agit et pour être précis de la construction des nombres presque entiers de la forme [tex]e^{\pi\sqrt{n}}[/tex]

Yassine
06-01-2017 15:33:40

Bonjour,
j'ai découvert un concept que je ne connaissais pas : Les nombres presque entiers.
C'est peut-être en rapport avec l'exercice ci-dessus.

Voir l'article de Wikipedia ici

anthony
06-01-2017 15:04:05

Bonjour PTRK,

Il semblerait que je sois passé à coter de cette définition de la partie fractionnaire donc merci pour l'info.
Je doute toutefois que cela puisse servir de près ou de loin à déterminer une (ou des) solution mais sait on jamais.
En remplaçant [tex]x[/tex] par [tex]e^{\pi\sqrt{m}}[/tex], on obtient d'ailleurs une expression horriblement compliquée que l'on peut réécrire sous la forme d'une somme infinie de produit "cosinus*sinus" mais c'est à peu près tout et c'est pas sympathique non plus :(

PTRK
06-01-2017 08:52:30

Déjà $e^{3\pi\sqrt{163}} = \mathcal{O}(10^{52})$ donc on aura une représentation machine des chiffres uniquement pour ceux qui correspondent au puissance $10^{52}$ à $10^{36}$ ( pour une erreur machine à $10^{-16}$ par exemple). Donc sa partie décimale pour l'ordi est nulle. De même pour $e^{\pi\sqrt{1467}} = \mathcal{O}(10^{52})$. Numériquement on ne pourra pas résoudre ce problème.
[tex]%Et ca m'étonnerai qu'on puisse exprimer $e^{3\pi\sqrt{163}}$ et $e^{\pi\sqrt{n}}$ comme des rationnels. Donc pour moi, c'est hors de ma portée.[/tex]

Après j'ai lu que si on pose $x = \lfloor x \rfloor + \lbrace x \rbrace$ alors  \[
\lbrace x \rbrace = 1/2 - \sum_{n=1}^\infty \dfrac{\sin(2\pi n x)}{n\pi} < 1
\]
Si ca donne des idées à quelqu'un.

anthony
05-01-2017 20:23:19

Bonsoir davidh,
... et oui c'est précisément là qu'est la difficulté de l'affaire :)

davidh
05-01-2017 16:11:48

Désolé, je viens de comprendre, c'est la partie décimale que tu cherches...et non la partie entière, j'ai lu ton message trop rapidement

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