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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

freddy
22-08-2016 15:24:18

Salut,

pour Yassine et JPP exclusivement

raisonnement et donc résultat OK, bravo !

Pour les autres, bonne recherche.
Je donnerai une solution sous peu.

freddy
15-08-2016 17:11:46

Salut yassine,

j'attends la réponse de tibo !

Yassine
15-08-2016 15:52:29

@freddy,
tu ne m'as pas dis si ma réponse (et ma démo) étaient corrects ?

freddy
13-08-2016 12:11:33
tibo a écrit :

[edit] en fait non on ne peut pas se ramener à une dimension à cause du bord de mer...

Salut tibo,

exact ! Donc tu peux encore chercher "mieux" !

Yassine
12-08-2016 09:59:20
freddy a écrit :
Yassine a écrit :

Argh...
Je pense m'être planté d'un indice dans mon calcul.

How about

2014

Oh, non encore, dommage !

Je sais, je sais, il me manquait un deux. J'ai corrigé et posté en même temps le détail.

Yassine
12-08-2016 09:57:39
détails de ma démo

Premier constat : le problème est complètement invariant par translation horizontale. L'espérance demandée est donc indépendante de la coordonnée horizontale de la sauterelle.

Je note $n$ la coordonnée verticale de la sauterelle, avec $n=0$ sur le bord de mer et $n=N$ sur le bord de la végétation. Je note également $u_n$ l'espérance du nombre de pas demandée, en partant de la hauteur $n$.

On a alors, pour $n \in \{1,\cdots,N-2\}$ la relation de récurrence suivante
$u_{n} = \frac{1}{4}(u_{n+1}+1) + \frac{1}{4}(u_{n-1}+1) + \frac{2}{4}(u_{n}+1)$ qui exprime le fait que, loin des bord, la sauterelle à une probabilité de $\frac{1}{4}$ d'aller en haut, en bas, à droite ou à gauche. Du fait de l'invariance horizontale, l'espérance du nombre de pas ne change pas quand elle saute à droite ou à gauche.
Si on pose $v_n = u_n - u_{n-1}$, cette relation  devient tout simplement $v_{n+1}=v_n - 4$.

En faisant le même raisonnement sur le bord de mer (la proba devient cette fois-ci $\frac{1}{3}$ pour à gauche, à droite et en haut), on obtient
$u_0 =\frac{2}{3}(u_0+1) + \frac{1}{3}(u_1 + 1)$, ce qui donne $v_1 = -3$.

De même, pour la hauteur $n=N-1$ (juste avant d'arriver sur la végétation), on a
$u_{N-1} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4}(u_{N-2}+1) + \frac{2}{4}(u_{N-1}+1)$
Soit encore, sachant que $u_N=0$, la relation $v_{N-1}-v_N=5$.

Ces relations permettent de calculer entièrement $v_n$ : $\forall n \in \{1,\cdots,N-1\}, v_n = -4n+1$ et $v_N = v_{N-1}-5$.

Ensuite, on reconstitue $u_n$ en sommant les $v_n$, en partant du bord haut où on connait $u_N$. On a la relation
$u_N-u_n =\sum_{k=n+1}^N v_k$

avec $N=45$ Je trouve $u_{32}=2016$ (et non $2014$ comme indiqué, je m'étais trompé dans l'équation près de la végétation, il me manquait un $2$)




freddy
12-08-2016 09:40:43
Yassine a écrit :

Argh...
Je pense m'être planté d'un indice dans mon calcul.

How about

2014

Oh, non encore, dommage !

jpp
12-08-2016 09:27:34

salut.


la sauterelle

je place le bord de la prairie à l'ordonnée 0 , le bord de mer est donc à l'ordonnée 45.
lorsque la sauterelle est arrivée à l'ordonnée y = 0  , elle est alors au ras de la prairie et son espérance de survie en quantité de saut est de 1 saut.
on l'appelle E0 , E0 = 1   ;  lorsque la sauterelle est à  32m du bord de mer , son ordonnée est  d = 13 . ( d est la distance la séparant du pré)
A cet endroit , son espérance mathématique de quantité de sauts lui permettant d'être enfin à l'abri est E13
Lorsque la sauterelle est au bord de mer son espérance est Ed = E45 ( ici d = 45) . Et dans ce cas elle ne peut choisir que 3 directions. E , O & S puisque qu'elle a horreur de l'eau et pour elle c'est la mort assurée  ; je suis pêcheur .
Par contre Ed = E45 est tributaire de E45 si elle se dirige vers l'ouest ou l'est et de E(d-1) = E44 si elle se dirige vers le sud.
Alors :
[tex] E_{45} = 1 + \frac23 . E_{45} + \frac13 . E_{44} -->  E_{45} = 3 + E_{44} [/tex]

[tex] E_{L} = 1 + \frac23 . E_{L} + \frac13 . E_{L-1} -->  E_{L} = 3 + E_{L-1} [/tex]

et  [tex] E_0 = 1 [/tex]

Dans tous les autres cas où l'ordonnée  0 < y < L , les 4 directions de provenance sont autorisées .

Et  [tex] E_d = 1 + \frac12 . E_d + \frac14 . E_{d-1} + \frac14 . E_{d+1}  --> 4E_d = 4 + 2E_d + E_{d-1} + E_{d+1} [/tex]

puis en retirant [tex] 3E_d [/tex] de chaque membre :

[tex]  E_d - E_{d-1} = 4 + E_{d+1} - E_d  [/tex]

d'où les 3 équations :

[tex] \begin{cases}E_0  = 1&(1)\\E_{L} = 3 + E_{L-1}&(2)\\E_d - E_{d-1} = 4 + E_{d+1} - E_d&(3)\end{cases}[/tex]


l'expression (3) est valable pour tout   0 < n < L  si bien qu'en utilisant cette dernière , on peut écrire par exemple :

[tex]E_1 - E_0 = 2 \times 4 + E_3 - E_2   (3_2) [/tex]
ou encore :

[tex]E_1 - E_0 = 5 \times 4 + E_6 - E_5   (3_5) [/tex]

en règle générale:

[tex] E_1 - E_0 = d \times 4 + E_{d+1} - E_d  (3_d) [/tex]

et finalement:

[tex]E_1 - E_0 = (L-1) \times 4 + E_{L} - E_{L-1} = 176 + E_{45} - E_{44} = 176 + 3 = 179 [/tex]  , pour L=45

comme [tex]E_0 = 1 [/tex], alors  :

[tex] E_1 = 180[/tex]

[tex] E_1 - E_0 = 179 , E_2 - E_1 = 179 - 4 , E_3 - E_2 = 179 - 2 \times 4 , E_{d} - E_{d-1} = 179 - (d-1) \times 4 [/tex]

dans le cas où n = 13 (l'insecte étant à 32 m de la mer)

[tex]E_{13} = ( E_{13} - E_{12} ) + ( E_{12} - E_{11} ) + ( E_{11} - E_{10} ) + ( E_{10} - E_9 ) + ( E_9 - E_8 ) + ... + ( E_2 - E_1 ) + ( E_1 - E_0) + E_0 [/tex]

en règle générale :

[tex] E_d = \left[4.(L-1) + 3\right] \times {d} - 4 \times{\frac{d.(d-1)}{2}} + 1 [/tex] 

cela donne finalement :

[tex] E_d = (4L + 1).d - 2d^2 + 1 [/tex] (4)

donne avec d = 13 et L = 45 :

[tex] E_{13} = 13 \times 181 -  2 \times 169  + 1 = 2016 [/tex]

donne avec d = 44 :

[tex] E_{44} = 44 \times 181 - 2 \times 44^2  + 1 = 4093 [/tex]


Et [tex]E_{45} = E_{44} + 3 = 45 \times 181 - 2 \times 45^2 + 1 = 4096 [/tex]

avec la formule (4) on retrouve donc les différentes valeurs des [tex] E_d [/tex]

E(43) = 4086 , E(42) = 4075 , E(41) = 4060 , E(40) = 4041 , E(39) = 4018 , E(38) = 3991 , E(37) = 3960 , E(36) = 3925 , E(35) = 3886 , E(34) = 3843

E(33) = 3796 , E(32) = 3745 , E(31) = 3690 , E(30) = 3631 , E(29) = 3568 , E(28) = 3501 , E(27) = 3430 , E(26) = 3355 , E(25) = 3276 , E(24) = 3193

E(23) = 3106 , E(22) = 3015 , E(21) = 2920 , E(20) = 2821 , E(19) = 2718 , E(18) = 2611 , E(17) = 2500 , E(16) = 2385 , E(15) = 2266 , E(14) = 2143

E(13) = 2016 , E(12) = 1885 , E(11) = 1750 , E(10) = 1611 , E(9) = 1468 , E(8) = 1321 , E(7) = 1170 , E(6) = 1015 , E(5) = 856 , E(4) = 693 , E(3) = 526

E(2) = 355 , E(1) = 180 & E(0) = 1

sauf erreur .


Yassine
12-08-2016 09:23:08

Argh...
Je pense m'être planté d'un indice dans mon calcul.

How about

2014

freddy
12-08-2016 09:08:22

Hi,

non, désolé !

Yassine
12-08-2016 08:58:31

Bonjour,

Je trouve

2141

Si c'est bon, je poste le détail de ma démo.

tibo
04-08-2016 17:16:31

Sympa ! Une variante du problème du marcheur ivre.
Après simulations, je trouve un peu plus de 2000... Reste à le montrer...

Une idée comme ça :
Les déplacements est/ouest  étant inutiles et représentant un saut sur deux en moyenne, on peut se ramener à un problème à une dimension.

[edit] en fait non on ne peut pas se ramener à une dimension à cause du bord de mer...

freddy
04-08-2016 06:16:02

Hello tutti,

un nouveau petit problème (oui, je sais, Arthur va encore nous pondre quarante fois quinze remarques inutiles ou absconses, mais tant pis, je prends le risque !).

ÉNONCÉ

Une sauterelle se trouve sur une bande de sable de longueur illimitée et de [tex]Y[/tex] mètres de largeur bordée, au sud, par le bord de mer pris pour axe des abscisses et au nord, par la végétation qui court parallèlement à la mer.

La sauterelle cherche à atteindre la végétation par bonds successifs de [tex]Z \lt X [/tex] mètres pour échapper à ses prédateurs naturels. En effet, tant qu'elle est sur la bande de sable, elle est en grand danger.

Son point de départ est sur l'axe des ordonnées, à [tex]X \lt Y[/tex] mètres du bord de mer.

A chaque bond effectué à l'intérieur de la bande de sable, elle choisit au hasard une direction parallèle ou perpendiculaire au bord de mer.
Si elle atteint le bord de mer, elle choisit au hasard l'une des trois directions : nord, est ou ouest.
Si elle atteint le bord de la végétation, elle fait un ultime bond pour se mettre à l'abri.

Question : en posant [tex]X = 32[/tex], [tex]Y = 45[/tex] et [tex]Z=1[/tex], déterminer l'espérance mathématique du nombre de bonds qui la conduisent à son abri naturel.

Merci à Ph. F.

PS : plusieurs approches assez proches existent pour trouver la solution que je connais, il n'y a pas de démonstration "officielle", on n'est pas à l'école.

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