Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » Algèbre
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Alama doumbouya
- 24-03-2021 05:28:17
Merci
- Bill
- 10-03-2021 00:42:04
J’ai appliqué une autre méthode un peu plus longue que la première, en completant dans un premier temps par la base canonique (1,0,0,0) et (0,1,0,0). J’ai pu résoudre mon problème.
- Bill
- 08-03-2021 02:46:33
Bonjour,
Pour éviter toute confusion, il faut plutôt lire « le vecteur x =(a,b,c,d) est dans l’orthogonal de $\Gamma$ si et seulement si x.u=x.v=0 »
J’ai procédé ainsi pour gagner de la simplicité dans mes calculs.
Mais un peu plus loin j’ai une erreur liée à la détermination de f3 et f4.
- LCTD
- 06-03-2021 18:34:57
Bonjour,
vous avez écris :
"Le vecteur a = (a,b,c,d) est dans l’orthogonal de Γ
si et seulement si a.u=a.v=0, ce qui donne a-b+c-d=b+c+d=0.
Une base de Γest donc u’=(1,1,-1,-1) et v’=(1,0,-1,1)."
je ne comprends pas votre choix pour u' et v' : a-b+c-d=b+c+d=0 donne a-2b-2d=0.
- Bill
- 02-03-2021 01:40:06
Bonjour,
En résolvant cet exercice:
Considérons les vecteurs u = (1,-1,1,-1) et v = (0,1,1,1) de $\mathbb{R^4}$ (muni du produit scalaire standard).
1. Déterminer une base orthonormale (f1,f2,f3,f4) de $\mathbb{R^4}$ telle que vect(f1,f2) = vect(v,w).
2. Écrire dans la base canonique la matrice de la rotation d’angle $\theta = \pi/3$ autour du plan vectoriel $\Gamma$ :=vect (u,v) et la matrice de la rotation d’angle $\alpha = \pi/2$ autour du plan vectoriel $\Gamma$.
Je me suis rendu compte en vérifiant ma matrice dans la question2 que j’avais commis une erreur dans la determinantion de mes deux deniers vecteurs; sauf que en refaisant mes calculs tout me semble correct.
Je sollicite donc votre aide pour corriger cette erreur et finir mon exo.
Merci pour vos retours.
Voici ma solution :
Soit $\Gamma$ = vect (u,v) . On utilise le procédé des Gram-Schmidt pour othonormalisee la base u,v.
Posons $g_1 = u_1$ et $g_2 = v - \frac{v.g_1}{g_1.g_1}g_1 = \frac{1}{4}(1,3,5,3)$.
On normalise pour obtenir
$f_1 = \frac{g_1}{||g_1||}=\frac{1}{2}(1,-1,1,-1)$, $f_2 = \frac{g_2}{||g_2||}=\frac{1}{2 \sqrt{11}}(1,3,5,3)$
Le vecteur a = (a,b,c,d) est dans l’orthogonal de $\Gamma$ si et seulement si a.u=a.v=0, ce qui donne a-b+c-d=b+c+d=0.
Une base de $\Gamma$ est donc u’=(1,1,-1,-1) et v’=(1,0,-1,1).
Posons $g_3=u’$ et $g_4 = v’ - \frac{v’.g_3}{g_3.g_3}g_3=\frac{1}{4}(3,-1,-3,5)$
On normalise pour obtenir :
$f_3=\frac{g_3}{||g_3||}=\frac{1}{2}(1,1,-1,-1)$, $f_4=\frac{g_4}{||g_4||}=\frac{1}{2 \sqrt{11}}(3,-1,-3,5).$
Ainsi les vecteurs f1,f2,f3,f4 forment une base.