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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Mitain
15-01-2024 07:15:56

Bonjour,
Soit $n$ un entier naturel et $p$ un nombre premier, le nombre d'entiers inférieurs à $n$ divisibles par $p^k$ pour un certain $k \geq 1$ est donné par $\lfloor \frac{n}{p^k} \rfloor = N(n,p,k)$. Ainsi, pour $$\alpha_p = \sum_{k = 1}^{\lfloor \log_p(n) \rfloor} N(n,p,k),$$ on a $p^{\alpha_p}$ qui divise $n!$ et $p^{\alpha_p+1}$ qui ne divise pas $n!$ (on dénombre juste toutes les contributions). On obtient alors le nombre de diviseurs de $n!$ : $d(n!) = \prod_{k = 1}^{\pi(n)} (\alpha_{p_k}+1)$ où $p_1,...,p_n$ sont les $n$ premiers nombres premiers et $\pi$ est la fonction de compte des premiers.

bridgslam
14-01-2024 18:38:38

Bonsoir,

0 est le seul entier ne répondant pas à la question 1.
Il ne répond pas évidemment à la deuxième non plus.

Pour la seconde question:
1  est bon, pas 2.

Si n est au moins égal à 3 , par division et le théorème de Gauss ( n et n-1 étant étrangers) il vérifie la question ssi il divise (n-2)!

Donc ssi pour tout p premier $v_p(n) \le v_p( (n-2)! )= [(n-2)/p] + [n-2/p^2] + ... $ en utilisant la somme de Legendre.

Avec 1 qui est solution, pour les autres on teste en pratique pour les diviseurs premiers de n uniquement.

Je n'ai pas trouvé plus simple pour caractériser les solutions autres que 1.

A.

Bernard-maths
14-01-2024 16:34:25

Bonjour ...

Moi je vois que si les diviseurs évidents de n! sont connus, alors tout produit de ces diviseurs est aussi un diviseur ...

Bernard-maths

yoshi
14-01-2024 15:01:31

Bonjour,

Rappel de la définition de $n !$ :
$n! =n(n-1)\times \cdots\times 1$

Combien y a-t-il donc de diviseurs de $n !$ ?

@+

Empire
14-01-2024 13:45:14

Bonjour,

s'il vous plaît j'aimerais savoir comment trouver ou calculer le nombre de diviseur de n!

ABB
20-12-2008 18:20:51

Bonjour
je crois que mon intervention est mal comprise. Je m'explique
dire que a <n alors a divise (n-1)! et b<n alors b divise (n-1)!. mais pour conclure que ab divise (n-1)!; il faut ajouter la condition a et b sont premiers entre eux
Mais, dire que n=ab pour conclure que ab divise (n-1)!,il faut ajouter la condition a et b sont distincts.

Je vais maintenant formuler la réponse à la question: quels sont les entiers naturels n tels que n² divise  (n-1)!
remarquons que 1 répond à la question
remarquons que tous les nombres premiers ne répondent pas à la question
soit n un entier nautel supérieur strictement à 1 et non  premier
Premier cas: n est impair
alors n=ab où a et b sont premiers entre eux, car n est non premier
comme n est impair alors a>2 et b>2
ce qui implique que 2a<n . le nombre a figure deux fois dans la décomposition de  (n-1)!  alors a² divise  (n-1)!
de meme on a : b² divise  (n-1)!
comme a et b sont premiers entre eux alors a² et b² sont premiers entre eux
donc a²b² divise (n-1)! c'est -à - dire n² divise (n-1)!
Deuxième cas: n= m.2^k où k est un entier strictement supérieur à 1 et m est un nombre impair distinct de 1
On a 2m<n alors m²  divise (n-1)!
On a aussi 2.2^k<n alors 2^2k divise (n-1)!
comme m² et 2^2k sont premiers entre eux alors n² divise divise (n-1)!
il resute les deux cas: n=2^k et n=2m
On procéde de la meme manière.

ABB
16-12-2008 13:26:52

Bonjour
pour que la démonstration soit juste il faut supposer que les entiers a et b sont premiers entre eux, en vertu du résultat si a divise x et b divise x et a et b sont premiers entre eux alors ab divise x. ce résultat tombe en défaut si a et b  ne sont pas premiers entre eux. contre exemple : 6/12 et 4/12; mais 24 ne divise pas 12

hajmos
11-12-2008 05:43:30

[tex]si\,n=ab\,alors\,\exists k\,\in N\,tel\,que\,n!=n.ab.k=n².k\,\Rightarrow \,que\,tout\,entier\,n\,non\,nul\,\,\geq 6\,\,produit\,de\,deux\,nombres\,premiers[/tex]

hajmos.

Fred
10-12-2008 17:30:25

Tres bien hajmos, mais tu ne dis pas si tu as compris mes premiers arguments (si n est premier, et si n=ab avec a et b different). Par ailleurs, tu es sur la bonne voie pour la suite de la demonstration.

Fred.

hajmos
10-12-2008 15:21:52

Fred ,excusez moi pour ce retard ,je crois c'est le decalage horaire (je suis au Quebec) .
quand j'ai utilisé la calculatrice j'ai constaté :
6!=720  et dans 6! il y'a le 6 et 3x2 aussi dans 8 il y'a le 8 et 4x2 tous les nombres non premiers qui sont >=6.
j'ai pensé resoudre l'equation n²=n! en utilisant les congruences mais je ne sais pas comment.
Merci encore Fred.

Fred (rome)
10-12-2008 13:22:34

Bonjour Hajmos,

  Je ne comprends pas bien ton probleme.
Cela n'est pas clair pour toi que n divise n!  ??????

n!=nx(n-1)x...x1=nxk ou k est un entier.

Le deuxieme probleme est plus difficile et effectivement, dans ma reponse rapide de la derniere fois, je me suis trompe.
Comme je le disais, il suffit de savoir si n divise (n-1)!
Si n est  premier, ce n'est pas possible : est-ce clair pour toi?
Si n=ab ou a et b sont distincts, n divise (n-1)! : est-ce clair pour toi?
Il reste le dernier cas, mais j'attends tes reponses pour voir si on part sur une base saine.

Fred.

hajmos
10-12-2008 10:11:06

Yoshi ou fred  comment vous allez formuler n² / n! ?
et n au cube divise n! ?

Merci.
hajmos.

hajmos
10-12-2008 04:27:43

Bonjour tout le monde,
1²=1    ,   1!=1      1 divise 1 .
2²=4    ,   2!=2      4 ne divise pas 2 .
3²=9    ,   3!=6      9 ne divise pas 6 .
4²=16   ,   4!=24     16 ne divise pas 24 .
5²=25   ,   5!=120    25 ne divise pas 120
6²=36   ,   6!=720    36 divise 720 .
7²=49   ,   7!=5040   49 ne divise pas 5040 .
8²=64   ,   8!=40320  64 divise   40320.

Yoshi ,s'il vous plait comment vous allez formuler n / n! ?
Merci.
Hajmos

hajmos
08-12-2008 22:21:03

Bonjour ,

Pour la première question tous les n satisfont cette condition.
pour la deuxième c'est pour n>= 6 avec les n non premiers, à verifier.

Moshaj.

galdinx
08-12-2008 20:36:01

Bonjour,

J'ajouterais bien le nombre 1 à la démo de fred.


++

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