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Cheifa
09-06-2019 22:38:56

Bonjour à tous,bon! je suis nouveau dans le groupe et j'aimerais vraiment participer à ce travail que vous faites.
Merci!!

yoshi
29-10-2015 08:21:30

Bonjour,

Je vais essayer de dissiper  (légèrement) les nuées qui t'entourent (t'entouraient) pour te faciliter la compréhendion.
Que sait-on juste avant la 2e partie de la question 2 b) ?
1. On sait que si a existe, alors a est pair.
    Si a est pair, alors [tex]a^2\equiv 0 \;\;[4][/tex]
    Comme [tex]9 \equiv 1 \;\;[4][/tex], alors [tex]a^2+9 \equiv 1 \;\;[4][/tex]
   Par conséquent, on peut écrire [tex]a^n \equiv ... \;\;[4][/tex] (à toi de compléter)

2. On a vu que si n = 3,  [tex]3^n = 27 \equiv r_1 \;\;[4][/tex] (r1 = ? à toi de compléter) avec n impair
    On a vu que si n = 4, [tex]3^n = 81 \equiv r_2 \;\;[4][/tex] (r2 = ? à toi de compléter)  avec n pair
    Examinons les puissances suivantes
   *  cas où n impair : n = 3 + p, avec p pair.: [tex]3^{3+p}=3^3\times 3^p \equiv r_1 \times (\underbrace{3 \times 3 \times  ... \times 3}_{\text{p fois}})[/tex]
      Donc le reste devient 3r1 soit r2, puis 3r2 donc r1 après deux multiplications par 3, et comme p est pair [tex]3^{3+p}\equiv ...\;\;[4][/tex]
   * cas où n est pair : n = 3+p avec p impair... Même schéma d'étude que ci-dessus.

C'est mieux?

@+

yoshi
28-10-2015 20:21:57

Salut,

Effectivement, mais alors puisque c'est nécessaire voici pointées du doigt les pistes de réflexion :
1. D'abord :
]Si l'on part d'un nombre n tel que  [tex]3^n \equiv 1 \;[4][/tex]  alors [tex]3^{n+1} \equiv 3 \;[4][/tex]
Si l'on part d'un nombre n tel que  [tex]3^n \equiv 3 \;[4][/tex]  alors [tex]3^{n+1} \equiv 1 \;[4][/tex]

2. Ensuite :
[tex]r+1 \equiv 1\;[4][/tex]  et on en déduit que [tex]r\equiv 0\;[4][/tex]. Le reste de [tex]a^2[/tex] dans la division par 4 étant nul, on en déduit que a^2 est multiple de 4, donc à plus forte raison pair.

[tex]r+1 \equiv 3\;[4][/tex] et on en déduit que [tex]r\equiv 2\;[4][/tex].
Le reste de [tex]a^2[/tex] dans la division par 4 étant 2, il existe [tex]p \in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]a^2=4p+2[/tex].

3. Enfin
[tex]27\equiv 1\;[4][/tex] et [tex]27 = 3^3[/tex] n = 3, impair
[tex]81\equiv 3\;[4][/tex] et [tex]81 = 3^4[/tex] n = 4, pair
Et [tex]3^n[/tex] ?
Si n est impair alors n = 3+ k avec k pair
si n est pair alors n = 3+ k avec k impair
Cas des  puissances suivantes (sans faire les divisions !) :
[tex]243 = 3^5 = 3^{3+2} \equiv ? \;[4][/tex]
[tex]729 = 3^6 = 3^{3+3} \equiv ? \;[4][/tex]

[tex]243 = 3^5 = 3^{3+2} \equiv ? \;[4][/tex]
[tex]729 = 3^6 = 3^{3+3} \equiv ? \;[4][/tex]

[tex]2187 = 3^7= 3^{3+4} \equiv ? \;[4][/tex]
[tex]6561 = 3^8= 3^{3+5} \equiv ? \;[4][/tex]

Tout est là, tu as tous les morceaux du puzzle, il ne te reste qu'à les emboîter correctement ;-)

Pour moi, terminé pour ce soir : à partir d'une certaine heure, il y a une trop forte probabilité que je raconte des bêtises...

P'têt qu'une bonne âme répondrait à tes questions avant demain si tu en avais...

@+

Pierre96
28-10-2015 19:11:02

Merci de me répondre yoshi, c'est très aimable à vous :)

Mais vous ne répondez au "déduisez-en que necessairement, n est pair" ?

Pierre

yoshi
28-10-2015 19:04:13

Bonsoir,

Le sujet date de plus de dix ans : le dénommé john ne te répondra pas : nul ne sait, ici, ce qu'il est devenu...
La question est :
2) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 3^n où a entier naturel , n entier naturel , n ≥ 3.
a. Montrer que si n ≥ 3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.
b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.

Je reviens au a)
si n>=3, les valeurs de [tex]3^n[/tex] sont 27, 81, 243, 729...
Et je peux écrire :
[tex]27 \equiv 3 \;[4][/tex]
[tex]81 \equiv 1 \;[4][/tex]  81 = 27 * 3 donc le reste devient 3 * 3 = 9, soit 1  [4]
Et après ?
Si l'on part d'un nombre n tel que  [tex]3^n \equiv 1 \;[4][/tex]  alors [tex]3^{n+1} \equiv 3 \;[4][/tex] (1 * 3 = 3 < 4)
Si l'on part d'un nombre n tel que  [tex]3^n \equiv 3 \;[4][/tex]  alors [tex]3^{n+1} \equiv 1 \;[4][/tex] (3 * 3 = 9 et [tex]9 \equiv 1\; [4][/tex])

b. Montrer que si a existe
Je suppose donc que a existe et je me penche sur la question [tex]a^2 + 9 \equiv\,?\;[4][/tex] ?
John y avait répondu avant.
On pose [tex]a^2\equiv r\;[4][/tex] (r <4 existe toujours)
On sait que [tex]9 \equiv 1\; [4][/tex]
Donc [tex]a^2+9 \equiv r+1\;[4][/tex]
On peut donc écrire 2 "équations" modulo 4:
[tex]r+1 \equiv 1\;[4][/tex]  et on en déduit que [tex]r\equiv 0\;[4][/tex]. Le reste de [tex]a^2[/tex] dans la division par 4 étant nul, on en déduit que a^2 est multiple de 4, donc à plus forte raison pair.
Or, le carré d'un nombre impair est impair : [tex](2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1
[/tex], et le carré d'un nombre pair est pair : [tex](2k)^2=4k^2=2(2k^2)[/tex]
Donc
[tex]a^2[/tex] étant pair, a l'est aussi.


[tex]r+1 \equiv 3\;[4][/tex] et on en déduit que [tex]r\equiv 2\;[4][/tex].
Le reste de [tex]a^2[/tex] dans la division par 4 étant 2, on en déduit que a^2 est multiple de 4 plus 2, donc qu'il existe [tex]p \in \mathbb{N}[/tex] tel que [tex]a^2=4p+2[/tex]. Or 4p+2 = 2(2p+1) qui est pair.
Donc
[tex]a^2[/tex] étant pair, a l'est aussi.

@+

Pierre96
28-10-2015 14:30:21

Bonjour à vous, je suis confronté au même problème mais je ne comprend pas votre démonstration à la question 2b) et ce serait fort aimable à vous de bien vouloir m'éclairer.
Merci d'avance

john
09-12-2005 19:10:31

Je vais hélas me répéter...
Tu peux faire une récurrence mais c'est une simple règle de calcul modulo :
à chaque fois que tu multiplies un nombre par 3, tu multiplies aussi son reste par 3 d'où la suite 1, 3, 1, 3 etc.
3^2 = 9 = 1[4] (carré) (1[4] ça veut dire 9 = 2*4 + 1 et tu oublies le 2)
3^3 = 27 = 3[4] (3[4] ça veut dire 27 = 6*4 + 3 et tu oublies le 6)
3^4 = 81 = 1[4] (carré)
-----------------------
On tire de ces petits calculs les résultats suivants :
3^(2p) = 1[4] (3^(2p) est bien le carré de 3^p)
3^(2p+1) = 3[4] (ce n'est pas un carré)

Ces 2 relations sont vraies pour p=1. Supposons qu'elles soient vraies pour p.
Pour démontrer qu'elles sont vraies également pour p+1, il suffit de les multiplier par 3^2 soit 9.
Or 9 = 1[4].
9*(3^(2p)) = 9*1[4] = 1[4]*1[4] = 1*1[4] = 1[4] = 3^(2p+2)
9*(3^(2p+1)) = 9*3[4] = 1[4]*3[4] = 3[4] = 3^(2p+3)
Ces relations sont donc vraies pour p+1.
Conclusion : Elles sont vraies quel que soit p >= 1.
Tu devrais revoir ton cours.
Bye

Nina
08-12-2005 22:08:04

DSL john c encore moi ms je narrive pas a demontrer de maniere litterale la 2)a...tu pourrais me donner un coup de puce stp?merci

Nina
07-12-2005 23:44:24

Merci infiniment John, vraiment!c t tres gentil a toi! bonne nuit a toi aussi et encore merci

john
07-12-2005 23:10:08

Tu peux faire une récurrence mais c'est une simple règle de calcul modulo :
à chaque fois que tu multiplies un nombre par 3, tu multiplies aussi son reste par 3 d'où la suite 1, 3, 1, 3 etc.
3^2 = 9 = 1[4] (carré)
3^3 = 27 = 3[4]
3^4 = 81 = 1[4] (carré)

3) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 5^n où a entier naturel , n entier naturel , n = 2.
a. En raisonnant modulo 3, montrer que l’équation est impossible si n est impair.

On a 5^(2p) = 1[3] et 5^(2p+1) = 2[3]
a^2 + 9 = 5^n peut s'écrire r[3] + 0[3] = 1[3] ou 2[3] => r = 1 ou 2
Mais 2[3] ne peut être un carré => r = 1 => 5^n = 1[3] => n = 2p

b. On pose n = 2p, en s’inspirant de 2)c. démonter qu’il existe un unique entier naturel a tel que a^2 + 9 soit une
puissance entière de 5.

(5^p - a)(5^p + a) = 9 = 3x3 ou 1x9 => p = 1 et a = 4 seule solution dans N.

Bonne nuit.

Nina
07-12-2005 22:50:49

merci bcp John pr ton aide ou plutot ton assistance lol!!
.............euh.........je me demandais juste si pr la 2)a. ca suffisait de donner les exemples numeriques?sinon je pense que ca ira pr le 3)...Merci encore

ps:si tu as le tps g mis un autre sujet sur les suites sous le pseudo de Nenya...ms ds ts les cas merci encore

john
07-12-2005 22:27:36

OK OK... comme d'hab. je vais me payer le PB en entier.

2) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 3^n où a entier naturel, n entier naturel , n = 3.
a. Montrer que si n = 3, 3^n est congru à 1 ou à 3 modulo 4.

3^2 = 9 = 1[4] (carré)
3^3 = 27 = 3[4]
3^4 = 81 = 1[4] (carré)
etc

b. Montrer que si a existe, il est pair et en déduire que nécessairement n est pair.

a^2 + 9 = 3^n peut s'écrire r[4] + 1[4] = 1[4] ou 3[4] => r = 0 ou 2 => a pair
Mais 2[4] ne peut être un carré donc r = 0
Par conséquent 3^n = 1[4] => 3^n est un carré => n pair

c. On pose n = 2p où p est un entier naturel, p = 2. Déduire d’une factorisation de 3^n – a^2, que l’équation proposée
n’a pas de solution.
3^(2p) - a^2 = (3^p - a)(3^p + a) = 9 = 1x9 ou 3x3 => impossible

A ce niveau c'est carrément de l'assistance et non plus de l'aide !
A moins que ça ne t'aide à aller au dodo plus tôt...
A+

Nina
07-12-2005 22:15:34

Merci beaucoup pour votre aide et pour les differentes methodes de John!
est ce que vous pourriez m aider pour la 2 car j ai du mal a demontrer le petit a) et j arrive pas a faire la b) et la c) sans.
merci d avance pour tout

john
07-12-2005 22:00:42

Alors je commence (avec 2 démo. par question) et tu continues...

1) Étude de l’équation d’inconnue a : a^2 + 9 = 2^n où a entier naturel , n entier naturel , n >= 4.
a. Montrer que si a existe, a est impair.

Pour n = 4, a^2 = 2^n - 9 = nombre pair - nombre impair = nombre impair => a impair (car seul un nombre impair peut avoir un carré impair)

L'équation proposée peut aussi s'écrire terme à terme modulo 2 :
r[2] + 1[2] = 0[2] => r = 1 => a impair

b. En raisonnant modulo 4, montrer que l’équation proposée n’a pas de solution.

a impair => a=2p+1 => a^2 + 9 = 4p^2 + 4p + 10 => a^2 + 9 = 2[4]
or 2^n = 0[4] pour n>=2 => impossible

L'équation proposée peut aussi s'écrire terme à terme modulo 4 :
r[4] + 1[4] = 0[4] => r=3
Mais 3[4] ne peut pas être un carré => équation impossible

Bon courage et A+ si nécessaire

Lina
07-12-2005 22:00:16

Pour la 1)a, en utilisant les congruences (c'est le but de ton exo), tu peux t'en sortir!
Montrer que a est impair, c'est montrer que a est congru à 1 modulo 2! Avec l'egalite a²=2^n-9, tu peux conclure, de plus, le carré d'un impair est impair.

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