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Bonjour,
j'ai la question suivante: montre que la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)= |x| \cos x$ définie une distribution sur $\mathbb{R}$.
Voici ce que j'ai fait. On a que $f$ est la composée et le produit de fonctions continues sur $\mathbb{R}$, donc $f \in L^1_{loc}(\mathbb{R})$. Par conséquent, on peut définir l'application qui associe à tout
$$\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$: $\langle T,\varphi \rangle = \displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \cos(x) \varphi(x) dx$$
Regardons si $T$ est vraiment une distribution sur $\mathbb{R}$.
1. $T$ est bien définie car l'intégrale $\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \cos(x) \varphi(x) dx$ existe et elle est finie.

2. Il est clair que $T$ est linéaire.

3. Soit un compact $K$ et soit $\varphi \in \mathcal{D}_{K}(\mathbb{R}$. On a:
\begin{align*}
|\langle T,\varphi \rangle[ &= |\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \cos(x) \varphi(x) dx| = |\displaystyle\int_{-R}^R |x| \cos(x) \varphi(x) dx|\\
&\leq \sup_{x \in K}|\varphi(x)| \displaystyle\int_{-R}^R |x \cos(x)| dx
\end{align*}
Maintenant pour le calcul de $\displaystyle\int_{-R}^R |x \cos(x)| dx$, on a:
$$
\displaystyle\int_{-R}^R |x \cos(x)| dx= - \displaystyle\int_{-R}^0 x |\cos(x)| dx + \displaystyle\int_0^R x \cos(x) dx
$$
Mon souci est que je ne sais pas comment enlever la valeur absolue à $\cos(x)$ selon si $x$ est dans $[-R,0]$ ou $[0,R]$. C'est bête, mais je vous prie de m'aider s'il vous plaît sur ce point.
Je vous remercie par avance.