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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Elie
11-07-2016 14:21:51

Bonjour,

Merci bien de votre recommandation. Dans la plage de valeurs que j'utilise (infra kilométrique, en précision décimétrique), il ne semble pas y avoir trop de soucis. C'est plutôt la solution trigo qui induit une très légère erreur (ou plutôt différence avec les autres formules qui elles sont manifestement équivalentes). Sachant par ailleurs que cette solution paraît bien plus coûteuse (en calcul) que celle basée sur les (racines) carrés.

Elie

Dlzlogic
11-07-2016 13:34:51

Bonjour,
Si c'est pour de la géodésie, c'est à dire de grandes longueurs, alors faites très attention aux opérations avec des grands nombres. J'insiste vraiment sur ce point : si vous faites la soustraction (ou l'addition) entre des carrés, vous perdez forcément de la précision.
D'autre part, à partir d'une certaine distance, on ne peut plus considérer que la terre est plate. Donc, il faut utiliser la géométrie sphérique. Donc, je vous recommande la plus grande prudence.

Elie
11-07-2016 12:37:30

Un grand merci à tous les contributeurs. Il suffisait de se souvenir que toutes les combinaisons de longueurs des côtés d'un triangles ne sont pas possibles !
Pour votre information par rapport aux questions qui me sont posées :
- le champ d'application est la géographie (géodésie).
- Ce qui ne me convenait pas était d'obtenir une hauteur nulle pour un triangle aplati, ce qui somme toute, n'est pas si étonnant !

Merci encore

Elie

tibo
09-07-2016 13:01:04

Re,

Dlz a écrit :

Je faisais allusion au calcul avec l'informatique.

Ok c'est bien ce que je pensais. Donc rien à voir avec la discussion alors en cours.
Fin du HS

Dlzlogic
09-07-2016 12:22:07

Bonjour Tibo,
Pour éviter la caractéristique [HS], je vais répondre en 2 mots.
Je faisais allusion au calcul avec l'informatique.
Si tu soustrais deux nombre comparables, tu obtiendra un nombre plus petit que le plus petit des deux. Si les deux nombres avaient le même nombre de chiffres significatifs, alors on a perdu sur le nombre de chiffres significatifs, donc de précision.
Nombre réels : une petite vérification facile. Avec un tableur quelconque tu crée un segment quelconque. Tu le divises en deux parties égales. Tu as donc deux segments égaux. Tu fais le test "AC ?= CB", par exemple avec Pythagore et tu comptes la proportion de résultats positifs.

tibo
09-07-2016 10:40:13

Bon j'ai peur que ça parte en hors sujet mais ça m'intrigue.

Dlz a écrit :

Lors qu'on a une suite d'opération d'addition ou de soustraction avec des nombres assez grands, puisque ce sont des carrés, on perd de la précision.

Je ne comprend pas ce que tu entends par "on perd de la précision".

Dlz a écrit :

à propos d'égalité entre un nombre réel et la somme de deux nombres réels, c'est un sujet très débattu.

Ha bon? Jamais vu de débat à ce sujet là.

leon1789
08-07-2016 16:57:09

Les techniques de tibo, dlzlogic et yoshi donnent le même résultat :
$$h = \frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{2a}$$

yoshi
08-07-2016 15:43:46

Salut,

Maths et tique a écrit :

Si la formule porte son nom, c'est parce qu'il l'a démontrée. La démonstration a été retrouvée en 1896 à Constantinople dans l'ouvrage Metrica. Cette formule étonnante de simplicité est pourtant méconnue des collégiens. Elle permet de calculer l’aire d’un triangle quelconque à partir de la longueur de ses côtés

J'ai fait un énorme travail en utilisant la formule de Héron à partir de longueurs entières en prenant la suite d'un membre qu'on ne voit plus : totomm
Ici :
http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=6918

Quant à Elie, il a tiré sa formule du théorème d'Al Kashi.
J'ai lu plusieurs fois qu'il y avait des erreurs en cas de petit angle : j'ai cherché de nouveau, je n'ai pas retrouvé la référence...
Il ne paraît de toutes façons pas approprié d'utiliser cette méthode : trop d'imprécision dans le résultat final !

@+

Dlzlogic
08-07-2016 15:11:10

@ Yoshi,
Bien vu supérieur <==> inférieur. Merci.
Oui, à propos d'égalité entre un nombre réel et la somme de deux nombres réels, c'est un sujet très débattu. Sauf cas particulier à préciser, la longueur d'un côté d'un triangle est un nombre réel. 
Ce nom de formule de Héron est apparu dernièrement. Il ne figure pas sur mon formulaire.

yoshi
08-07-2016 13:56:55

Bonjour,

a=50, b=60, c=10 Ceci est un triangle aplati : mauvais exemple...

Dans ce qui suit je prends un triangle ABC, si [tex]\hat B[/tex] et [tex]\hat C[/tex] aigus, H pied de la hauteur issue de A est située ente B et C sinon tibo ne peut pas partir de a = x + y( BC = BH +CH)

Dlzlogic a écrit :

Il est bien évident que la condition que la somme de deux côté doit être inférieure au troisième côté (votre exemple est faux).

Il est prudent de se relire...
L'inégalité triangulaire précise que la somme des longueurs de 2 côtés doit toujours être supérieure à celle du 3e côté...
En cas d'égalité, on a le cas du triangle aplati.

On peur calculer l'aire par la formule S=racine(p(p-a)(p-b)(p-c)).

Préciser que c'est la formule de Héron, où p est le demi-périmètre du triangle.
En utilisant S :
[tex]AH=\frac{2S}{BC}[/tex]

Elie a écrit :

Même comportement.

Qu'est-ce qui ne va pas ?

@+

Dlzlogic
08-07-2016 12:27:44

Bonjour,
A mon avis, il faudrait savoir dans quel contexte on se situe.
Lors qu'on a une suite d'opération d'addition ou de soustraction avec des nombres assez grands, puisque ce sont des carrés, on perd de la précision.
Il est bien évident que la condition que la somme de deux côté doit être inférieure au troisième côté (votre exemple est faux).
On peut adopter un système de coordonnées locales. L'aire du triangle est égale à la moitié du produit de la base par la hauteur.
On peur calculer l'aire par la formule S=racine(p(p-a)(p-b)(p-c)).
La méthode trigonométrique n'est pas à rejeter non plus, l'inversion du sinus n'est pas ambigüe comme celle du cosinus. 
A vous de continuer.

tibo
08-07-2016 11:31:50

Bonjour,

Considérons un triangle ABC sans angle obtus. On note $a$, $b$ et $c$ les longueurs respectives des segments opposés aux sommets A, B et C.
Nous cherchons la longueur $h$ de la hauteur issue de A.

Le triangle n'ayant pas d'angle obtus, la hauteur issue de A coupe le segment [BC] en H.
On note $x$ et $y$ les longueurs respectives des segments [CH] et [BH].
On a donc $a=x+y$.

D'après Pythagore, on obtient les relations :
$b^2=x^2+h^2$     (1)
$c^2=y^2+h^2$     (2)

$b^2-c^2=x^2-y^2$     (1)-(2)
$b^2+c^2=x^2+y^2+2h^2$     (1)+(2)

$b^2-c^2=a(x-y)$
$b^2+c^2=a^2-2xy+2h^2$

On a donc
$\displaystyle h^2=\frac{-a^2+b^2+c^2+2xy}{2}$     (3)
avec $\displaystyle x=\frac{b^2-c^2+ay}{a}$
et $y=a-x$

En combinant les deux dernières relations, on obtient
$\displaystyle x=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}$
et $\displaystyle y=\frac{a^2-b^2+c^2}{2a}$

que l'on réinjecte dans (3) pour obtenir
$\displaystyle h^2=\frac{-a^2+b^2+c^2+(a^2-b^2+c^2)(a^2+b^2-c^2)}{4a^2}$


C'est une solution moins moche que celle à laquelle je m'attendais.
Je ne sais pas s'il existe une signification géométrique de ces $\pm a^2\pm b^2\pm c^2$.

Et il reste à vérifier si ça fonctionne aussi pour un triangle quelconque.

Elie
07-07-2016 10:19:43

Bonjour,

Je vous prie de m'excuser une question aussi élémentaire : je cherche à calculer la hauteur d'un triangle connaissant la longueur des trois côtés.

(essai avec la formule alpha = acos( (a²+b²-c²) / 2ab ) ou a et b sont les cotés d'alpha, puis, pour h hauteur opposée à alpha, h = a * sin(alpha) on obtient h=0 (sauf erreur) par exemple pour a=50, b=60, c=10).

Ou un autre essai, "pythagorien" (ici les longueurs sont d1, d2, d3, et d3 = a + b ) :

                    d3 = a+b ; b=d3-a;
             h²+a²= d1²; h²+b²=d2²; d1²-a² = d2²-b²; d1²-a² = d2²- (d3-a)²;
             d1²-a² = d2² - ( d3² - 2ad3 + a²);
             d1²-a² = d2² - d3² + 2ad3 - a²;
             d1² = d2² - d3² + 2ad3;
             a = (d1² - d2² + d3²) / 2*d3;
             h = sqrt(d1²-a²)

Même comportement.

Merci beaucoup de votre aide...

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