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Cet exercice me parait plutot difficile car il (me) demande des habitudes de raisonnements d'analyse.
Il est intéressant car il questionne et relie des propriétés fondamentales des nombres réels.

Soit E une partie bornée non vide de K et soit M l'ensemble des majorants de E dans K.
Si E a un élément maximal, c'est une borne sup de E
Si M a un élément minimal, c'est une borne sup de E
Sinon il existe une suite strictement croissante x(n) dans E et il existe une suite strictement décroissante y(n) dans M.
Les segments [x(n),y(n] sont emboités.
Le problème est que ces segments peuvent rester "grands" : leur intersection peut être non réduite à un seul élément.
Donc on va raffiner :
Soit x(0) dans E et y(0) dans M. On pose a=y(0)-x(0)
On défini par récurence deux suites x(n) et y(n) .
x(n) sera une suite croissante d'éléments de E et  y(n) une suite décroissante d'éléments de M:
Si x(n) = y(n), c'est une borne sup et on posera x(n+1)=x(n) et y(n+1)=y(n)
sinon on considère le milieu z(n) du segment [x(n),y(n)] : z(n)=(x(n)+y(n))/(2e)
Si z(n) est dans M on pose x(n+1)=x(n) et y(n+1)=z(n)
Sinon z(n) est majoré par un élément de E qu'on choisit pour x(n+1), et on pose y(n+1)=y(n)

Cette fois-ci les segments x(n),y(n)] sont emboités mais leur "longueur" (y(n)-x(n)= a/((2e)^n)) "tend vers 0".
Soit z un élément commun à tous ces segments. On prouve par l'absurde que z est une borne sup de E.
Si z est dans M et n'est pas une borne sup on a un autre élément m de M tel que m<z.
Comme K est archimédien, il existe k tel que a/(2e)^k < z-m (cela se prouve indépendamment et n'est pas difficile)
on a alors x(k)>m ce qui est absurde
Si z n'est pas dans M, il est majoré par un élément t de E
Si z=t , c'est une borne sup. Sinon soit k tel que a/(2e)^k < t-z. (même principe que ci-dessus)
on a alors y(k)<t, ce qui est absurde.

CQFD

NB : Un corps ordonné Archimédien avec la ppté des segments emboités, ça ressemble beaucoup à R :
Toute suite de Cauchy y a une limite :
Preuve :
Soit z(n) une telle suite, et supposons qu'elle n'a pas de limite.
Colorons en bleu un élément s'il est majoré (au sens large) par une infinité de termes de la suite.
Colorons en rouge un élément s'il est minoré par une infinité de termes de la suite.
Un élément ne peut recevoir les deux couleurs (sinon c'est une limite, ce n'est pas très dur à prouver)
Tout élément est coloré.
Les bleus sont inférieurs aux rouges.

De la suite z(n) est on extrait une suite infinie de bleus
et une suite infinie de rouges.
En les renumérotant on peut noter ces suites b(n) et r(n).

On extrait de b(n) une sous-suite croissante (c'est possible par définition des bleus)
On extrait de r(n) une sous-suite décroissante (c'ets possible par définition des rouges)

On a alors des segments [b(n),r(n)] emboités. ...
il n'ya qu'un élément dans l'intersection, c'est la limite cherchée.

Dans K on retrouve les entiers positifs : ce sont les éléments de la forme e+e+...+e
On retrouve donc Z et Q
On retrouve donc R (en définissant les réels comme les classes d'équivalences des suites de Cauchy)
Reste à voir que tout élément de K est limite d'une suite de Cauchy d'éléments de Q.
Mais cela est facile car, du fait que K est Archimédien, tout intervalle non réduit à un point contient un rationnel.

Finalement K est isomorphe à R

(Si on définit R par les coupure dans les rationnels, on peut adapter le même raisonnement et obtenir la même conclusion)

Cela fournit une autre preuve de l'exercice :
Tout corps ordonné archimédien avec la propriété des segment emboités est isomorphe à R, et donc a la propriété de la borne supérieure !