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jpp
10-11-2016 07:53:18

salut.

conjecture

le nombre de régions = nb de cordes + nb de points intérieurs au cercle + 1 .  c'est à dire:
[tex]R_{n}  =  \frac{n.(n-1)}{2}  + (_4^n) + 1[/tex]
ce qui donne pour n=6  --> Rn = 31
                   pour n = 7  --> Rn = 57
                   pour n = 8  -->  Rn = 99
                   pour n = 10  --> Rn = 256

explication

Tout d'abord on met de côté les  n petits croissants à l'extérieur du polygone irrégulier à n côtés.
Ensuite on compte les points intérieurs au cercle et au polygone. Chaque point est tracé avec l'intersection de 2 quelconques des diagonales du polygone ; ces paires de diagonales définissent  autant de quadrilatères . Et à 2 diagonales quelconques , on peut associer 4 points du cercle . Le nombre de points intérieur est donc :

[tex] P  =  \dbinom{n}{4}  [/tex] 

Le polygone peut être aussi considéré comme polyèdre aplati ayant pour grande base le polygone à n côtés ( la base est la face à décompter pour le calcul de Rn.
Ce polyèdre possèdent  [tex] S  =  n + \dbinom{n}{4} [/tex] sommets .   n sommets sont communs à n-1 arêtes  et [tex]\dbinom{n}{4}[/tex] sommets sont communs à 4 arêtes . Et comme chaque arête  joint 2 sommets , alors le nombre d'arêtes est :

[tex] A  =  \frac{n.(n-1) + 4 \times \dbinom{n}{4}}{2}  [/tex]

La formule d'Euler pour comptabiliser les faces d'un polyèdre sans trou .  F  =  A  -  S  +  2  ; mais comme la base est à soustraire et qu'il faut rajouter les n croissants, alors :

[tex] R_n  = A  -  S  +  n + 1  =  \frac{n.(n-1)}{2} + 2 \times \dbinom{n}{4}  -  n  -  \dbinom{n}{4}  + n + 1  =  \frac{n.(n-1)}{2} + \dbinom{n}{4}  +  1[/tex]

tibo
09-11-2016 18:45:34

Salut,

J'envisage de refaire des colles et je suis tombé sur un exercice que j'avais donné.
Je l'ai trouvé intéressant alors je vous le partage :
(Après une recherche rapide, je ne l'ai pas trouvé sur le forum, mais s'il y est déjà on peut supprimer la discussion)

Soit $n$ un entier strictement plus grand que 1. On choisit $n$ points sur un cercle et on construit les cordes les reliant deux à deux.
On suppose que trois quelconques de ces cordes ne sont pas concourantes à l'intérieur du disque.
On note $R_n$ le nombre de régions qu'elles délimitent dans le disque.
1) a) Calculer $R_2$, $R_3$, $R_4$ et $R_5$. Proposer une conjecture.
b) Calculer $R_6$. Que penser de la conjecture ?
2) a)Calculer $N$, le nombre de cordes.
b) Notons $I$ le nombre de points d'intersection de deux cordes à l'intérieur du disque.
Montrer que $I$ est égal au nombre de quadrilatère que l'on peut former avec les cordes à l'intérieur du disque.
c) En déduire la valeur de $I$.
3) Montrer que $R_n = 1 + N + I$.

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