Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

Répondre

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le deuxième mot de cette phrase?

Retour

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

leon1789
31-08-2016 15:18:53

Joli Pondy !

xy=20*6 venant de

Soit quatre points B,C,M,N distincts.  Si P est l'intersection des droites (B,N) et (M,C) alors
Aire(B,M,P) * Aire(C,N,P) = Aire(M,N,P) * Aire(B,C,P)

bien plus simple que celle de mon message #15 !

pondy
31-08-2016 14:08:56

Hello
a=AM
b=MB
x=aire de MOB
y=aire de ONC
AMN et MBN ont la même hauteur
24/a=(x+6)/b
AMC et MBC ont la même hauteur
donc
(30+y)/a=(20+x)/b
on en déduit
a/b=24/(x+6)=(30+y)/(20+x)
et
6x+6y+xy=300
comme xy=20*6=120

6x+6y=180
x+y=30
aire du triangle  24+6+20+30=80

à noter qu'on trouve facilement x et y (on a la somme et le produit)

leon1789
31-08-2016 13:09:05

Arf :) Je n'arriverai pas à suivre le jeu des petits mots, même en y passant tout l'alphabet en couleur !

Pour le coté math : en effet, en traduisant tout algébriquement, une fois ABC est fixé, il y a une (et une seule) équation de degré 2 à résoudre, d'où deux solutions Q-conjuguées.

EDIT : J'ai l'impression que le nombre $\pm \sqrt{105}$ est intrinsèque à la situation de l'énoncé...

camille23
31-08-2016 10:21:54

Bonjour,

Les petits jeux sont toujours très intéressants pour ne pas passer à coté des solutions complètes.
Avez vous vu, léon1789, qu'en partant d'un triangle ABC d'aire 80,
il y a deux couples M,N dans ce triangle correspondant aux aires fixées dans l'énoncé
ou
en le construisant comme je le propose à partir d'un segment [AB], il y a deux points C solutions dans un demi-plan ?

leon1789
31-08-2016 08:21:25

La géométrie a toujours été un moyen de faire des petits jeux de petits mots : par exemple, je considérais (post #8) les aires des triangles MON et BAC, et Camille joue aussi (post #25) ... :)

camille23
31-08-2016 04:24:41

Bonjour,

@leon1789 : Je pense que vous avez largué du monde avec vos post #15 et #22 (d'un niveau très intéressant).

Pour ceux qui voudraient une géométrie plus habituelle (plus rudimentaire) je conseille d'utiliser :
"deux triangles de même hauteur ont des aires proportionnelles à leur base."

ce qui conduit "naturellement" et visuellement au rapport BM/AM=r

avec [tex]r=\frac{21+\sqrt{105}}{24}[/tex]  et (aire BOM+aire CON) = 30

je confirme aussi post #17 : "un triangle rectangle isocèle en A, avec MN parallèle à BC, et respectant les hypothèses de l'exo, n'existe pas."

leon1789
30-08-2016 15:18:21

hum... C'est là où on voit un gros intérêt d'un logiciel de géométrie...

camille23
30-08-2016 15:00:52

rererebonjour,

oui, si vous avez vu pourquoi O est entrainé sur une parallèle à [AB] quand N se déplace sur une parallèle à [AB]
alors regardez la même chose pour C (par exemple voyez qu'une parallèle à MC passant par N coupe [AB] en un point fixe...)
Ces homothéties de centre B (ou de centre A) fonctionnent indépendamment des aires des triangles quand M est fixé sur [AB].

leon1789
30-08-2016 14:57:32
leon1789 a écrit :

Soit quatre points B,C,M,N distincts.  Si P est l'intersection des droites (B,N) et (M,C) alors
Aire(P,M,N) / Aire(P,B,C) = ( Aire(C,M,N) * Aire(B,M,N) ) / ( Aire(B,C,M) * Aire(B,C,N) )

Allez, je vais prouver cette formule. Pour cela, j'utilise les coordonnées barycentriques et le déterminant (comme moyen de calculer les aires : confer https://fr.wikipedia.org/wiki/Coordonn% … ns_le_plan )

Notre repère barycentrique est B(1,0,0), C(0,1,0), M(0,0,1).
N, quelconque distinct, pour coordonnées normalisées (n1, n2, n3) avec n1+n2+n3=1

P l'intersection des droites (B,N) et (M,C) a pour coordonnées (0, n2/(n2+n3), 1-n2/(n2+n3))

Enfin, "proportionnellement" à a=Aire(B,C,M) , on obtient à vue :
Aire(N,C,M) = |det(N,C,M)|.a = n1 .a
Aire(B,N,M) = |det(B,N,M)|.a = n2 .a
Aire(B,C,N) = |det(B,C,N)|.a = n3 .a
Aire(N,P,M) = |det(N,P,M)|.a = n1.n2/(n2+n3) .a
Aire(B,C,P) = |det(B,C,P)|.a = n3/(n2+n3) .a

ce qui prouve la formule annoncée.

leon1789
30-08-2016 14:03:42
camille23 a écrit :

Si par construction O est sur (d) homothétique de (MN) par rapport à A (vous avez vu pourquoi !)
alors O et N sont homothétiques par rapport à B....vous voyez pourquoi : regardez l'intersection de (d) avec (AB)
Si N se déplace sur sa droite parallèle à (AB), alors O se déplace aussi sur une droite parallèle à (AB)

ok, l'aire constante du triangle MON est assurée par construction de 0 sur (d).

camille23 a écrit :

Toutes les aires restent constantes car les bases sont fixes et les hauteurs constantes

oui, mais encore fuat-il que les bases soient fixes.
Pour le triangle BOC, les points O et C bougent... c'est la construction de C qui maintient l'aire constante ?

camille23
30-08-2016 11:59:53

rerebonjour,

@leon1789 : il vous faut donc revoir les propriétés de l'homothétie.

Si par construction O est sur (d) homothétique de (MN) par rapport à A (vous avez vu pourquoi !)
alors O et N sont homothétiques par rapport à B....vous voyez pourquoi : regardez l'intersection de (d) avec (AB)
Si N se déplace sur sa droite parallèle à (AB), alors O se déplace aussi sur une droite parallèle à (AB)
Toutes les aires restent constantes car les bases sont fixes et les hauteurs constantes :
C'est de la géométrie simple ! Pas besoin de formule compliquée...

leon1789
30-08-2016 11:14:24

Merci pour le confirmation.
Comment voit-on mathématiquement que les aires de MON et BOC ne changent pas (quand il y a 2 sommets sur 3 qui bougent) ?

Camille23
30-08-2016 11:05:18

Rebonjour,

Oui c'est ça...
Pour le point O par construction il dépend de l'homothétie de centre A.de rapport 5/4..
Utilisez donc Geogebra : Un must pour la géométrie

leon1789
30-08-2016 08:51:40

Personnellement, j'essaie de trouver des formules généralisant la situation, mais bon, je conçois que cela ne passionne pas les foules :)

La question finale de mon message #14 concerne un triangle (à partir duquel Dlzlogic fait sa démonstration). Le problème est qu'un tel triangle rectangle isocèle en A, avec MN parallèle à BC, et respectant les hypothèses de l'exo, n'existe pas. (Il y a trop de contraintes... qui ne sont pas toutes nécessaires.)

camille23 a écrit :

il faut construire un triangle qui convienne : de coté [AB] donné par exemple, avec un point M sur [AB].
vous savez où se trouve N : sur une parallèle à (AB) telle que pour un point N sur cette droite l'aire du triangle AMN soit 24.
La clé de la construction c'est de remarquer que le point O se trouvera sur une droite (d)
homothétique de (MN) para rapport au point A et de rapport 5/4.
l'intersection de (BN) et d donne le point O, puis l'intersection de (AN) et (MO) donne le point C.
Reste à ajuster le point M sur [AB] pour que le triangle BOC ait une aire égale à 20 : Je vous conseille Geogebra.

C'est une méthode pour construire un triangle quelconque parmi tous les triangles possibles vérifiant l'énoncé, c'est ça ?

camille23 a écrit :

Maintenant vous pouvez translater le point N sur sa parallèle à (AB), C suit sur une parallèle à (AB)
sans que les aires ne changent (remarque de Dlzlogic)...

A,M,B sont fixes, et N,C se déplacent parallèlement à (AB), ok, et le point O ? Comment voit-on que les aires de MON et BOC ne changent pas (quand il y a 2 sommets sur 3 qui bougent) ?

camille23
30-08-2016 07:16:12

Bonjour,

Vous avez la démonstration devant vous sous forme simple, au lieu de vous chamailler.
il faut construire un triangle qui convienne : de coté [AB] donné par exemple, avec un point M sur [AB].
vous savez où se trouve N : sur une parallèle à (AB) telle que pour un point N sur cette droite l'aire du triangle AMN soit 24.
La clé de la construction c'est de remarquer que le point O se trouvera sur une droite (d)
homothétique de (MN) para rapport au point A et de rapport 5/4.
l'intersection de (BN) et d donne le point O, puis l'intersection de (AN) et (MO) donne le point C.
Reste à ajuster le point M sur [AB] pour que le triangle BOC ait une aire égale à 20 : Je vous conseille Geogebra.

Maintenant vous pouvez translater le point N sur sa parallèle à (AB), C suit sur une parallèle à (AB)
sans que les aires ne changent (remarque de Dlzlogic)...
Déplacez alors le point N sur sa droite parallèle à [AB] pour que l'angle BAN soit droit et faites le calcul de leon1789 du post #2.
alors tout le monde est satisfait !

Pied de page des forums