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Yassine
21-07-2016 08:02:09

Bonjour Boody,

Boody a écrit :

pour ma culture personnelle ce n'est pas vrai également pour tout intervalle fermé [a,b] avec a ≠ b ?

Disons que si on veut une bijection "sympathique" (c'est à dire au moins continue), la réponse est non (l'image d'un compact est un compact, donc bornée).
Si on enlève cette restriction, la réponse est oui. On peut construire une injection de $[a,b] \to \mathbb{R}$ (l'inclusion) et une injection de $\mathbb{R} \to [a,b]$ (prendre une fonction type arctan et s'arranger pour avoir $\displaystyle \lim_{-\infty}f = a$ et $\displaystyle \lim_{+\infty}f = b$). Alors, d'après le théorème de Cantor-Bernstein, il existe une bijection de $[a,b] \to \mathbb{R}$.

Boody
21-07-2016 00:51:01

Bonsoir,

Yassine a écrit :

... Et répondre que c'est impossible est faux (puisqu'on exhibe une stratégie qui peut le faire).

j'ai fini par lire la solution de Terces et l'explication de Zorblub, c'est simple, c'est clair, c'est évident ...
... en fait non la solution est aussi simple qu'elle n'est pas évidente à trouver. :)

Très bon problème, thk.


Yassine a écrit :

[...(tout intervalle ouvert est bijectif avec $\mathbb{R}$)...

pour ma culture personnelle ce n'est pas vrai également pour tout intervalle fermé [a,b] avec a ≠ b ?

freddy
20-07-2016 15:48:05

@Yassine,

ok vu, compris !

Yassine
20-07-2016 14:43:15
Terces a écrit :

Re,
Moi il y a des petits trucs qui me dérangent : On a un joueur qui tire au hasard 2 nombres n1 et n2, si on ne prends pas en compte le caractère humain du joueur, j'ai du mal à visualiser le fait de tirer 2 nombres aléatoirement sur un ensemble infini n1 et n2 : si je ne dis pas de bêtise la différence entre n1 et n2 devrait être infinie.

Pour moi on ne peux pas jouer à ce jeu sans bornes ou utilisation du caractère humain => loi normale. Ceci remet alors en question les méthodes possibles pour répondre à la question initiale.

PS : ca veut dire quoi "Memento Mori !..." ?

Je ne pense pas qu'il y ait de différence de nature entre tirer un nombre au hasard sur $\mathbb{R}$ et tirer deux nombres sur $\mathbb{R}$ : choisir un point au hasard sur une droite infinie ou choisir un point au hasard dans un plan infini devrait être tout aussi "simple" ou "problématique". De plus, comme $\mathbb{R}^2$ peut être mis en bijection avec $\mathbb{R}$, on peut passer d'un cas à l'autre sans problème. Restreindre à un intervalle ne simplifie pas particulièrement (tout intervalle ouvert est bijectif avec $\mathbb{R}$).

La vraie problématique est en effet la manipulation de l'infini. Choisir au hasard dans un ensemble infini n'est pas particulièrement intuitif, et c'est pourquoi, quand on manipule des probabilités dans le cadre continu, il est indispensable de revenir au cadre axiomatique. Quand on dit que le joueur tire au hasard un nombre suivant une loi gaussienne, on est juste en train de parler d'une fonction $a: \Omega \to \mathbb{R}$ telle que $P(a \in [x, x+dx[)=n(x)dx$ où $n(x)$ est la densité de la loi normale (centrée réduite). Il n'y a pas de choix, pas de hasard, rien. J’énumère des propriétés sur des fonctions.

freddy
20-07-2016 14:31:30

@tercès,

"Memento Mori ..."= souviens toi que tu es mortel !

Début d'une citation d'un homme du rang à un général romain célébrant sa victoire, je ne sais plus lequel.
Perso, il y a deux ans, j'entrais dans un centre hospitalier de renom "international" pour y être soigné d'une maladie dont le nom commence par un "c" qui peut t'emporter en moins de trois mois si tu ne fais rien. J'ai fini les soins qui m'ont bien mis "par terre" durant plus d'un an et suis en observation pour plusieurs années.
Donc maintenant, je dis que je me suis souvenu que j'étais aussi mortel, comme chacun d'entre nous.

Quand je serai déclaré "guéri", je changerai de citation et écrirai par exemple :"Carpe diem ! ... " ou une autre citation latine que je trouverai adaptée.

Au tout début de mon inscription sur ce site, j'avais écrit : "More Majorum ... ad Unum" citation empruntée aux Troupes de Marines où j'ai fait "mon régiment" en 1974.
Cela veut dire : "Mieux que le meilleur, ... jusqu'au dernier". La légion étrangère  s'arrête aux premiers termes, en souvenir de la bataille de Cameron, au Mexique, au 19ième siècle, où il se sont battus à 1 contre 10 !
Pour moi, ça veut dire que je chercherai toujours à me surpasser, tant que je le pourrais !

Yassine
20-07-2016 14:26:19
freddy a écrit :

Re,

pas d'accord, il y a une proba non nulle aussi que le choix soit à l'extérieur de l'intervalle x, y ... Comprends pas bien ton truc, là ! Pourquoi 1/2 de[tex] 1-p_{xy}[/tex] et pas aussi 1/2 de[tex] p_{xy}[/tex] ?

J'oublie le conditionnement $X=x,Y=y$ pour ne pas alourdir mes notations.
On a, par la règle des probabilités totales $P(\textrm{joueur a raison}) = P(\textrm{joueur a raison} \ |\ a \in ]x,y])P(a \in ]x,y]) + P(\textrm{joueur a raison} \ |\ a \notin ]x,y])P(a \notin ]x,y]) $
On a $P(a \in ]x,y]) = p_{xy}$ et $P(a \notin ]x,y]) = 1-p_{xy}$.
Par ailleurs, on a vu que $P(\textrm{joueur a raison} \ |\ a \in ]x,y]) = 1$ et $P(\textrm{joueur a raison} \ |\ a \notin ]x,y])=\frac{1}{2}$, ce qui donne bien $p_{xy} + \frac{1}{2}(1-p_{xy})$.

freddy
20-07-2016 14:14:54

Re,

pas d'accord, il y a une proba non nulle aussi que le choix soit à l'extérieur de l'intervalle x, y ... Comprends pas bien ton truc, là ! Pourquoi 1/2 de[tex] 1-p_{xy}[/tex] et pas aussi 1/2 de[tex] p_{xy}[/tex] ?

Terces
20-07-2016 13:40:34

Re,
Moi il y a des petits trucs qui me dérangent : On a un joueur qui tire au hasard 2 nombres n1 et n2, si on ne prends pas en compte le caractère humain du joueur, j'ai du mal à visualiser le fait de tirer 2 nombres aléatoirement sur un ensemble infini n1 et n2 : si je ne dis pas de bêtise la différence entre n1 et n2 devrait être infinie.

Pour moi on ne peux pas jouer à ce jeu sans bornes ou utilisation du caractère humain => loi normale. Ceci remet alors en question les méthodes possibles pour répondre à la question initiale.

PS : ca veut dire quoi "Memento Mori !..." ?

Yassine
20-07-2016 13:14:32

Salut Freddy,
Le temps ne joue aucun rôle dans cet exercice. On peut si on veut estimer que tout se passe à $t=0$. L'animateur peut choisir ses nombres selon sa propre procédure (choix au hasard ou deux nombres qu'il utilise à chaque fois). Le joueur tire un nombre selon la distribution gaussienne de manière complétement indépendante. Il y a une probabilité $p>0$ que le nombre tiré soit compris entre les deux nombres de l'animateur.

Plus formellement, on montre d'abord que $P(\textrm{joueur a raison}\ |\ X=x, Y=y) > \frac{1}{2}$, ensuite, on a $P(\textrm{joueur a raison}) = \int \int P(\textrm{joueur a raison}\ |\ X=x, Y=y)f(x,y)dxdy > \frac{1}{2}$ où j'ai noté $f(x,y)$ la densité de la probabilité jointe de $(X,Y)$.

Je ne suis pas sûr de voir en quoi ma présentation est manichéenne.
La question n'est pas de connaître toutes les stratégies possibles (la naïve en étant une en effet), mais de trouver une stratégie qui augmente la probabilité de gagner au delà de 1/2. Et répondre que c'est impossible est faux (puisqu'on exhibe une stratégie qui peut le faire).

freddy
20-07-2016 11:52:32

Salut Yassine,

tu choisis [tex]a[/tex] à quel moment ? Avant de connaître [tex]z[/tex] ou après ? Ce n'est pas très clair pour moi.

En outre, je reformulerais le pb autrement en disant : on peut jouer naïvement (et ce n'est pas une mauvaise réponse, proba de gagner 50 %) ou alors, on peut améliorer la proba de gagner par une stratégie à mettre au point.
Ta présentation est beaucoup trop manichéenne à mon goût, la solution naïve n'est pas fausse, on peut trouver plus performant, c'est tout.

Yassine
20-07-2016 08:11:35

Bravo à Terces et Zorblub.
Pour être plus complet, le choix du nombre $a$ doit se faire selon une loi qui garantisse que pour tous réels distincts $x$ et $y$ on ait $\mathbb{P}(a \in ]x,y]) > 0$. On peut par exemple choisir une distribution gaussienne. Si on note $p_{xy}$ cette probabilité (j'ai mis l'indice $xy$ pour souligner que ça dépend des nombres choisis par l'animateur du jeu), et que ma stratégie est de comparer à $a$ le nombre communiqué par l'animateur, disons $z$. Si $z < a$, je dis que l'autre nombre est supérieur à $z$, sinon, je dis qu'il est inférieur. La probabilité de gagner sera donc $p_{xy} + (1-p_{xy})\frac{1}{2}=\frac{1}{2}(1+p_{xy}) > \frac{1}{2}$.
Il convient néanmoins de noter que cette minoration n'est pas uniforme (je ne peux pas trouver une constante $C> \frac{1}{2}$ qui marche pour tous les $(x,y)$). En choisissant les deux nombres arbitrairement proches, l'animateur peut ramener cette probabilité vers $\frac{1}{2}$.
A noter également que ça ne dépend pas du fait que les nombres aient été choisis au hasard ou non, parce que l'espérance d'une variable strictement supérieur à $\frac{1}{2}$ et strictement supérieur à $\frac{1}{2}$.

--EDIT--
Correction d'une coquille : il faut lire $=\frac{1}{2}(1+p_{xy})$ et non $=\frac{1}{2}+p_{xy}$ comme ecrit précédemment.

freddy
20-07-2016 07:38:04

Re,

et surtout, dans tous les cas, il a une chance [tex]\gt 0{,}50[/tex] ...

Terces
19-07-2016 23:39:37
Zorblub a écrit :
Terces a écrit :

Salut,

Proposition 1 :

Je choisis un nombres réel a, si le nombre que le joueur me sort est plus petit je dis que il a tiré pile et sinon face.

On choisit a n'importe comment.  Du moment qu'il est strictement positif.

Il y a 3 cas

CAS I:
Si les 2 nombres sont inférieurs à a, il y a une chance sur 2 qu'il ait tiré pile et que je donne la bonne réponse

CAS II:
Si les 2 nombres sont supérieurs à a, il y a une chance sur 2 qu'il ait tiré face et que je donne la bonne réponse

CAS III:
Si un seul nombre est inférieur à a, je donnerai toujours la bonne réponse.

Conclusion: La probabilité excède 50% s'il est possible que mon nombre a soit entre les deux qu'il choisira.

Oui, mais a peut être négatif. Dans l'énoncé on voit qu'on peut prendre des nombres négatifs... ca ne change rien au raisonnement je penses car on joue sur des différences.

Zorblub
19-07-2016 22:10:50
Terces a écrit :

Salut,

Proposition 1 :

Je choisis un nombres réel a, si le nombre que le joueur me sort est plus petit je dis que il a tiré pile et sinon face.

On choisit a n'importe comment.  Du moment qu'il est strictement positif.

Il y a 3 cas

CAS I:
Si les 2 nombres sont inférieurs à a, il y a une chance sur 2 qu'il ait tiré pile et que je donne la bonne réponse

CAS II:
Si les 2 nombres sont supérieurs à a, il y a une chance sur 2 qu'il ait tiré face et que je donne la bonne réponse

CAS III:
Si un seul nombre est inférieur à a, je donnerai toujours la bonne réponse.

Conclusion: La probabilité excède 50% s'il est possible que mon nombre a soit entre les deux qu'il choisira.

Yassine
19-07-2016 18:37:18

Sorry, j'avais pas tout compris !

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