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LCTD
27-05-2020 17:13:21

Bonjour,

Comme la fonction est 2-$\pi$ périodique, on peut calculer l'intégrale sur n'importe quel intervalle de longueur $2\pi$, ici il faut calculer $a_0$ entre $-\pi$ et $\pi$ au lieu de 0 et $2\pi$

Saserins
27-05-2020 11:23:50

D'accord, mais pour moi, f étant 2pi-périodique, le a0 vaut ce que vous mettez sur votre site, mais si je reprends votre formule, le résultat n'est pas le bon. Plus haut, pour moi le calcul n'est pas logique non plus, car on devrait additionner les 2 intégrales entre 0 et pi car f est paire, mais au final, je ne trouve jamais ce qu'il faut.

Merci encore du temps mis à me répondre.

Fred
27-05-2020 10:18:32

Ce que je dis, c'est que ça dépend des cours.
Par exemple, sur ce site, la définition de $a_0$ n'est sans doute pas celle de ton cours, car il est divisé par deux. Mais, en compensation, la définition de la série de Fourier ne doit pas non plus être celle de ton cours.

Saserins
27-05-2020 09:59:34

J'ai essayé avec pi, effectivement si je divise ao par deux cela fonctionne, mais par contre je ne connaissais pas cette formule, pourquoi divise t-on a0 par 2 ? Je ne vois pas ce cas dans mon cours.

$= \frac{1}{\pi } * \int_{0}^{\pi }{x(\pi -x)dx}$      Soit      $\pi a_0 = [\frac{x^2*\pi }{2} - \frac{x^3}{3}]$      pour     0     et     $ \pi$   puis     je     trouve    $\frac{2\pi ^2}{6}$

Fred
27-05-2020 09:49:51

Il y a deux écoles pour définir $a_0$ : ou bien on divise par $\pi$, ou bien on divise par $2\pi$. Il faut juste écrire correctement les séries de Fourier ou le théorème de Parseval en tenant compte de cette normalisation (dans un cas, la série de Fourier sera $a_0+\sum....$, dans l'autre cas $\frac{a_0}2+\sum...$.

F.

Saserins
27-05-2020 09:23:36

Bonjour, je trouve tout les bons résultats sauf pour a, d'après le cours, je dois calculer :


[tex]\frac{1}{2\pi } \int_{0}^{2\pi }{x(\pi -x) dx}[/tex]     ,     je ne vois pas où est l'erreur ...

LCTD
26-05-2020 20:58:56

Bonjour,

rappel du cours :

pour une fonction ni pair ni impair :

$a_n=\dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}f(x) cos(nx)dx $ et $b_n=\dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi}f(x) sin(nx)dx$

pour une fonction impair :

$a_n=0$ et $b_n=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}f(x) sin(nx)dx $

pour une fonction pair :
$a_n=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}f(x) cos(nx)dx$ et $b_n =0$

Saserins
26-05-2020 20:51:31

Finalement oubliez ce que j'ai dis. J'ai finis par trouver. Merci beaucoup pour vos réponses claires et rapides !

Saserins
26-05-2020 19:06:51

1/pi pas* 2/pi

Pour bn c'est bon, par contre pour an, je dois multiplier par 1/pi par 2/pi l'intégrale, est-ce normal ?

Saserins
26-05-2020 19:05:23
LCTD a écrit :

Bonjour,

Il faut bien faire un DL de Fourier.
Voici quelques indications  sur une manière.

La fonction f(x)=x([tex]\pi[/tex]-x) est continue par morceaux sur R et 2π-périodique. On peut donc calculer ses coefficients de FOURIER.

f(x) =[tex]\dfrac{a_0}{2} +\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n cos(nx) + b_n sin(nx))[/tex] (1)

Comme f est impair les coefficients an sont nuls quelque soit n [tex]\in N^*[/tex]. il reste à calculer  les bn.

[tex]b_n=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}f(x) sin(nx)dx=\dfrac{2}{\pi} \int_0^{\pi}x(\pi -x) sin(nx)dx[/tex]

Comme est continue par morceaux sur R et 2π-périodique et de classe C1 par morceaux sur R, vous pouvez appliquer le théorème de DIRICHLET qui dit que la série de FOURIER de f converge vers f sur R. Donc pour tout x [tex]\in R[/tex] on peut calculer (1).




.


Pour bn c'est bon, par contre pour an, je dois multiplier par 1/pi par 2/pi l'intégrale, est-ce normal ?

Saserins
26-05-2020 15:46:59

D'accord merci beaucoup pour vos réponses. Pour l'instant je trouve pour le côté gauche (du résultat demandé) : [tex]\frac{-2\pi *(1+(-1)^n}{n^2}*cos(nx) [/tex]

Je vais encore chercher et refaire mon calcul.

Fred
26-05-2020 13:06:28

Je suis d'accord avec LCTD. Pour éditer un message, il faut d'abord créer un compte sur le forum.

LCTD
26-05-2020 11:39:22

Bonjour,

En calculant bn vous devez trouver quelque chose avec du $(-1)^n)$ , pour n pair cela vaut 0 et n impair donc du type 2n+1 c'est non nul.

Saserins
26-05-2020 10:49:50
Saserins a écrit :
Fred a écrit :

Bonjour,

  Moi je m'y prendrai ainsi. Soit $h(x)=x(\pi-x)$ définie sur $[0,\pi]$.

1. Je considère la fonction $f$ paire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $f(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, $f(x)=f(-x)=h(-x)=-x(\pi+x)$.
Ensuite, je décompose $f$ en série de Fourier, et on devrait trouver ton premier résultat
(j'ai fait le calcul de $a_0$, j'ai bien trouvé $\pi^2/6$).

2. Je considère la fonction $g$ impaire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $g(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, on a $g(x)=-g(-x)=-h(-x)=x(\pi+x)$.
Et je décompose $g$ en série de Fourier pour trouver le deuxième résultat.

F.


Ok j'ai trouvé le bon ao, par contre j'essaie de calculer la décomposition avec double ipp etc. Je ne tombe pas sur le bon résultat, cependant je ne vois pas comment on peut obtenir le sin(2nx), comment le "2" arrive dans ce sinus ???

Edit : cos(2nx) pardons

Comment fait-on pour edit ?

Saserins
26-05-2020 10:46:16
Fred a écrit :

Bonjour,

  Moi je m'y prendrai ainsi. Soit $h(x)=x(\pi-x)$ définie sur $[0,\pi]$.

1. Je considère la fonction $f$ paire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $f(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, $f(x)=f(-x)=h(-x)=-x(\pi+x)$.
Ensuite, je décompose $f$ en série de Fourier, et on devrait trouver ton premier résultat
(j'ai fait le calcul de $a_0$, j'ai bien trouvé $\pi^2/6$).

2. Je considère la fonction $g$ impaire définie sur $]-\pi,\pi]$ avec $g(x)=h(x)$ si $x\in [0,\pi]$.
Alors, pour $x\in ]-\pi,0]$, on a $g(x)=-g(-x)=-h(-x)=x(\pi+x)$.
Et je décompose $g$ en série de Fourier pour trouver le deuxième résultat.

F.


Ok j'ai trouvé le bon ao, par contre j'essaie de calculer la décomposition avec double ipp etc. Je ne tombe pas sur le bon résultat, cependant je ne vois pas comment on peut obtenir le sin(2nx), comment le "2" arrive dans ce sinus ???

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