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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Zebulor
26-11-2020 16:36:40

Re,
considérer la corde est une bonne idée.. merci pour cette précision

Fred
26-11-2020 15:53:08

Re-

  Pour moi, strictement convexe signifie que si tu prends deux points de la courbe représentative, la corde est strictement au-dessus de la courbe représentative, sauf en ces deux points. Donc, si tu es convexe et non strictement convexe, la corde et la courbe de $f$ vont coincider sur un intervalle non restreint à un point.

F.

Zebulor
26-11-2020 12:20:15

Bonjour,
en relisant ce dernier post de Fred, ne peut on pas remplacer l'expression "non strictement convexe" par "concave" ? dans ce cas sa courbe représentative serait celle d'une fonction affine.. ou alors il faudrait préciser  : si une fonction est convexe et non strictement convexe sur au moins un intervalle, alors sa courbe représentative comporte au moins un segment..

Fred
26-11-2020 10:29:56
Mouss a écrit :

Merci pour votre aide !! C'est clair

J'ai encore deux petitesquestions
1. Est ce que graphiquement il est possible de distinguer une fonction convexe au sens large (je veux dire par là si sa dérivée seconde est positive et s'annule en certains points) d'une fonction strictement convexe ?

Si une fonction est convexe et non strictement convexe, sa courbe représentative comportera au moins un segment.

2. Sachant qune fonction constante est croissante et décroissante a la fois peut on dire qu'elle est monotone ou non ?

Oui!

freddy
26-11-2020 10:03:51

Salut,

autre exemple : on compose une fonction concave (la fonction homographique) avec une fonction convexe ($e^x$) et on obtient un truc du genre $h(x)=\dfrac{e^x-1}{e^x+2}$ qui n'est ni concave, ni convexe.

Pour tes deux autres questions, je te laisse aux bons soins de Fred !

Mouss
26-11-2020 04:49:43

Merci pour votre aide !! C'est clair

J'ai encore deux petitesquestions
1. Est ce que graphiquement il est possible de distinguer une fonction convexe au sens large (je veux dire par là si sa dérivée seconde est positive et s'annule en certains points) d'une fonction strictement convexe ?

2. Sachant qune fonction constante est croissante et décroissante a la fois peut on dire qu'elle est monotone ou non ?

Fred
25-11-2020 22:03:19

Re-

  Un autre exemple très facile, la fonction $x^3$, si on la considère sur $\mathbb R$ tout entier.

F.

freddy
25-11-2020 17:10:57
Mouss a écrit :

Pouvez vous me donner un exemple de fonction ni convexe ni concave s'il vous plaît pour mieux visualiser

Tu peux regarder les fonctions sinus et cosinus sur un intervalle de longueur d'au moins $2\pi$, ou bien une polynôme de degré impair sur un intervalle qui inclut au moins un changement de concavité, ou bien la fonction logistique ou bien le quotient de deux polynômes de degrés différents. Je dis cela de mémoire, si quelqu'un veut compléter ...

Souvent, ce sont ces points d'inflexion (changement de concavité = une dérivée seconde qui s'annule) qui sont l'objet de toutes les attentions. Navigue un peu sur la toile, tu en trouveras.

Mouss
25-11-2020 15:44:02

Pouvez vous me donner un exemple de fonction ni convexe ni concave s'il vous plaît pour mieux visualiser

freddy
25-11-2020 14:45:59
Mouss a écrit :

Du coup il existe 3 types de courbes ?
- convexe
-concave
- convexe et concave à la fois c'est le cas uniquement des fictions affinés et constante ?
Merci d'avance pour votre reponse

Attention, tout dépend de l’intervalle considéré : la fonction peut être ni concave ni convexe !

Mouss
25-11-2020 14:11:18

Du coup il existe 3 types de courbes ?
- convexe
-concave
- convexe et concave à la fois c'est le cas uniquement des fictions affinés et constante ?
Merci d'avance pour votre reponse

freddy
25-11-2020 13:43:55
Mouss a écrit :

Bonjour,

Pouvez vous m'éclairer.

Autre question si une fonction n'est pas convexe est elle forcément concave ?

Merci

Salut,

je complète Fred : si, sur un intervalle donné, la fonction n'est pas convexe, elle n'est pas nécessairement concave non plus. Il faut le démontrer autrement que par contraposition !
Et comme dit Fred, il existe des fonctions qui sont et concave, et convexe !

Fred
25-11-2020 08:14:07

Bonjour,

C'est clairement la deuxième formulation qui est vraie (sinon, il faudrait parler de stricte convexité).
Par exemple, une fonction affine est à la fois convexe et concave.

F.

Mouss
25-11-2020 05:42:48

Bonjour,

Pouvez vous m'eclairer.

Doit on utiliser cette propriété :
f convexe sur I ssi f' strictement croissante sur I ssi f''(X) strictement positive sur I

Ou celle ci :

f convexe sur I ssi f' croissante sur I ssi f''(X) positive sur I

Autre question si une fonction n'est pas convexe est elle forcément concave ?

Merci

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