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Cha
17-11-2011 21:11:49

Désolée pour le retard mais le merci arrive !

MERCI !!

Fred
09-11-2011 14:40:09

C'est presque cela, j'aurais plutôt rédigé sous la forme suivante (les modifications sont en gras) :

Cha a écrit :

prenons un réel a et un voisinage V de a.
alors il existe un réel x>0 tel que l'intervalle  ]a-x;a+x[ soit contenu dans V
mais alors cet intervalle n'est pas réduit à {a}, il contient par exemple le réel a+x/2

Donc ce raisonnement étant vrai pour tout réel a, on vient de montrer que tout réel est point d'accumulation de R

Fred.

Cha
09-11-2011 14:16:44

Bonjour,

Une petite question pour voir si j'ai bien tout compris aux voisinages de réels :

prenons un réel a
alors a est dans un intervalle de la forme ]a-x;a+x[ (qui est un voisinage donc?)
mais alors cet intervalle n'est pas réduit à {a}, il contient par exemple le réel a+x/2

Donc ce raisonnement étant vrai pour tout réel a, on vient de montrer que tout réel est point d'accumulation de R (car on peut prendre x aussi petit que possible, il y aura toujours un réel dans l'intervalle ]a-x;a+x[)?

Merci d'avance !

Fred
09-11-2011 07:11:41

Ce n'est pas si abstrait dans R.
Un voisinage d'un point contient un intervalle autour de ce point (avec des choses à droite et des choses à gauche, c'est-à-dire que c'est de la forme [tex] ]a-\eta,a+\eta[ [/tex].

Donc, ce que tu veux faire :
Pour tout réel x de R, tu veux prouver que tout intervalle ouvert contenant x contient d'autres réels que x.

Pour le deuxième cas avec A={0}∪{1/n; n≥1}
tu veux prouver que tout intervalle ouvert contenant 0, donc tout intervalle de la forme [tex] ]-\eta,\eta[ [/tex] contient des éléments de la forme 1/n.


Fred.

sarah79
08-11-2011 22:24:20

C'est vraiment abstrait je n'arrive pas a me faire une représentation concrète de ce que ça signifie un point d'accumulation et un voisinage

sarah79
08-11-2011 22:08:46

C'est pas encore très clair j'ai vais relire ça demain à tête reposé et essayer de faire les démo en partant de ce que vous m'avez dit. Si je bloque, je vous solliciterais de nouveau. Merci.

Fred
08-11-2011 21:59:27

Salut,

  On va partir de là :

sarah79 a écrit :

Dans mon cours, x appartenant à X point d'accumulation de A, si tout voisinage V de x contient des points de A différent de x.

(j'ai mis en gras quelque chose que tu avais oublié et qui est très important!).
Donc, tu veux démontrer que tout point de R est un point d'accumulation.
Prenons un point x de R. Tu veux prouver que tout voisinage V de x contient des points de R différents de x. Est-ce que cela est plus clair pour toi maintenant....

Le dernier cas est un peu plus compliqué. Tu as, avec les notations de ton cours, X=R et [tex]A=\{0\}\cup\{1/n;\  n\geq 1\}[/tex]

Soit V un voisinage de 0. Tu dois démontrer qu'il contient des points de A différents de 0.
Autrement dit, tu dois démontrer qu'il contient des éléments de la forme 1/n différents de 0.
Est-ce plus clair maintenant?

Tout repose essentiellement maintenant sur ta compréhension d'un voisinage d'un réel.

Au fait, ton raisonnement pour l'espace discret me semble ok.

Fred.

sarah79
08-11-2011 21:51:24

Et pour les deux autres je vois pas.
Comme définition j'ai : si E est un espace métrique, x appartenant à E est point d'accumulation de E si tout voisinage de x est non réduit au singleton {x}. C'est ce qui m'est rappelé dans mon exo.
Dans mon cours, x appartenant à X point d'accumulation de A, si tout voisinage V de x contient des points différent de x.

sarah79
08-11-2011 21:47:08

J'ai réussi a montrer qu'aucun point d'un espace discret n'est point d'accumulation car un espace métrique discret est un espace topologique E tel que tout point est isolé cad que pour tout a appartenant à E, {a} est ouvert de E. D'après la question d'avant on a montrer que x point d'accumulation ssi {x} n'est pas ouvert dans E. Donc si {a} est ouvert de E, a n'est pas point d'accumulation. Conclusion un espace discret n'a pas de point d'accumuation. Correct?

Fred
08-11-2011 21:25:32

Bonsoir,

  Je veux bien t'aider, mais je ne ferai pas l'exercice tout seul.
Alors commence par me dire ce que tu as dans ton cours sur les points d'accumulation : définition, caractérisation,....

Fred.

sarah79
08-11-2011 19:06:31

Bonjour,
je bloque toujours sur cet exercice.

Je dois donc montrer que :
- tout point de R muni de sa disatance usuelle est point d'accumulation.
- aucun point d'un espace discret n'est point d'accumulation
- 0 est point d'accumulation de {0}U{1/n;n appartient à N}

Mais pour le démontrer j'en suis incapable, pouvez vous me donner des indications s'il vous plait.

sarah79
07-11-2011 13:41:22

Pour le 1 ok, pour le 2 c'est plus compexe en effet. Merci pour l'explication.

Fred
07-11-2011 13:38:06

Bonjour,

  Je démontrerai plutôt que
1. Si {x} est ouvert alors x n'est pas un point d'accumulation de E...
2. Si {x} n'est pas ouvert, alors x est un point d'accumulation

Pour 1. : Si {x} est ouvert, alors B(x,r) est inclus dans {x} pour un r>0, et x ne peut pas être un point d'accumulation de E.

Pour 2. : C'est plus compliqué. Il faut utiliser que pour chaque r>0, on peut trouver y dans B(x,r) différent de x.
On commence par prendre r=1, et on trouve x1.
On prend ensuite r2=1/2 et on trouve x2
On continue, en prenant r3=1/3, et on trouve x3.

On trouve ainsi une suite de points de E, tous différents de x, et qui convergent vers x.

Fred.
Si

sarah79
07-11-2011 11:19:56

Bonjour,
je dois montrer que x est un point d'accumulation de E si et seulement si {x} n'est pas ouvert dans E.
Je ne vois pas comment partir, faut-il procéder par l'absurde puisque l'on doit montrer que {x}n'est PAS ouvert de E?

Juju79
28-10-2011 09:36:58

Merci j'ai compris toutes les explications
mais je dis pas que j'ai compris toute la topo
car je pense que ça fera toujours deux avec moi.

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