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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Zebulor
- 06-12-2020 18:18:09
Re,
tu as raison : la limite quand $n$ tend vers l'infini de la première somme $\Large \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n} cos(\frac{k\pi}{n})$ est $\Large \frac {-2}{\pi^2}$
- Zebulor
- 06-12-2020 15:29:01
re,
et ceci : $\Large \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n ln\left[\left(1+exp(\frac{k}{n})\right)^\frac{exp{(\frac{2k}{n}})}{n}\right]$ est une intégrale que je te laisse trouver. On peut en trouver la valeur exacte et c'est encore du calcul par changement de variable.
L'exponentielle de cette intégrale est le produit de départ..
- Arthuroua
- 06-12-2020 12:36:28
Ah non moi je nemettais pas l'exponentielle de droite au bon endroit c'est pour ca
- Arthuroua
- 06-12-2020 12:33:46
Oui c'est ca que j'ai
- Zebulor
- 06-12-2020 12:32:11
$\Large \sum\limits_{k=1}^n ln\left[\left(1+exp(\frac{k}{n})\right)^\frac{exp{(\frac{2k}{n}})}{n}\right]$
- Arthuroua
- 06-12-2020 12:26:39
Là en passant au ln j'ai ca :
somme de 1 à n de ln(ce qu'il y a derrière le produit du post #29)
Donc dans chaque ln j'ai 1+e^(k/n) et j'ai ca (exp(2k/n))/n fois
- Zebulor
- 06-12-2020 12:22:00
le logarithme du produit égale la somme des logarithmes. Et pour chaque logarithme tu as $ln(a^b)=b*ln(a)$
- Arthuroua
- 06-12-2020 12:14:48
Je ne vois pas comment à partir de ca isoler le 1/n et avoir que des k/n à droite comme les autres
- Arthuroua
- 06-12-2020 12:05:21
Cela va donner la somme de 1 à n de ln(ce qu'il y a derrière le produit du post #29)
- Zebulor
- 06-12-2020 11:57:56
j 'étais en tout cas arrivé à un résultat .. la technique est toujours la même : isoler $\frac{k}{n}$ qui joue le rôle de $x$ dans le passage à la limite, et dans le cas de ce 1) mettre un facteur $\frac{1}{n}$ en dehors de la somme obtenue car il ne dépend pas de $k$. Puis repasser à l'exponentielle pour trouver la limite du produit.
- Arthuroua
- 06-12-2020 11:33:35
Tu y arrives ?
- Arthuroua
- 06-12-2020 10:27:58
C'est la première mais l'exponentielle c'est e^(2k/n) le tout divisé par n
- Zebulor
- 06-12-2020 10:14:22
J'ai modifié ce post mais alors prends le logarithme de ceci : $\prod_{k=1}^n (1+exp(\frac{k}{n}))^\frac{exp{\frac{2k}{n}}}{n}$
- Arthuroua
- 06-12-2020 09:56:12
Oui mais ca je ne sais pas comment faire, pour que tu comprennes peut être mieux :
Le produit pour k allant de 1 à n de (1+e^(k/n)) à la puissance ( (e^(2k/n))/n )
- Zebulor
- 06-12-2020 09:46:00
Re,
j'ai un peu de mal à lire .. mais je crois que dans un premier temps tu peux prendre le logarithme du produit de sorte à te retrouver avec une somme..