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Zebulor
06-12-2020 18:18:09

Re,
tu as raison : la limite quand $n$ tend vers l'infini de la première somme $\Large \frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{n} \frac{k}{n} cos(\frac{k\pi}{n})$ est $\Large \frac {-2}{\pi^2}$

Zebulor
06-12-2020 15:29:01

re,
et ceci : $\Large \lim\limits_{n \to \infty} \sum\limits_{k=1}^n ln\left[\left(1+exp(\frac{k}{n})\right)^\frac{exp{(\frac{2k}{n}})}{n}\right]$ est une intégrale que je te laisse trouver. On peut en trouver la valeur exacte et c'est encore du calcul par changement de variable.

L'exponentielle de cette intégrale est le produit de départ..

Arthuroua
06-12-2020 12:36:28

Ah non moi je nemettais pas l'exponentielle de droite au bon endroit c'est pour ca

Arthuroua
06-12-2020 12:33:46

Oui c'est ca que j'ai

Zebulor
06-12-2020 12:32:11

$\Large \sum\limits_{k=1}^n ln\left[\left(1+exp(\frac{k}{n})\right)^\frac{exp{(\frac{2k}{n}})}{n}\right]$

Arthuroua
06-12-2020 12:26:39

Là en passant au ln j'ai ca :

somme de 1 à n de ln(ce qu'il y a derrière le produit du post #29)

Donc dans chaque ln j'ai 1+e^(k/n) et j'ai ca (exp(2k/n))/n fois

Zebulor
06-12-2020 12:22:00

le logarithme du produit égale la somme des logarithmes. Et pour chaque logarithme tu as $ln(a^b)=b*ln(a)$

Arthuroua
06-12-2020 12:14:48

Je ne vois pas comment à partir de ca isoler le 1/n et avoir que des k/n à droite comme les autres

Arthuroua
06-12-2020 12:05:21

Cela va donner la somme de 1 à n de ln(ce qu'il y a derrière le produit du post #29)

Zebulor
06-12-2020 11:57:56

j 'étais en tout cas arrivé à un résultat .. la technique est toujours la même : isoler $\frac{k}{n}$ qui joue le rôle de $x$ dans le passage à la limite, et dans le cas de ce 1) mettre un facteur $\frac{1}{n}$ en dehors de la somme obtenue car il ne dépend pas de $k$. Puis repasser à l'exponentielle pour trouver la limite du produit.

Arthuroua
06-12-2020 11:33:35

Tu y arrives ?

Arthuroua
06-12-2020 10:27:58

C'est la première mais l'exponentielle c'est e^(2k/n) le tout divisé par n

Zebulor
06-12-2020 10:14:22

J'ai modifié ce post mais alors prends le logarithme de ceci : $\prod_{k=1}^n (1+exp(\frac{k}{n}))^\frac{exp{\frac{2k}{n}}}{n}$

Arthuroua
06-12-2020 09:56:12

Oui mais ca je ne sais pas comment faire, pour que tu comprennes peut être mieux :

Le produit pour k allant de 1 à n de (1+e^(k/n)) à la puissance ( (e^(2k/n))/n )

Zebulor
06-12-2020 09:46:00

Re,
j'ai un peu de mal à lire .. mais je crois que dans un premier temps tu peux prendre le logarithme du produit de sorte à te retrouver avec une somme..

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