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yoshi
19-10-2016 06:04:54

Bonjour,

si oui passe-moi stp la solution en mp

Négatif !
Pour deux raisons :
* Les MP n'existent pas sur ce forum,
* Si ton exercice est presque le même, alors adapte les solutions fournies ci-avant...

@+

Norilin
18-10-2016 20:10:20

Bonjour, donc c'est réglé ton problème? si oui passe-moi stp la solution en mp car j'ai presque le même exercice

camille23
10-10-2016 12:35:14

Bonjour,

On va donc construire un petit cercle de rayon r'  PAR INVERSION en partant de la figure de yoshi #15 le 09/10/2016 à 13:34:35
En choisissant de trouver le centre I quand le diamètre [BG] (partie de la médiatrice de [O1O3]) est tracé,

On prend G comme centre d'inversion et GD² comme puissance d'inversion, ce qui transforme les cercles de rayon r et de centres O1 et O3 en eux-mêmes,
Désignons par (O3,r) le cercle de centre O3 et de rayon r :
Il suffit de tracer une parallèle à [BG] passant par O3 qui intersecte le cercle (O3, r) en W et W'. (W étant le plus éloigné de G), Le segment [GW]intersecte le (O3,r) exactement au point de contact  X des cercles de centre O3 et I. Pour trouver I on prend l'intersection de [BG] avec la médiatrice de [GX].

Cela est si simple parce que les inverses des cercles de rayons R et r' qui passent en G sont les 2 droites tangentes communes aux cercles de rayons r et de centres O1 et O3.

Dlzlogic
09-10-2016 20:48:30

Bonsoir Camille,
Je n'ai pas vu que JPP ait donné une formule, juste un résultat.
Yoshi a utilisé des formules qui sont plus de base, mais qu'importe, le plus important est de trouver le résultat.
Par contre, d'après ton message, il semblerait que les formules que j'ai citées ne seraient pas bonnes, aurais-je fait une faute de frappe ?
Concernant le problème posé, naturellement, c'est la relation du cosinus qui est intéressante. Aurais-tu trouvé un résultat différent ?

PS. je ne suis pas sûr que l'inversion ait été enseignée en seconde, au moins dans les dernières décennies. Personnellement, je l'ai étudiée en terminale et comme je n'ai pas eu l'occasion de m'en servir depuis, sauf son nom et le principe, je l'ai complètement oubliée.

camille23
09-10-2016 19:19:09

Petit correctif :
...transformer les cercles de rayons R et r' en droites tangentes à 2 cercles "transformés de 2 cercles" de rayon r...
Ce "transformés de 2 cercles" m'a échappé !!

camille23
09-10-2016 19:12:51

Bonsoir,

Les formules de jpp et de yoshi sont bonnes bien sûr,
Celles de Dlzlogic ?

Ostap Bender propose bien une Inversion telle qu'enseignée jadis en géométrie de seconde-Lycée. Le centre d'inversion qu'il propose permet de transformer les cercles de rayons R et r' en droites tangentes à 2 cercles de rayon r. Si en plus la puissance choisie conserve ces 2 cercles, c'est gagné pour un tracé facile du cercle de rayon r' "à la règle et au compas".

PUSSY
09-10-2016 14:05:39

Bonjour,

Les problèmes de dimensions "standards" ne sont pas un problème car le dispose d'un tour.
Une pièce pour bloquer les tube, j'y avais pensé car il faut prévoir de fixer quelque chose au sommet (sinon pourquoi un trépied ?),
mais l'idée d'ajouter 3 tubes (ronds bleus) fixes (dans le manchon rouge) m'a traversé l'esprit et j'ai voulu "aller jusqu'au bout" de la réflexion (en présumant un peu de mes capacités , et de ma mémoire surtout).

Forum très sympa !

Bien cordialement,
PUSSY.

yoshi
09-10-2016 14:02:08

Re,

PUSSY a écrit :

Je vois que "JPP" à été plus rapide (plus ordonné) que moi car son résultat colle à la réalité.
Je vais donc, pour le fun, essayer de trouver le même résultat.

Oh, mais mes résultats sont bons aussi...
Tout a été vérifié 2 fois avant de poster.

@+

Dlzlogic
09-10-2016 13:57:08

Bonjour Pussy,
Là, je comprends mieux.
D'abord, je vous conseille de bien vérifier les diamètres : r = 20 et R = 43. Si ce sont des valeurs normalisées, alors il s'agit probablement du diamètre extérieur.
Pour faciliter le montage et démontage, (en espérant que les 3 tubes de 20 entrent dans le tube de 43), je pense qu'il serait préférable de prévoir une petite pièce cylindrique qui pourra entrer à l'axe (entre les 3 tubes) et qui plaquera les 3 tubes. Je pense à la technique utilisée pour bloquer les guidons de vélo.
N'hésitez pas à revenir, ce problème est intéressant.

Dlzlogic
09-10-2016 13:41:49

Bonjour Yoshi,

Yoshi a écrit :

Et pas plus qu'avec Al Kashi, je n'obtiens d'équation du 2nd degré.

Comme je suis très paresseux, je n'ai pas fait le calcul. Cependant, que ce soit avec Pythagore ou une autre formule, les termes sont de la forme (a+b)² ou (a-b)² autrement dit on a forcément des distances au carré. D'autre part la définition du cercle de rayon r' est d'être tangent aux cercles de centre A et de centre B, rayon r. Le cercle de centre O et de rayon R répond aussi à la question.
La façon de mener les calculs permet une simplification, ce qui permet d'ignorer la solution où r' = R.
On remarque aussi que la solution r' = r existe aussi. La présence de la figure lève toute ambiguïté.

PUSSY
09-10-2016 13:39:35

Bonjour,

Oh la la la formule, même si elle est du premier degré !
Même en remplaçant "r' " par "x" pour éviter les erreurs, en faisant le calcul, je trouve un résultat trop petit par rapport au dessin.
En recommençant, je trouve un résultat absurde !
Donc je dois me tromper quelque part. A refaire à tête reposée.

Pour l'info, j'essaie de réaliser des trépieds. Plutôt que d'articuler les pieds sur un mat central, j'ai pensé introduire trois tubes (Ø20) (les ronds noirs) dans un manchon (Ø43 intérieur) (le rond rouge). Seulement, pour un montage/démontage facile, il faut du jeu et qui dit jeu dit instabilité.
Je comptais réduire le manque de rigidité en introduisant deux contacts supplémentaires au niveau des tubes Ø20 (ronds noirs).

Voilà, vous savez tout (ou presque).
Pour ce projet, soit je recommencerai le calcul jusqu'à trouver un résultat cohérent, soit j'utiliserai un logiciel de dessin avec "accroche objets", soit je ferai des essais.

Je vois que "JPP" à été plus rapide (plus ordonné) que moi car son résultat colle à la réalité.
Je vais donc, pour le fun, essayer de trouver le même résultat.

Problème résolu en ce qui me concerne.
Merci pour l'aide.
Bye.

yoshi
09-10-2016 12:34:35

Bonjour,

Depuis hier soir, je n'ai pas arrêté de calculer comme un sabot, alors comme ne n'aime pas  trop emprunter les chemins des autres, j'ai fait une infidélité à Al Kashi, et suis allé retrouver ce bon vieux Pythagore (ou toutefois ses mânes) : les calculs se sont révélés moins lourds.
161009011324540569.jpg
Fichier geogebra à votre disposition...

Le triangle O1DI est rectangle D.
[OD] est une médiane O1O2O3 est équilatéral, donc isocèle et la médiane est aussi médiatrice et hauteur relative au côté [O1O3] et bissectrice de [tex]\widehat{O_1O_2O_3}[/tex]
Les angles [tex]\widehat{IO_2O_3}[/tex] et  [tex]\widehat{IOy}[/tex], en position d'angles correspondants avec (O_2O_3)//[Oy sont donc égaux [tex]\left(\text{à }\frac{pi}{6}\right)[/tex]).
J'ai [tex]O_1I=r+r'[/tex], [tex]O_1D=r[/tex] et [tex]DI = OG-OD-IG = R-OO_1/2-r'[/tex]
[tex]DI = R-R(2-\sqrt 3)-r' = R(1-2+\sqrt 3)-r'[/tex]
On a donc ;
[tex]DI=R(\sqrt 3 - 1)-r'[/tex]
[tex]O1D=r[/tex]
[tex]O_1I=r'+r[/tex]
Et pas plus qu'avec Al Kashi, je n'obtiens d'équation du 2nd degré.
Donc théorème de Pyrthagore :
[tex](r'+r)^2=[R(\sqrt 3 -1)-r']^2+r^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]r'^2+2r'r+r^2 = R^2(4-2\sqrt 3)-2Rr'(\sqrt 3-1)+r'^2+r'2[/tex]
Je simplifie en supprimant [tex]r'2+r^2[/tex] dans chaque membre :
[tex]2r'r= R^2(4-2\sqrt 3)-2Rr'(\sqrt 3-1)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2R(2\sqrt 3-3)r'+2R(\sqrt 3-1)r'=R^2(4-2\sqrt 3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2R(2\sqrt 3-3+\sqrt 3-1)r'=2R^2(2-\sqrt 3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]2R(3\sqrt 3-4)r'=2R^2(2-\sqrt 3)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]r'=\frac{2R^2(2-\sqrt 3)}{2R(3\sqrt 3-4)}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow[/tex]
[tex]r'=\frac{R(2-\sqrt 3)}{3\sqrt 3-4}[/tex]
Je rends rationnel le dénominateur :
[tex]r'=\frac{R(2\sqrt 3-1)}{11}[/tex]
J'en tire :
[tex]I\left(\frac{3R(2\sqrt 3-1)}{11}\,;\,\frac{R(6-\sqrt 3)}{11}\right)[/tex]

[tex]J(\left(\frac{-3R(2\sqrt 3-1)}{11}\,;\,\frac{R(6-\sqrt 3)}{11}\right)[/tex]
et comme OK = OI
[tex]K\left(0\,;\,\frac{R(13\sqrt 3-12)}{11}\right)[/tex]
Le dessin est là pour attester de l'exactitude des calculs : tous les cercles ont été placés à partir des coordonnées calculées des points et des rayons calculés également...

@+

[EDIT]

Ostap Bender a écrit :

Que pensez-vous de l'idée d'inverser la figure par rapport au point de tangence du cercle de rayon R et du cercle de rayon r′ ?

inverser avec  i minuscule = verbe dont dérive le mot Inversion avec majuscule ?
Que dirais-tu de lâcher un peu plus d'info ? Parce que telle quelle ta suggestion ne m'inspire pas ; s'il s'agit d'utiliser une Inversion, personnellement, je n'ai pas retouché à cette transformation ponctuelle depuis 1966 ! Alors vois-tu... ;-)
Bon, moi, j'ai fait avec des outils de 4e/3e Pythagore, produits remarquables, résolution d'équation se ramenant au 1er degré et une petite incursion en lycée avec l'emploi de la quantité conjuguée.

Ostap Bender
09-10-2016 10:42:49

Bonjour à tous.

Que pensez-vous de l'idée d'inverser la figure par rapport au point de tangence du cercle de rayon [tex]R[/tex] et du cercle de rayon [tex]r'[/tex] ?

Bon dimanche,

Ostap Bender.

jpp
08-10-2016 22:36:47

salut.

calcul de r'  en fonction de r  :
[tex]r' = r\times{\frac{2 + \sqrt3}{6 + \sqrt3}} \approx0.4826728..r[/tex]

Dlzlogic
08-10-2016 19:52:00

Bonsoir Yoshi,
Ce genre de problème de géométrie plane fait partie de mes compétences élémentaires.
Cependant, ce n'est en aucun cas la panacée. Il est évident que la géométrie analytique est un outil incontournable.
Cette discussion met en évidence un point fondamental : un membre pose une question, ou plutôt dit qu'il n'arrive pas à résoudre tel exercice. Je suis complètement déconnecté du système éducatif, donc a priori je suis incapable de donner la solution qu'il attend. Donc, pour moi, le seul moyen de l'aider est de le guider et la seule méthode est de lui poser des questions.
C'est la seule façon que je connaisse. Naturellement je n'ai jamais "caché mon jeu".
Pour le sujet dont il s'agit, j'avoue que j'aimerais bien savoir le but réel de cette question.

Bonne soirée.
[HS] Dans mon logiciel, j'ai une fonction de "calcul de centre de cercle". C'est un calcul par contrainte, je crois avoir étudié tous les cas possibles, de mémoire, il y en a 24. Toute l'info à ta disposition. [/HS]

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