Bibm@th

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bienvenue dans les forums du site BibM@th, des forums où on dit Bonjour (Bonsoir), Merci, S'il vous plaît...

Vous n'êtes pas identifié(e).

Répondre

Veuillez composer votre message et l'envoyer
Nom (obligatoire)

E-mail (obligatoire)

Message (obligatoire)

Programme anti-spam : Afin de lutter contre le spam, nous vous demandons de bien vouloir répondre à la question suivante. Après inscription sur le site, vous n'aurez plus à répondre à ces questions.

Quel est le résultat de l'opération suivante (donner le résultat en chiffres)?
soixante dix-huit moins soixante et onze
Système anti-bot

Faites glisser le curseur de gauche à droite pour activer le bouton de confirmation.

Attention : Vous devez activer Javascript dans votre navigateur pour utiliser le système anti-bot.

Retour

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

yoshi
22-10-2020 13:07:30

Bonjour,

Hamala étant aux abonnés absents depuis 18 jours, et n'ayant pas demandé d'aide ailleurs, je présume que
1. On ne le reverra pas,
2. Il a dû réussir à se débrouiller sans nous, ce qui est aussi bien pour lui dans la perspective de son avenir.

Je poste donc les solutions au cas où quelqu'un passe par là dans l'avenir aux prises avec le même souci.

                                     --------------------------------------
Résoudre :
$\begin{cases}\dfrac x y + \dfrac y x &= 2xy\\x+y+xy &=0\end{cases}$

J'explicite les 2 méthodes (en Code Latex, ce que tout intervenant régulier devrait s'attacher à faire, fréquemment des élèves de 2nde/1ere nous montrent que ce n'est pas si difficile...)

$x+y+xy=0\;\Leftrightarrow\; y(1+x)=-x\;\Leftrightarrow\;y=-\dfrac{x}{x+1}\; \text{ et } x\neq -1$
1. Peut-on avoir $x =-1$ ?
    La première équation deviendrait
   $ -\dfrac 1 y -y =-2y\;\Leftrightarrow\;1+y^2=2y^2\;\Leftrightarrow\;y^2=1$ et $y=\pm 1$
   Soit 2 réponses :$\{(-1,-1) , (-1,1)\}$
   Que je teste dans la 2e équation :
   a) $(x,y)=(-1,-1)$ d'où $-1-1+(-1)(-1)=0\;\Leftrightarrow\;-1 =0 \text{ impossible }$
   b) $(x,y)=(-1,1)$ d'où $-1+1+(-1)\times 1=0\;\Leftrightarrow\;-1 =0 \text{ impossible }$
   Si x =-1 pas de solution.

2. Donc $x\neq -1$
   Alors j'ai le droit d'écrire    $y=-\dfrac{x}{x+1}$ que je reporte dans la première équation:
   
   $ -\dfrac{x}{\dfrac{x}{x+1}}-\dfrac{\dfrac{x}{x+1}}{x}=2x\times \left(-\dfrac{x}{x+1}\right)\;\Leftrightarrow\;-x-1-\dfrac{1}{x+1}=-\dfrac{2x^2}{x+1}\;\Leftrightarrow\;x+1+\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2x^2}{x+1}$
   En multipliant les deux membres par $(x+1)$ on obtient :
    $(x+1)^2+1=2x^2\;\Leftrightarrow\;$$x^2-2x-2=0$
    $\Delta =(-2)^2-4\times(-2)=12 =(2\sqrt  3)^2$
    D'où
    $x_1,x_2=\dfrac {2\pm 2\sqrt 3}{2}=1\pm \sqrt 3$
     Si $x=1-\sqrt 3$ alors $y=-\dfrac{1-\sqrt 3}{1-\sqrt 3+1}=\dfrac{(-1+\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}{(2-\sqrt 3)(2+\sqrt 3)}=1+\sqrt 3$
     solution $(1-\sqrt3,1+\sqrt 3)$
     Le système  étant parfaitement symétrique en x et y, la 2e solution est
    $(1+\sqrt3,1-\sqrt 3)$

--------------------------------------------------------------------------------------------

Méthode proposée par 48PierrelePetit.

De la 2e équation, il vient :
$x+y+xy=0 \;\Leftrightarrow\;x+y=-xy \;\Leftrightarrow\;(x+y)^2=x^2y^2$
On développe et réduit :
$(x+y)^2=x^2y^2\;\Leftrightarrow\;x^2+2xy+y^2=x^2y^2$ (1)

On multiplie les deux membres de la première équation par $xy$ (vu la forme, on admet que $x\neq 0\;\text{ et }\;y\neq 0$) :
$x^2+y^2=2x^2y^2$
On remplace $x^2+y^2$ par $2x^2y^2$ dans l'équation (1) :
$x^2+2xy+y^2=x^2y^2\;\Leftrightarrow\;2x^2y^2+2xy=x^2y^2\;\Leftrightarrow\;x^2y^2+2xy=0$
On factorise :
$x^2y^2+2xy=0\;\Leftrightarrow\;xy(xy+2)=0$
Puisque $x\neq 0\;\text{ et }\;y\neq 0$ alors $xy\neq 0$
Donc, seule solution de l'équation-produit ci-dessus : $xy=-2$
Or, il a été dit plus haut que $x+y=-xy$ d'où $x+y=2$
A ce stade, soit on résout le système $\begin{cases} x + y&= 2\\xy&=-2\end{cases}$ et on arrive à l'équation : $x^2-2x-2=0$

Soit après avoir posé $S=x+y=2$ et $P=xy=-2$  oin sait que x et y sont les solutions de l'équation
$X^2-SX+P=0$, soit de $x^2-2x-2=0$
La suite rejoint alors mon calcul des solutions.

Choix entre les 2 méthodes : laquelle est la plus "simple" ?
J'avais testé les 2 méthodes et opté pour la première... Affaire de goût.

Cela dit, moi, modérateur, je n'apprécie que modérément (même si ça ne figure pas dans nos Règles), que quelqu'un (qui ce soit) ayant répondu, un 2e interlocuteur se "précipite" pour proposer sa solution, sauf évidemment si la réponse est entachée d'erreur manifeste.
Je trouve, d'un point de vue pédagogique, le procédé de nature à embrouiller le demandeur qui est déjà assez embarrassé comme ça par le sujet sans en rajouter...
Donnons-lui le temps de se manifester et de voir ce qu'il comprend ou ne comprend pas.
Bien évidemment, une fois le travail achevé ou pratiquement terminé, une 2e voire une 3e réponse sont les bienvenues...
Si un autre aidant intervient dans la discussion, pour prendre la suite du 1er dans l'esprit de ce qui a été proposé, pas de pb !
Personnellement, adepte de "Ne fais pas aux autres ce que tu ne veux pas qu'ils te fassent", je me suis toujours attaché à laisser le 1er aidant terminer ses interventions, encore une fois sauf erreur de calcul manifeste (personne n'est infaillible) ou lecture indiscutablement incorrecte de l'énoncé...

Mais tout ceci reste purement académique vu la réactivité du demandeur...

@+

yoshi
06-10-2020 19:41:24

RE,

Pour aider:

Parce que ce que propose ne te convient pas ? n'aide pas ?
Sinon, pourquoi proposer une autre piste (qui celle-là cette fois, amène aussi aux bons résultats) ?

Je n'ai jamais cru que proposer deux méthodes différentes l'une derrière l'autre - et dans ma carrière, je ne l'ai jamais fait - sans attendre  de voir si la première était comprise ou pas était une bonne politique...

@+

yoshi
05-10-2020 14:31:38

Bonjour,

Pierre, ici la règle est de ne pas donner la solution sans que le demandeur ait travaillé comme écrit dans nos Règles :

* Notre but étant de vous aider à résoudre vos difficultés, et non de faire les exercices à votre place, ne postez pas le sujet d'un exercice sans montrer que vous y avez travaillé : il n'y serait probablement pas répondu. A vous d'expliquer ce que vous avez déjà fait, là où vous bloquez, et pourquoi...

Je viens de finir de rédiger la solution complète que je garde sous le coude...

@+

[EDIT]Désolé, le message de Pierre a disparu : il l'a probablement supprimé...

yoshi
05-10-2020 08:28:39

Re,

Et si tu essayais une résolution par substitution, par ex écrire $y$ en fonction de $x$ pour te retrouver avec une équation du 2nd degré en $x$ ?

@+

yoshi
04-10-2020 15:19:49

Salut,

Qu'as-tu déjà essayé ?

@+

Hamala
04-10-2020 13:51:00

Salut svp jai un exo de système linéaire que j'arrives pas à résoudre j'ai besoin de votre aide messieurs.
Bon le système est :
x/y + y /x =2xy
x + y + xy =0
Merci d'avance désolé j'arrive pas à faire l'accolade sur mon téléphone

Pied de page des forums