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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

yoshi
29-10-2020 12:01:46

RE,

Tu aurais quand même pu t'abstenir de faire le boulot à sa place et la laisser réfléchir et répondre. : tempère ton enthousiasme ! ^_^

@+

Black Jack
29-10-2020 11:06:36

Bonjour,

Je tente la résolution du b ... à titre d'exemple.

1/x + 1/y = 1/5

5x + 5y = xy

donc comme 5 est premier; on a forcément x et/ou y multiple de 5
Comme x et y sont interchangeables dans l'équation, on peut décréter que c'est x le multiple non nul de 5

On a donc x = 5k (avec k dans Z*)

25k + 5y = 5ky
5k + y = ky
y(k-1) = 5k 
y = 5k/(k-1)

et donc, soit y est aussi multiple de 5, soit (k-1) est multiple de 5

si (k-1) est multiple de 5 : k = 5k'+1 et y = (5k'+1)/k' = 5 + 1/k' (ce sui n'est possible que pour k'= -1 ou 1 ... donc y = 4 ou 6)

y = 4 --> x = -20
y = 6 --> x = 30

On a donc comme solutions les doublets (x,y) = (-20 ; 4) , (30 ; 6)  (on peut évidemment croiser les valeurs de x et de y)
Les autres solutions sont avec x ET y des multiples non nuls de 5

5x + 5y = xy
25k1 + 25k2 = 25.k1.k2 (k1 et k2 dans Z*²)
k1 + k2 = k1.k2
k1 = k2/(k2 - 1) ce qui n'est possible que pour k2 = 2 (et k1 = 2) --> x = y = 10

Donc les triplets (x,y) solutions sont :
(-20,4) ; (4 ; -20) ; (30 ; 6) ; (6 ; 30) ; (10 ; 10)
*****
Il y a sûrement des méthodes plus académiques pour trouver les solutions.

EDIT:

Désolé, pas vu le message précédent avant d'envoyer le mien.

yoshi
29-10-2020 11:05:05

RE,

Effectivement les mentions a) et b) m'avaient échappées
Dommage,
j'avais une solution unique... ^_^

Bon  par exemple, alors partir de :
a) $y =\dfrac{2x}{x-3}$
    Ecrire $ y$ sous la forme  $y=a+\dfrac{b}{x-3}$ avec $a,b \in \mathbb Z$

b) $y =\dfrac{5x}{x-5}$
Même idée.

J'avais aussi zappé :

xy = 2x +3y équivaut à xy - 2x - 3y =0
je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0
je factorise par -3
(x-3)(y/3 - 2/3 - y/x)=0

Le résultat de ta factorisation par -3 m'inquiète grandement...

@+

Black Jack
29-10-2020 10:19:29
yoshi a écrit :

Bonsoir,

Je n'ai besoin ni de congruence, ni de division euclidienne.
J'ai un système de 2 équations à 2 inconnues :
$\begin{cases}xy &=2x+3y\\\dfrac 1 x + \dfrac 1 y &=\dfrac 1 5\end{cases}$
J'ai résolu ce système par substitution.
La forme de ce système me rappelle ce sujet dont tu peux t'inspirer : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12994

Va lire et tâche de comprendre, lance-toi dans les calculs et reviens nous faire part de tes avancées.

je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0

Première étape d'une substitution.
Là, tu es partie pour écrire x en fonction de y, mais fais-le comme ça :
$x(y-2)=3y$ Au passage, tu dois voir ce qui se passe si $y=2...$
$\Leftrightarrow$
$x=\dfrac{3y}{y-2}$.
etc...

@+

Bonjour Yoshi ...

Ce n'est pas un système de 2 équations qui est donné, mais bien 2 équations indépendantes.

Il faut donc résoudre séparément :
xy = 2x + 3y (dans Z²)

et

1/x + 1/y = 1/5 (dans Z*²)

yoshi
28-10-2020 20:14:08

Bonsoir,

Je n'ai besoin ni de congruence, ni de division euclidienne.
J'ai un système de 2 équations à 2 inconnues :
$\begin{cases}xy &=2x+3y\\\dfrac 1 x + \dfrac 1 y &=\dfrac 1 5\end{cases}$
J'ai résolu ce système par substitution.
La forme de ce système me rappelle ce sujet dont tu peux t'inspirer : http://www.bibmath.net/forums/viewtopic.php?id=12994

Va lire et tâche de comprendre, lance-toi dans les calculs et reviens nous faire part de tes avancées.

je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0

Première étape d'une substitution.
Là, tu es partie pour écrire x en fonction de y, mais fais-le comme ça :
$x(y-2)=3y$ Au passage, tu dois voir ce qui se passe si $y=2...$
$\Leftrightarrow$
$x=\dfrac{3y}{y-2}$.
etc...

@+

Lacombe
28-10-2020 09:14:35

Bonjour, voici mon énoncé d'exercice. Nous venons tout juste de finir le chapitre sur les congruences et la division euclidienne mais je ne vois pas du tout comment l'utiliser ici .

Résoudre les équations suivantes, dans l'ensemble indiqué
a) x*y = 2x +3y, Z x Z
b) 1/x +1/y = 1/5 , Z* x Z*

Pour la a) j'ai essayer de factoriser pour avoir un produit "d'un coté" et un nombre de l'autre
xy = 2x +3y équivaut à xy - 2x - 3y =0
je factorise par x
x(y - 2 -3y/x)=0
je factorise par -3
(x-3)(y/3 - 2/3 - y/x)=0
et là je n'arrive pas à simplifier le second membre.

Merci de votre aiguillage

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