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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Bill
- 05-06-2020 19:15:19
Ah cool :) merci beaucoup
- valoukanga
- 05-06-2020 19:13:44
C'est exactement ça ! Les deux dernières questions sont plus faciles
- Bill
- 05-06-2020 19:07:46
Le polynôme qui conviendrait est donc : Q =b1P1 + b2P2 + b3P3 +b4P4 puisqu’on a pour tout Q(aj) = Pj
- valoukanga
- 05-06-2020 18:39:38
Alors, c'est pas exactement ça. Le problème, c'est qu'il faut combiner toutes les conditions ensemble : je t'éclaire un peu plus.
On veut $Q(a_1) = b_1$ et $Q(a_2) = b_2$ (je ne m'intéresse qu'aux deux premiers pour le moment, pour que tu comprennes l'idée). Moi, j'ai : $P_1(a_1) = 1$, $P_1(a_2) = 0$, $P_2(a_1) = 0$ et $P_2(a_2) = 1$. Je vois alors que le polynôme $Q = b_1P_1 + b_2P_2$ satisfait les deux premières égalités.
En suivant ce raisonnement, tu dois pouvoir trouver un polynôme $Q$ qui convient.
- Bill
- 05-06-2020 17:46:00
D’accord merci pour la rectification, j’ai donc pour:
Q(a2) =b2, on a :
P2(a2)=1, et donc b2P2(a2)=b2
Ensuite, comme P2(a1)=P2(a3)=P2(a4)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4
Q(a3) =b3, on a :
P3(a3)=1, et donc b3P3(a3)=b3
Ensuite, comme P3(a1)=P3(a2)=P3(a4)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4
Et enfin, pour Q(a4) =b4, on a :
P4(a4)=1, et donc b4P4(a4)=b4
Ensuite, comme P4(a1)=P4(a2)=P4(a3)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4
- valoukanga
- 05-06-2020 17:28:02
Excuse-moi, j'ai dit une bêtise plus haut : le polynôme $b_1P_1 + P_2 + P_3 + P_4$ fonctionne pour $b_1$.
Et même mieux en fait, pour n'importe quel $(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb R^3$, $b_1P_1 + \alpha P_2 + \beta P_3 + \gamma P_4$ fonctionne (puisque lorsqu'on évalue en $a_1$, les $P_2$, $P_3$ et $P_4$ sautent). Essaie-donc de voir ce que ça donne en utilisant les conditions $Q(a_2) = b_2$, $Q(a_3) = b_3$ et $Q(a_4) = b_4$.
Encore désolé pour la petite erreur !
- valoukanga
- 05-06-2020 17:28:02
Excuse-moi, j'ai dit une bêtise plus haut : le polynôme $b_1P_1 + P_2 + P_3 + P_4$ fonctionne pour $b_1$.
Et même mieux en fait, pour n'importe quel $(\alpha, \beta, \gamma) \in \mathbb R^3$, $b_1P_1 + \alpha P_2 + \beta P_3 + \gamma P_4$ fonctionne (puisque lorsqu'on évalue en $a_1$, les $P_2$, $P_3$ et $P_4$ sautent). Essaie-donc de voir ce que ça donne en utilisant les conditions $Q(a_2) = b_2$, $Q(a_3) = b_3$ et $Q(a_4) = b_4$.
Encore désolé pour la petite erreur !
- Bill
- 05-06-2020 17:22:40
D’accord, je vois un peu, ça me donne :
On sait que P2(a2)=1, et donc b2P2(a2)=b2
Ensuite, comme P2(a1)=P2(a3)=P2(a4)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4
On sait que P3(a3)=1, et donc b3P3(a3)=b3
Ensuite, comme P3(a1)=P3(a2)=P3(a4)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4
Et enfin, P4(a4)=1, et donc b4P4(a4)=b4
Ensuite, comme P4(a1)=P4(a2)=P4(a3)=0,
Le polynôme Q= P1 +P2 +P3 +P4
- valoukanga
- 05-06-2020 17:00:58
Je crois pas trop que tu aies compris ce que j'ai essayé de te dire. Je vais de donner un indice :
On a $P_1(a_1) = 1$, donc $b_1 P_1(a_1) = b_1$. Ensuite, comme $P_1(a_2) = P_1(a_3) = P_1(a_4) = 0$, le polynôme $Q = P_1+P_2+P_3+P_4$ vérifie $Q(a_1) = b_1$, mais ce n'est pas le seul. Avec les conditions sur $b_2$, $b_3$ et $b_4$ tu devrais un autre polynôme $Q$ qui fonctionne pour $b_1$, $b_2$, $b_3$ et $b_4$.
- Bill
- 05-06-2020 16:56:57
Je suis pas sûr mais je trouve :
Q(a1)=bP1a1
- valoukanga
- 05-06-2020 16:42:03
Essaie déjà de voir ce qu'il faut pour que juste pour $j = 1$, on ait l'égalité.
Tu sais que les $P_i(a_j)$ font soit 1, soit 0, et tu voudrais une combinaison qui fasse $b_1$. Cherche un peu et dis-moi si tu vois.
- Bill
- 05-06-2020 16:37:44
La iii) est un peu plus dur à trouver
- Bill
- 05-06-2020 16:31:26
Merci :-)
- valoukanga
- 05-06-2020 16:28:47
C'est tout bon ! Essaie de faire la suite maintenant :)
- Bill
- 05-06-2020 16:18:40
Ça donnerait : Pi(aj) = δi,j