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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- jpp
- 22-06-2016 10:07:47
salut.
résolution.
Q1 :
Supposons qu'on puisse obtenir 5 lots de même masse .
On peut conclure immédiatement que:
_ La masse de 2kg (seul premier pair) est à exclure puisque dans ce cas un seul lot aurait une masse impaire.
_ Il y a 5 lots de même masse ; la masse totale confiée aux laboratoires est un multiple de 5. Et m = 5n
_ le nombre premier 5 , entrant dans la décomposition de m , ne fait pas parti des 30 "premiers"
et la masse de 5 kg est aussi à exclure puisque m est composé.
_ Donc le morceau exposé à la mairie du village possède une masse m = 5n kg ( n entier positif > 1 )
liste des 23 premiers irréductibles possibles
3 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 dont la somme est 1053
puis viennent les 7 suivants 101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 131
La somme des 30 premiers termes donne déjà S = 1844 ; et à ce stade on s'aperçoit tout de suite que 2 et 5 sont les seuls nombres
pouvant être retiré de la liste ( 2 , 3 , 5 , 7 , 11 .... 109 , 113 ).
des premiers > 113 sont donc remplacés par d'autres plus grands ;
puisque S = 5L , mais on voit déjà que m < 25
sa masse est l'un de ces 2 nombres : 10 ou 20 et n = 2 ou 4
La masse de la météorite est 1870 kg. On sait aussi que la masse des roches analysées est un multiple de 5 .
Soit S cette masse , alors S = 5L et S + m = 1870 --> m = 1870 - 5L = 5 x (374 - L) = 5n
donc 374 - n = L est la masse d'un lot de 6 roches confié à chacun des laboratoires.
deux valeurs possibles pour L : 370 ou 372.
a) S = 5L = 5 x 372 = 1860 et m = 10 kg ;
b) S = 5L = 5 X 370 = 1850 et m = 20 kg
Ainsi si S = 1860 , 1860 - 1844 = 16 ; et là on ne peut remplacer que 2 nombres .
127 + 16 = 143 (non premier)
131 + 16 = 147 (non premier)
127 + 2 = 129 avec 131 + 14 = 145 (129 et 145 non premiers)
127 + 4 = 131 avec 131 + 12 = 143 ( 143 non premier)
127 + 6 = 133 avec 131 + 10 = 141 ( 133 et 141 non premiers)
127 + 8 = 135 avec 131 + 8 = 139 ( 135 est non premier)
127 + 10 = 137 avec 131 + 6 = 137 ( 2 premiers identiques interdits )
127 + 12 = 139 avec 131 + 4 = 135 ( 135 est non premier )
127 + 14 = 141 avec 131 + 2 = 133 ( 141 et 133 non premiers)
Il n'y a donc pas de solution avec S = 1860 , et la masse m est différente de 10.
Si S = 1850 , alors 1850 - 1844 = 6 ; et là on peut remplacer 131 par 137 qui est aussi un nombre premier ; unique solution.
La liste des 30 nombres premiers est la suivante:
3 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 ,101 , 103 , 107 , 109 , 113 , 127 , 137
La masse totale des 5 lots vaut donc 1850 kg. et le fragment de roche exposé possède une masse de 20 kg.
Q2 : Comment sommer 6 nombres premiers impairs et obtenir 370 qui est congru à 0 (mod 10)
Dans la liste S , 6 nombres terminent par 1 , 6 nombres terminent par 9 ,
9 nombres terminent par 3 et les 9 derniers par 7
Pour obtenir une congruence à 0 (mod 10) , voici au moins 5 associations possibles.
_ 3 x 3 + 3 x 7 = 0 (mod 10) ---> 3 + 7 + 23 + 73 + 127 + 137 = 370
_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) ---> 11 + 13 + 29 + 101 + 103 + 113 = 370
_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370
_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9 = 0 (mod 10) ---> 31 + 37 + 43 + 79 + 83 + 97 = 370
_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 41 + 53 + 59 + 61 + 67 + 89 = 370
Au moins une solution et chacun des "premiers" est unique dans le partage.
un autre partage :
_ 3 x 3 + 3 x 7 = 0 (mod 10) ---> 3 + 7 + 23 + 73 + 127 + 137 = 370
_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) ---> 31 + 13 + 29 + 101 + 83 + 113 = 370
_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370
_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9 = 0 (mod 10) ---> 11 + 37 + 43 + 79 + 103 + 97 = 370
_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 41 + 53 + 59 + 61 + 67 + 89 = 370
et il doit y en avoir bien d'autres...
_ 3 x 3 + 3 x 7 = 0 (mod 10) ---> 3 + 7 + 23 + 73 + 127 + 137 = 370
_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) ---> 11 + 13 + 29 + 101 + 103 + 113 = 370
_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370
_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9 = 0 (mod 10) ---> 31 + 67 + 43 + 79 + 53 + 97 = 370
_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 41 + 83 + 59 + 61 + 37 + 89 = 370
_ 3 x 3 + 3 x 7 = 0 (mod 10) ---> 3 + 23 + 37 + 43 + 127 + 137 = 370
_ 3 x 3 + 2 x 1 + 9 = 0 (mod 10) ---> 31 + 13 + 29 + 101 + 83 + 113 = 370
_ 1 + 3 x 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 17 + 19 + 47 + 71 + 107 + 109 = 370
_ 1 + 2 x 3 + 2 x 7 + 9 = 0 (mod 10) ---> 7 + 11 + 73 + 79 + 103 + 97 = 370
_ 2 x 1 + 3 + 7 + 2 x 9 = 0 (mod 10) ---> 41 + 53 + 59 + 61 + 67 + 89 = 370
- freddy
- 21-06-2016 06:38:25
Salut,
quelques solutions :
[tex]S_1 = \begin{Bmatrix} 3 & 7 & 17 & 79 & 127 & 137 \\ 11 & 13 & 29 & 89 & 97 & 131 \\ 19 & 41 & 53 & 71 & 83 & 103 \\ 23 & 31 & 37 & 59 & 107 & 113 \\ 43 & 47 & 61 & 67 & 73 & 79\end{Bmatrix}[/tex]
[tex]S_2 = \begin{Bmatrix} 3 & 7 & 47 & 97 & 107 & 109 \\ 11 & 37 & 41 & 79 & 89 & 113 \\ 13 & 23 & 31 & 73 & 103 & 127 \\ 17 & 19 & 29 & 67 & 101 & 137 \\ 43 & 53 & 59 & 61 & 71 & 83 \end{Bmatrix}[/tex]
[tex]S_3 = \begin{Bmatrix} 3 & 23 & 37 & 43 & 127 & 137 \\
7 & 29 & 71 & 73 & 89 & 101 \\
11 & 17 & 59 & 83 & 97 & 103 \\
13 & 41 & 47 & 53 & 107 & 109 \\
19 & 31 & 61 & 67 & 79 & 113 \end{Bmatrix}[/tex]
[tex]S_4 = \begin{Bmatrix}3 & 11 & 67 & 79 & 83 & 127 \\
7 & 29 & 61 & 73 & 97 & 103 \\
13 & 37 & 41 & 71 & 101 & 107 \\
17 & 19 & 31 & 53 & 113 & 137 \\
23 & 43 & 47 & 59 & 89 & 109 \end{Bmatrix}[/tex]
[tex]S_5 = \begin{Bmatrix} 3 & 13 & 17 & 97 & 113 & 127 \\
7 & 11 & 19 & 89 & 107 & 137 \\
23 & 29 & 31 & 83 & 101 & 103 \\
37 & 41 & 43 & 67 & 73 & 109 \\
47 & 53 & 59 & 61 & 71 & 79 \end{Bmatrix}[/tex]
- Yassine
- 16-06-2016 08:59:08
@jpp : Oui, en effet. Je suis d'accord.
- jpp
- 16-06-2016 08:08:07
salut.
- Yassine
- 15-06-2016 21:10:56
Salut
- jpp
- 15-06-2016 20:42:00
salut.
- Yassine
- 14-06-2016 17:03:15
Une solution qui fait le job, un peu bourrine tout de même
- freddy
- 13-06-2016 18:05:54
Salut Freddy,
C'était la conséquence de mon constat 4 : Si on est dans le cas où la masse composée vaut $10$, alors la somme totale vaut $1860$.
J'ai donc écrit la somme totale comme $1860 = \sum_1^{30} pi_i = p_{max}+ \sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i$ et j'utilise le fait que $\sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i \geq \sum_{i=1}^{29} \alpha_i$ où je note $\alpha_i$ les $29$ premiers nombres premiers ne contenant ni 2 ni 5. Soit $\sum_{i=1}^{29} \alpha_i = 1713$.
On a donc $1860 = \sum_1^{30} pi_i = p_{max}+ \sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i \geq p_{max} + \sum_{i=1}^{29} \alpha_i = p_{max} + 1713$, soit encore $p_{max} \leq 1860 - 1713 = 147$. Donc, au plus $p_{max}=139$.Dans le deuxième cas, la condition finale s'écrie $p_{max} \leq 1850 - 1713 = 137$. Donc, au plus $p_{max}=137$.
Je me suis trompé dans ma solution. C'est uniquement 32 qu'il faut considérer et non 34 !
Exact, ok. De fait, ça simplifie considérablement la recherche sur tableur !
- Yassine
- 13-06-2016 12:14:07
Du coup, si ce n'est pas erroné, je demande encore un peu de temps de réflexion parce que j'avais uniquement regardé le cas avec 34 nombres. Si ce sont que 32 candidats, j'ai peut être une chance !
- Yassine
- 13-06-2016 12:11:22
Salut Freddy,
C'était la conséquence de mon constat 4 : Si on est dans le cas où la masse composée vaut $10$, alors la somme totale vaut $1860$.
J'ai donc écrit la somme totale comme $1860 = \sum_1^{30} pi_i = p_{max}+ \sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i$ et j'utilise le fait que $\sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i \geq \sum_{i=1}^{29} \alpha_i$ où je note $\alpha_i$ les $29$ premiers nombres premiers ne contenant ni 2 ni 5. Soit $\sum_{i=1}^{29} \alpha_i = 1713$.
On a donc $1860 = \sum_1^{30} pi_i = p_{max}+ \sum_{i=1,p_i \neq p_{max}}^{30} pi_i \geq p_{max} + \sum_{i=1}^{29} \alpha_i = p_{max} + 1713$, soit encore $p_{max} \leq 1860 - 1713 = 147$. Donc, au plus $p_{max}=139$.
Dans le deuxième cas, la condition finale s'écrie $p_{max} \leq 1850 - 1713 = 137$. Donc, au plus $p_{max}=137$.
Je me suis trompé dans ma solution. C'est uniquement 32 qu'il faut considérer et non 34 !
- freddy
- 13-06-2016 09:32:59
Salut,
@Yassine : pourquoi ne prendre que les 34 premiers nombres premiers ? je trouve des résultats (6-uplets dont la somme est égale à 370) avec 6 des 64 premiers nombres premiers. Pour 372, il faut pousser un peu plus loin.
@jpp : il est temps que tu nous expliques ta méthode, tu ne trouves pas ?
- Yassine
- 09-06-2016 15:38:24
Euh ... comment dire ...
[tex]5\times 372 = 1.560 = 0\; [3][/tex] non ?
Non, $5\times 372 = 1.860$ et c'est en effet $=0$ mod $3$ ($5\times372 = 5 \times 0 = 0\ [3]$).
Mais je pense que je me suis planté dans mon raisonnement (je pensais avoir calculé la somme totale par un autre moyen !). Je regarde ça
- freddy
- 09-06-2016 14:45:41
Euh ... comment dire ...
[tex]5\times 372 = 1.860 = 0\; [3][/tex] non ?
PS : oui, bien sûr, je viens de corriger. L'essentiel a été compris, no souci.
- Yassine
- 09-06-2016 13:57:20
Bonjour,
Un complément moins "bourrin" à ma solution
- freddy
- 08-06-2016 22:33:10
Re,
Euh, ça va plus loin : dans la parenthèse figurent les restes de la division de [tex]p[/tex] par [tex]30[/tex], nombres premiers (sauf 1) inférieurs à 30. C'est ce point qui me paraissait intéressant à remarquer.
Mais tu as sûrement déjà compris.