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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Yassine
14-09-2016 13:27:35
Maleval a écrit :

J'ai déjà vérifié que quelque soit la base, φ et 1/φ ont les mêmes décimales.

Mais en quoi est-ce miraculeux ?
$\varphi$ vérifie (et peut être défini par) $\varphi^2 = \varphi + 1$, ce qui est équivalent à (comme $\varphi > 0$) à $\varphi - 1 = \frac{1}{\varphi}$.
Dire donc que $\varphi - 1$ et $\frac{1}{\varphi}$ ont la même écriture (ou que $\varphi$ et $\frac{1}{\varphi}$ ont les mêmes chiffres après la virgule) dans toutes les bases est assez trivial non ?

Dlzlogic
14-09-2016 12:02:11

Bonjour Maleval,
Ces relations sont-elles toujours vraies quelle que soit la base de numération ?
Si on regarde de plus près, la formule ressemble fort à un développement en série, sauf qu'il y a un signe '=' qui n'a rien à y faire.
De toute façon, il ne faut pas se faire d'illusion, il est impossible d'avoir une valeur exacte de nombres transcendants.
Donc, soit ces formules sont approchées, de la même façon que 22/7 est une valeur approchée de pi, soit c'est une arnaque pure et simple pour [je sais pas quoi d'ailleurs].

Dlzlogic
13-09-2016 18:12:28

@ Maleval,
Moi aussi je me suis beaucoup intéressé au nombre pi.
J'ai un article très documenté sur ce nombre. Si ça vous intéresse, je peux le rechercher, demander l'autorisation de le copier et le mettre en lien. En particulier il propose plusieurs constructions géométriques intéressantes mais naturellement approchées de ce nombre. Je retiendrai en particulier l'expérience de l'aiguille (de Buffon) qui constitue une vérification expérimentale incontestée de la théorie des probabilités.

leon1789
13-09-2016 17:58:37

salut

Yassine,
Pas de souci pour le sujet hors discussion. De toute façon, je séchais complètement...


Maleval,
Dlzlogic a présenté un document amusant (mais sérieux). Je retiendrais cette phrase pour résumer très rapidement :
<< Néanmoins, il est intéressant de savoir que de telles fausses coïncidences existent et sont très nombreuses >> (page 11)

Yassine
13-09-2016 15:51:22

@Maleval,
Désolé si je t'ai froissé (j'espère que le tutoiement, que j'adopte comme règle dans les forum mathématiques, ne te gène pas).
Bien que je pense avoir une bonne maîtrise du Français, ce n'est pas ma langue maternelle, et il est possible que ma compréhension de certains mots soit incomplète.

Maleval a écrit :

La nature doit avoir la faculté tout à fait incroyable d'utiliser les ratios, comme pi, phi, alpha (couplage) pour la perception de la géométrie, à la surface de ce miroir : conceptuel][réel, discret][continu, temps][espace, onde][corpuscule,]électromagnétisme][gravitation

Ici, tu sembles pointer quelque mystère caché dans la "nature". C'est ce propos que j'ai peut être maladroitement qualifié de mystique.

Dlzlogic
13-09-2016 13:47:49

Bonjour Maleval
Le sujet que vous avez proposé m'a immédiatement fait penser à cet article : https://fr.scribd.com/document/14161596 … rimentales
Jean Jacquelin a écrit d'autres papiers, tous aussi rigoureux et passionnants. Tous tournent plus ou moins autour des régressions, lesquelles sont naturellement fondées sur les probabilités. 
Bonne journée.

Yassine
13-09-2016 10:57:28

@Maleval
Désolé d'avoir un peu squatté ce sujet dont l'objet est finalement assez éloigné de la discussion entre Léon et moi.
Je n'ai rien de pertinent à dire sur les relations que tu as postées, ni sur la portée philosophique ou mystique de certaines identités mathématiques.

@Leon
Si jamais tu as un exemple, pourrais-tu plutôt ouvrir un nouveau sujet pour ne pas polluer celui-ci (quitte à mettre un lien pour ceux qui lisent ce fil et veulent suivre)

Yassine
12-09-2016 08:58:06
Leon a écrit :

est-ce que l'univers des suites périodiques à valeurs dans {0,...,9} pourrait être favorable à ta demande

Il faut voir l'exemple. La période permet en réalité de ne s'intéresser qu'à une portion finie de la suite, le reste étant identique par périodicité. Je n'ai donc pas l'impression qu'on pourra vraiment formuler des événement portant sur le comportement à l'infini.

Yassine
12-09-2016 08:42:03
Leon a écrit :

Cela dit,  $\Omega=\mathbb{N}^∗$ puisque le résultat d'une expérience est un nombre de lancers, et non la suite des faces obtenues lors de ces lancers.

Disons que $\Omega$ est censé représenter tous les états du monde. Le fait que tu dises que l'expérience consiste à lancer un dé jusqu'à obtenir '6' suggère qu'il y a un état où on a fait (1,6) et un autre où on a fait (2,6), le fait que tu ne retiennes finalement que le nombre de lancers est plutôt à incorporer dans la notion d'événement, ici $A_2=\{(1,6),\cdots,(5,6)\}$. Tu peux ensuite identifier $A_k$ avec $k$.
Cela dit, il est tout à fait légitime de poser $\Omega:=\mathbb{N}^∗$ et de définir une tribu ($\mathscr{P}(\Omega)$) et une mesure $P(k)=\frac{1}{6}(\frac{5}{6})^{k-1}$. Mais ce n'est pas ce que je cherchais comme exemple.

leon1789
12-09-2016 06:55:00

$\{0,1,...,9\}^{\mathbb N}$, ie l'ensemble des suites à valeurs dans {0,...,9}, étant non dénombrable,
$\cup_{n\in \mathbb N} \{0,1,...,9\}^n$, ie l'ensemble des suites finies à valeurs dans {0,...,9}, amenant des événements cylindriques,
est-ce que l'univers des suites périodiques à valeurs dans {0,...,9} pourrait être favorable à ta demande ?? (même si je n'ai pas d'exemple finalisé)

leon1789
11-09-2016 20:59:19

Je comprends (je crois) ton objectif quand tu parles d'événements non cylindriques, je ne sais pas si je peux trouver un tel exemple.

Ok, mon exemple du lancers de dé jusqu'à obtenir 6 ne convient pas.
Cela dit,  $\Omega = \mathbb N^*$ puisque le résultat d'une expérience est un nombre de lancers, et non la suite des faces obtenues lors de ces lancers.

Yassine
10-09-2016 21:42:16

Pour l'exemple, c'est juste une variante des événements cylindriques que je mentionnais.
Le cadre fini permet déjà de répondre à l'exemple que tu donnes. Tu l'as juste présenté formellement sous des atours de cadre infini dénombrable.
Ce que je cherche, c'est un exemple avec des événements non cylindriques, donc qui portent sur des caractéristiques vraiment liées à l'infini.

-- EDIT --
D'ailleurs, dans ton exemple, $\Omega$ n'est pas $\mathbb{N}^*$, c'est plutôt $\displaystyle \cup_{N=0}^{\infty}\big( [\![1,5]\!]^N \times \{6\}\big)$ (qui est dénombrable en tant q'union dénombrable d'ensembles dénombrables). Et les événements auxquels tu t'intéresses sont en effet les singletons de cet ensemble.
Une autre approche est de considérer $\Omega = [\![1,6]\!]^{\mathbb{N}}$, l'équiper de la tribu générée par les événements cylindriques et de regarder la probabilité des événements cylindriques du type $A_k = [\![1,5]\!]^{k-1} \times \{6\}\times [\![1,6]\!]^\mathbb{N}$.
On retrouve d'ailleurs $\displaystyle P(A_k)=P( \{6\})\Pi_1^{k-1} P([\![1,5]\!]) = \frac{1}{6}(\frac{5}{6})^{k-1}$

-- CORRECTION --
Dans le cas où $\displaystyle \Omega = \cup_{N=0}^{\infty}\big( [\![1,5]\!]^N \times \{6\}\big)$, les événements que tu mentionnes ne sont pas les singletons de cet ensembles mais les ensembles $A_k = [\![1,5]\!]^{k-1} \times \{6\}$, la tribu est simplement $\mathscr{P}(\Omega)$. La probabilité d'un élément $\omega \in \Omega$ est alors donnée par $P(\{\omega\})=(\frac{1}{5!})^{\pi(w)}\frac{1}{6}$ où j'ai noté $\pi(\omega)$ l'unique entier $N$ tel que $\omega \in  [\![1,5]\!]^N \times \{6\}$

leon1789
10-09-2016 17:18:49
Yassine a écrit :

Le meilleur cadre est à mon sens la densité qui a été donnée par Ostap, qui dans le cas trivial de la constante de Liouville donnera une densité de 1 pour le chiffre '0' et une densité nulle pour les autres chiffres

je suis d'accord.

Yassine a écrit :

Je n'ai pas encore trouvé d'exemple concret (qu'on puisse rattacher à une expérience de pensée) d'un espace $\Omega$ infini dénombrable avec une tribu et une probabilité

Considère le nombre de lancers d'un dé nécessaires pour obtenir la face "6". Alors $\Omega = \mathbb N^*$, et $P({k}) = (5/6)^{k-1}/6$ pour $k \in \mathbb N^*$. C'est la loi géométrique (que l'on rencontre aussi avec la désintégration des noyaux nucléaires)
En ce qui concerne la tribu, c'est la tribu engendrée par les singletons, c'est-à-dire l'ensemble de toutes les parties de $\mathbb N^*$.
Non ?

Yassine
10-09-2016 15:11:35
leon1789 a écrit :
Yassine a écrit :

Je suppose donc qu'on a une mesure $P(\{e\}) \in [0,1]$ pour $e \in E$ telle que $\sum_{e \in E} P(\{e\}) = 1$.
(...)
Si on interprète $P(E_{0,N})$ comme la probabilité de trouver au moins un $0$ dans l'écriture décimale de la constante de Liouville au delà du $N$-ième rang, (...)

Mais, dès le début, si lorsque $e = (i, c)$ avec c = 0 ou 1, est-ce que $P(\{e\})$ est une "mesure"/"probabilité" liée à la nullité de c ? Non, je ne vois pas pourquoi. Donc je ne vois pas pourquoi on pourrait interpréter $P(E_{0,N})$ comme la probabilité de trouver au moins un $0$ ...

J'avais posté l'autre message avant de lire ta réponse.
Oui, tu as raison pour $P(E_{0,N})$. Il faut lire mon post précédent

Yassine
10-09-2016 14:59:56

Je viens de lire quelques articles sur le Net. Je pense que j'avais quelques confusions entre la notion de "mesure" qui serait définie sur des parties dénombrables, et là, clairement, la définition via des série positives convergentes n'est pas satisfaisante, et des probabilités qui seraient définies sur un ensemble $\Omega$ dénombrable muni d'une tribu et d'une mesure des éléments de cette tribu.

Dans le cas de l'étude de l'écriture décimale des réels, on peut l'aborder de deux manières :
- étude du "poids relatif" des chiffres de '0' à '9'. Le meilleur cadre est à mon sens la densité qui a été donnée par Ostap, qui dans le cas trivial de la constante de Liouville donnera une densité de 1 pour le chiffre '0' et une densité nulle pour les autres chiffres
- cadre probabiliste pour poser des questions genre 'Quelle est la probabilité qu'un nombre $\in ]0,1[$ ait '1' dans son écriture décimale aux rangs pairs', il faut donc considérer $\Omega = \{0,1,\cdots,9\}^{\mathbb{N}}$ (qui n'est clairement pas dénombrable), l'équiper d'une tribu et d'une mesure.

Donc, une expérience de lancers infinis de dé (ou de choix aléatoire d'un chiffre en '0' et '9') ne rentre clairement pas dans le champs des probabilités "infini dénombrable". Un des article présente une probabilisation de cet espace comme suit :
- il considère chaque lancer $k$ comme probabilisé par $(\Omega_k=[\![1,6]\!], \mathcal{P}(\Omega_k), P_k)$ avec $P_k$ la probabilité uniforme par exemple.
- il considère ensuite $\Omega = \Pi_{k=1}^{+\infty}\Omega_k$ (lire produit cartésien
- il considère ensuite les événements "cylindriques" : un événement peut être vu comme $A = \Pi_{k=1}^{+\infty} A_k$ avec $A_k \subset \Omega_k$. Un événement est dit cylindrique si à partir d'un certain rang $k$, $A_k = \Omega_k$.
- il considère la tribu générée par les événements cylindriques et l'équipe de la probabilité $P(A)=\Pi_{k=1}^{+\infty} P(A_k)$. Le produit est bien défini car à partir d'un certain rang, $P(A_k)=1$.
La notion d'événement cylindrique limite néanmoins l'intérêt de cette approche, on ne peut envisager que des questions portant sur un nombre fini d'étapes (probabilité d'obtenir 1, puis 2, puis 5 fois 6 par exemple).

Je n'ai pas encore trouvé d'exemple concret (qu'on puisse rattacher à une expérience de pensée) d'un espace $\Omega$ infini dénombrable avec une tribu et une probabilité

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