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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

valoukanga
03-07-2020 19:18:44

Ah pardon, tu as mal compris, ma barre oblique / c'était pour dire que $\lambda \in \mathbb R$, certains mettent une barre verticale | pour une virgule dans les ensembles. On a bien la même chose !

Yunvln
03-07-2020 17:24:37

Il y a une légère différence, dans la solution que j'ai trouvé le +1 n'est pas divisé par λ

valoukanga
03-07-2020 17:18:16

Je ne comprends pas ce qu'il y a, les deux réponses que tu m'as écrit sont les mêmes.

Pas de soucis pour le coup de main !

Yunvln
03-07-2020 17:03:49

Une dernière question, lorsque je résout (B), je ne trouve pas : {yλ:t↦λe4t+1/λ∈R} mais {yλ:t↦λe4t+1∈R}, sauriez-vous d’où vient ce problème ?

En tous cas, merci pour tout, heureusement que je suis tomber sur quelqu'un comme vous, qui soit aussi patient et sans jugement !

valoukanga
03-07-2020 16:56:27

Oui plus que la 3ème question, tu devrais y arriver sans problème !

Yunvln
03-07-2020 16:17:38

Ah d'accord oui oui, je comprend, je pensais qu'il y avait quelques chose de plus large a trouvé, autant pour moi !
Il ne me reste donc ensuite que la 3eme question si je ne me trompe pas ?

valoukanga
03-07-2020 16:04:38

Je t'ai dit dans mon message précédent que pour tout $\lambda \in \mathbb R$, $\displaystyle x_\lambda : t \mapsto \frac 1{\lambda e^{4t}+1}$ était solution de (A). On sait que ce sont les seules par la résolution qu'on a fait au-dessus.

Ainsi, l'ensemble des solutions de (A) est : $$\mathcal S = \left\{ x_\lambda : t \mapsto \frac 1{\lambda e^{4t}+1}, \lambda \in \mathbb R\right\}.$$

Tu comprends ?

Yunvln
03-07-2020 13:37:11

Donc pour en déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (A), j'ai crée la courbe sur une calculatrice graphique mais je ne vois n'y limite, ni condition pour en déduire un ensemble de solutions, faut-il que je le fasse a la main ?

valoukanga
03-07-2020 08:02:36

Comme tu as la relation $\displaystyle x(t) = \frac 1{y(t)}$, on a que si $y_\lambda$ est une solution de (B), alors $\displaystyle x_\lambda = \frac 1{y_\lambda(t)}$ est une solution de (A).

Ainsi, pour tout $\lambda \in \mathbb R$, la fonction $\displaystyle x_\lambda : t \mapsto \frac 1{\lambda e^{4t}+1}$ est solution de l'équation différentielle (A). 

Tu peux donc en déduire l'ensemble des solutions de ton équation différentielle (A).

Yunvln
02-07-2020 22:50:16

Pour ce qui est de la résolution de (B), il n'y auras aucun soucis, merci de me guider ainsi.
Il me suffit de remplacer t par λe4t+1/λ et dans déduire une solution xλ de (A) ?

valoukanga
02-07-2020 22:39:58

Non non non, l'équation (B) est celle que j'ai marqué au dessus : $y' -4y = -4$. Toute simple à résoudre je te laisse le faire en détail.

Lorsque tu auras fait la résolution, tu devrais trouver que l'ensemble des solutions de (B) est : $\{y_\lambda : t \mapsto \lambda e^{4t}+1/ \lambda \in \mathbb R\}$.

Ainsi, si j'ai une fonction solution $y_\lambda$ de (B), je peux en déduire une solution $x_\lambda$ de (A), en utilisant le fait que $\displaystyle y(t) = \frac 1{x(t)} \Leftrightarrow x(t) = \frac 1{y(t)}$.

Est-ce plus clair ?

Yunvln
02-07-2020 22:31:18

Donc notre équation différentielle (B) est égale a x(t) = 1/y(t) ?
Je ne vois pas comment en déduire toutes les fonctions x par rapport a l'équation (A) ?
Merci beaucoup pour votre patience !

valoukanga
02-07-2020 22:21:58

À la question 2, tu vas trouver toutes les fonctions $y$ qui vérifient l'équation (B). Comme $\displaystyle y(t) = \frac 1{x(t)}$, on a $\displaystyle x(t) = \frac 1{y(t)}$. Tu en déduiras donc toutes les fonctions $x$ qui vérifient l'équation différentielle (A).

Tu n'auras plus qu'à calculer $x(0)$ et à faire en sorte que $\displaystyle x(0) = \frac12$.

Yunvln
02-07-2020 22:16:57

Merci beaucoup pour cette aide ! Oui je ne comprenais pas pourquoi il me restais ce -4, mais je comprend mieux !

Pour la 3eme question si j'ai bien compris, j'ai simplement a prendre la primitive de x', a remplacer t par 0 et de trouver pour quelle valeur faut il que je remplace x pour trouver 1/2 ?

valoukanga
02-07-2020 22:09:54

Tu as saisi ce que je voulais dire, c'est l'essentiel. Voilà ce qu'il faut :

$$y'(t) - 4y(t) = \frac{4-4x(t)}{x(t)} - \frac{4}{x(t)} = \frac{4-4-4x(t)}{x(t)} = \frac{-4x(t)}{x(t)} = -4.$$

On a donc montré que $y$ est solution de l'équation différentielle $y'-4y = -4$, qui est bien linéaire du premier ordre à coefficients constants.

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