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Fred
02-11-2020 23:05:29

Bravo! Je me demande même ce que vient faire même rang dans cette histoire. Après tout, le rang d'une matrice, à peu de choses près, c'est la dimension de l'espace propre d'une valeur propre particulière....

aroufgangsta
02-11-2020 16:41:06

Ok, j'ai trouvé la réponse à ma question ici.
Il suffit de prendre les matrices par blocs M=J2(1)|J2(1) et N=I2|J2(1).

Cela dit, je pense que même rang + même polynôme caractéristique + même polynôme minimal suffit à caractériser les classes de similitudes des matrices de taille 1, 2 et 3. En d'autres termes, la plus petite taille possible pour trouver un contre-exemple est n=4.

aroufgangsta
30-10-2020 17:43:47

Bonjour à tous,

J'essaye de trouver deux matrices qui possèdent :

  • le même rang

  • le même polynôme caractéristique

  • le même polynôme minimal

mais qui ne soient pas, pour autant, semblables.

En notant Jk(0) la matrice de Jordan de taille k avec des 0 sur la diagonale et des 1 juste au-dessus (qui sont les invariants de similitude les plus "faciles" à manipuler), je réussis à construire deux matrices de taille 7 qui vérifient ce que je cherche :

  • la matrice M diagonale par blocs avec J3(0), J2(0) et J2(0) sur la diagonale ;

  • la matrice N diagonale par blocs avec J3(0), J3(0) et J1(0) sur la diagonale.

Ma question est la suivante : est-il possible de trouver d'autres matrices qui vérifieraient ceci, mais qui seraient de taille plus petites ? La réponse me paraît bien évidemment être oui (ça se saurait si l'on pouvait caractériser aussi simplement les classes de similitude des matrices de taille 6 et moins !), mais je n'arrive pas à trouver d'autres exemples.

Merci à vous,
AG

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