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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Dess1a
13-08-2020 14:37:20

Ci-joint l'image.Intéressons-nous à la figure 3 afin de déterminer la cotation "a" et "b" représentant le pas de l'hélice à pente constante(a>b).


https://www.dropbox.com/s/nonshd416bs6l … ..jpg?dl=0

Dess1a
13-08-2020 14:09:37

Bonjour et merci pour votre aide.Pour ma part j'ai été jusqu'en 5eme,et donc ...Bon,admettons,on obtient une spirale quelconque en vue de dessus.Quelle est le nom de cette Spirale?.......
Si oui,Quel est son tracé GRAPHIQUE UNIQUEMENT).
Je vais reposter mon image(courbe sur la sphère).Je vous propose de réétudier cette image et conservant les contraintes(rayon de la sphère,largeur de l'escalier,départ de l'escalier...).Mais de grâce,plus de formule mathématique.

recevez mes salutations et amitiés.

Dess1
14-07-2020 19:22:22
Wiwaxia a écrit :

Re-bonjour,

Tout vient à point pour qui sait attendre.
Voici la représentation en projection orthogonale des escaliers à 10, 20 et 30 marches. Les difficultés sont venues non de l'algorithme, mais de l'ajustement cohérent des conditions limites.
Le bord externe de chaque marche présente une longueur fixe égale au giron.
La marche la plus haute, non représentée ici et dont le coin droit se superpose au pôle (z = Rsph), n'est jamais adjacente à celle située immédiatement en-dessous (z' =  Rsph - Hm); cependant il n'y a pas lieu de s'attarder sur cette anomalie, dans la mesure où le plan de la dernière marche se confond avec le plateau du poste de garde; le bord de ce dernier, de dimensions supérieures à celles des marches, coïncide a priori avec celui de l'avant-dernière marche, de sorte qu'il n'y a pas de difficulté d'accessibilité.

https://www.cjoint.com/doc/20_06/JFCr1M … n-10-M.png
https://www.cjoint.com/doc/20_06/JFCr7l … n-20-M.png
https://www.cjoint.com/doc/20_06/JFCsbr … n-30-M.png

L'augmentation du nombre de marches conduit au tracé quasi-continu de 2 spirales radialement distantes de la largeur de l'escalier (Lesc); par exemple pour N = 500:
https://www.cjoint.com/doc/20_06/JFDgty … -500-M.png

Bonjour,

Merci beaucoup.
Peux-tu insérer la vue frontale?
D'avance, merci.

Cordialement,

Wiwaxia
28-06-2020 18:31:24

Re-bonjour,

Tout vient à point pour qui sait attendre.
Voici la représentation en projection orthogonale des escaliers à 10, 20 et 30 marches. Les difficultés sont venues non de l'algorithme, mais de l'ajustement cohérent des conditions limites.
Le bord externe de chaque marche présente une longueur fixe égale au giron.
La marche la plus haute, non représentée ici et dont le coin droit se superpose au pôle (z = Rsph), n'est jamais adjacente à celle située immédiatement en-dessous (z' =  Rsph - Hm); cependant il n'y a pas lieu de s'attarder sur cette anomalie, dans la mesure où le plan de la dernière marche se confond avec le plateau du poste de garde; le bord de ce dernier, de dimensions supérieures à celles des marches, coïncide a priori avec celui de l'avant-dernière marche, de sorte qu'il n'y a pas de difficulté d'accessibilité.

Escalier 10 M
Escalier 20 M
Escalier 30 M

L'augmentation du nombre de marches conduit au tracé quasi-continu de 2 spirales radialement distantes de la largeur de l'escalier (Lesc); par exemple pour N = 500:
Dessin_500 M

Wiwaxia
16-06-2020 11:43:33

Voici un tableau des hauteurs et girons correspondant à diverses valeurs du nombre de marches.
Les distances sont déterminées à 10-4 mm près, et peuvent être utilisée directement dans le tracé d'une image.

TableauNHG

Le programme source, très simple, reprend le calcul de la somme des angles.

L'instruction IncR(a, b) incrémente le réel (a) de la quantité (b).

PROGRAM Helice_Spherique;

 USES Crt, E_Texte, U_Math, Math;

 CONST Rsph = 3450; Lesc = 550; Rs2 = Rsph * Rsph;
       NminM = 5;  NmaxM = 45;

 TYPE PaireR = RECORD  Theta, Epsilon: Reel  END;
      Tab_P = ARRAY[1..NmaxM] OF PaireR;

 CONST P_00: PaireR = (Theta: 0; Epsilon:0);

 VAR Giron, Hauteur: Reel;
     Liste: Tab_P;

 PROCEDURE Aff_1(Nm: Word);
   CONST v = 14; w = v - 10;
   BEGIN
     E(0011); We(10, Nm, Nm, 5);
     E(0015); Write(Hauteur:v:w);
     E(0010); Write(Giron:v:w);
     E(0012); Write((Hauteur/Giron):v:6)
   END;

 PROCEDURE ZeroL(VAR L_: Tab_P);
   VAR k: Byte;
   BEGIN
     FOR k:= 1 TO NmaxM DO L_[k]:= P_00
   END;

 PROCEDURE Calc_T1(Nm: Word; h_, g_: Reel; VAR L_: Tab_P);
   VAR k: Word; Dt2, Rk, s, Z2: Reel;
   BEGIN
     ZeroL(Liste); L_[Nm].Theta:= Pi;
     FOR k:= (Nm - 1) DOWNTO 1 DO
       BEGIN
         Z2:= Sqr((k + 1) * h_); Rk:= Sqrt(Rs2 - Z2);
         Dt2:= 2 * (Rk + Lesc);  s:= ArcSin(g_ / Dt2);
         L_[k].Epsilon:= 2 * s;  L_[k].Theta:= L_[k + 1].Theta - 2 * s
       END
   END;

 PROCEDURE Enum_G2(Nm2: Word; Gini, Hm: Reel; VAR G_: Reel; VAR L_: Tab_P);
   CONST Delta = 0.0001;
   VAR Av, Aw, g, p, v, w: Reel;
   BEGIN
     g:= Gini; Calc_T1(Nm2, Hm, g, Liste); v:= L_[1].Theta;
     REPEAT
       IncR(g, Delta );   Calc_T1(Nm2, Hm, g, Liste); w:= L_[1].Theta;
       p:= v * w; IF (p>0) THEN v:= w
     UNTIL ((p<0) OR (g=Gini + 1));
     Av:= Abs(v); Aw:= Abs(w);
     IF (Av<Aw) THEN G_:= g - Delta
                ELSE G_:= g
   END;

 PROCEDURE Enum_G1(Nm1: Word; VAR H_: Reel; VAR L_: Tab_P);
   CONST Gmin = 60; Gmax = (2 * Lesc);
   VAR Eg: Word; Hm1, p, v, w: Reel;
   BEGIN
     Eg:= Gmin - 1;                Hm1:= Rsph / Nm1; H_:= Hm1;
     Calc_T1(Nm1, Hm1, Eg, Liste); v:= L_[1].Theta;
     REPEAT
       Inc(Eg);   Calc_T1(Nm1, Hm1, Eg, Liste); w:= L_[1].Theta;
       p:= v * w; IF (p>0) THEN v:= w
     UNTIL ((p<0) OR (Eg=Gmax));
     Enum_G2(Nm1, Eg - 1, Hauteur, Giron, Liste)
   END;

 PROCEDURE Aff_0;
   BEGIN
     E(1015); Wt(9, 3, 'Nombre      Hauteur');
     Write('       Giron         Pente')
   END;

 PROCEDURE Enum_N;
   VAR Nmarch: Word;
   BEGIN
     Aff_0;
     FOR Nmarch:= NminM TO NmaxM DO BEGIN
                                      Enum_G1(Nmarch, Hauteur, Liste);
                                      Aff_1(Nmarch)
                                    END;
     E(0015); Wt(60, (NmaxM + 2), 'Å'); A_
   END;

 BEGIN
   Enum_N
 END.          

Wiwaxia
15-06-2020 18:21:07
yoshi a écrit :

... Combien le Pascal te donne-t-il de décimales ?

Théoriquement 19 chiffres - soit autant que dans 263 - dans le cas des flottants au format Extended et des entiers Comp; il en affiche pratiquement 18.
C'est le seul type de réel que j'utilise, sauf exception rarissime très ciblée.
Cette précision tout à fait extravagante permet de m'assurer de la justesse des calculs  en réduisant leur éventuelle dérive à des seuils très faibles, les écarts relatifs ne dépassant pas  ~ 10-18; et aussi de contrôler la précision des limites résultant de calculs itératifs.

Je me suis initié à Python, et j'ai eu l'occasion de tester ses performances calculatoires. J'ai abandonné en partie à cause de la difficulté d'affichage correct des caractères.
De plus, ce qui m'intéressait était l'analyse numérique, la simulation des systèmes physiques et la synthèse des images; c'est pourquoi j'ai approfondi le Pascal.
Il m'est arrivé de l'associer à POV Ray, pour des images 3D relatives au problème de Tammes (là, j'ai pour une fois utilisé des flottants au format Single).

Libre Office est de très loin le meilleur logiciel de traitement de texte, et il est tout à fait adapté à la gestion des fichiers Word, Excell et apparentés. Je l'utilise parfois pour introduire des textes scientifiques sur des forums, lorsque les moyens typographiques disponibles sont inadaptés.
Peut-être pourrait-il te faciliter le travail.

Bon courage.

yoshi
15-06-2020 16:13:12

Re,


Grand merci.
Oui, Latex...
Et là, c'est simple, il suffit de taper \pi  de l'encadrer par le symbole dollar  et on obtient $\pi$

Combien le Pascal te donne-t-il de décimales ?
Moyennant l'importation préalable dans Python du module additionnel decimal et en fixant ensuite le nombre de décimales souhaitées je peux obtenir le nombre décimal à la précision souhaitée.
A titre indicatif et via la méthode de Heron pour le calcul de la racine carrée, j'ai déjà calculé le nombre d'or avec 20000 décimales...

Voilà $\sqrt{57}$ avec 2000  décimales :

Racine cherchée :
7.54983443527074969723668480694611705822219470462338013829862690571072195391781119558245207414752397258448054230351576624587835076493320005552481645498912354861730867449086980716167867795514509357249451721973235891159822968557539020277529280678622472752545650456581493334677879182457501954746527849100028553383290921866260392784901943722874810435555606078258191310162537446627541734189871838019545251300742510098207741146317010984171684404614753014022392236004976990488722721459580650344959273087560825423727282033663731344876154234674800546128724869609348322056088614444169769444104028842060682547727341210170055597758973329403506144448868340206173617929678583419528822968492187661199737827641118068425952836954441938454270610803645860140894649388886355752618802213284513153637434079458556650490098783671289377951714897929677022998269588609860785564232890989291797699162121447819482607224416750235238362087770072027758805142603836617083375918451820329982448687998229862936860531139437256673577696024679197769536857174177301783424379703692836536993415093199908882476712942839676492941441815194832323851615204620053963043099045098470426600185273667120881179756207826246642355571130039770654839600577837501002930926353936187540897868716115439591616494786483817754961878608917530589123715904818610310359932507869148448127401725926590730727963730881532111440086067557276087028667599952668588431621556639259668605113339213881638742653610791907561325841206821407010648036427968748270488154055552051100627126561099525066918888273728892869986590535390015169002120881334573972060820158667831862884939890484125700396506620011695116401984646390292100985026993337074067679617135165505321721758996613792044720167729220374343827327158156997581570142339041194786871936005355354610659138635467248132245302271487936594441631253113882630203386807492965730156477685714884132552431861963474839433109577515203672137788975708480910299367749398907647874206786388465534084549080915389413970581164258636112412197620594721489273

Nombre d'Itérations : 14
Effectuées en : 0.08400487899780273 s

Avant d'utiliser Heron, j'obtenais le même résultat avec l'algo de calcul d'une racine comme à la main (j'avais appris ça en 4e dans ma jeunesse) sans module spécifique, mais c'était bien plus lent..
L'autre avantage de Python est qu'un entier a une longueur limitée par la qté de RAM de la machine.

Je ne vais pas pouvoir essayer tout de suite parce que j'ai le routage d'une revue à faire, que ça me prend le chou et que la poste demande d'imprimer maintenant sur chaque étiquette non, seulement la date du dépôt de l'envoi, mais aussi la date de distribution maxi (dépôt +4).
L'imprimeur travaille en Word et les étiquettes sont faites via publipostage...
Insérer la date de dépôt, sur le docu maître, pas de pb, mais la date BDD...

Je vais tester en ajoutant un champ de fusion dans mon document Maître et voir si ça se propage sur les 160 étiquettes.
Si oui, il me faudra voir le lendemain à l'ouverture si la date s'est adaptée, et voir aussi une fois la fusion faite, si je peux me passer du fichier Excel...
Ce serait plus simple avec OpenOffice ou LibrOffice qui utilisent Python et non VBA....

@+

Wiwaxia
15-06-2020 14:37:06
yoshi a écrit :

[EDIT]J'ai simplement remplacé tous les symboles que je prenais pour n par π

Effectivement, c'est devenu nettement plus lisible - et le nouveau caractère vient encore de décamper.
Comment as-tu fait ? Insertion de Latex ?


yoshi a écrit :

... Je pense que notre ami, en espérant qu'il repasse ... / ... voudra probablement tracer le polygone inscrit

Si je comprends bien, il lui faudrait tracer les quadrilatères $M'_kM'_{k+1} E'_{k+1}E'_k$  pour k allant de 1 à  Nm, nombre de marches choisi ? ...

Le sujet m'a immédiatement intéressé par son aspect graphique, mais il me faudrait auparavant coder la recherche de la racine (g) avec une précision suffisante, 1 µm par exemple - il s'agit d'un encadrement numérique arbitraire, et non pas d'une précision physique.
On peut bien sûr court-circuiter ce détail par une interpolation linéaire manuelle.
En vue plongeante, chaque marche apparaît comme une sorte de trapèze isocèle (M'kF'kE'k+1M'k+1) dont la base la plus proche de l'axe vertical a été incurvée en arc de cercle de centre (O). On peut bien sûr choisir le tracé du segment (E'kE'k+1).

yoshi a écrit :

Tu peux montrer ton code que j'essaie sa traduction Python puis le tracé ?

Aucun problème, je peux poster le programme source rédigé ce matin, et qui contient le calcul de la somme des angles (θ1).

 PROGRAM Helice_Spherique;

(* un escalier m‚tallique,en deux dimension,de 550mm de large,
sur un réservoir sphérique d'un rayon de 3450 mm.
Le départ de l'escalier est au niveau de la méridienne(mileu de la sphère)
et il effectue un demi tour pour rejoindre le garde corps qui se situe au sommet du réservoir.
 Noter que la pente de l'escalier est constante

 USES Crt, E_Texte, U_Math, Math;

 CONST Rsph = 3450; Lesc = 550; NmaxM = 50; Nm = 30; Hm = Rsph / Nm;

 TYPE PaireR = RECORD  Theta, Epsilon: Reel  END;     // Paire de 2 nombres réels au format Extended
      Tab_P = ARRAY[1..NmaxM] OF PaireR;          // Tableau unidimensionnel de paires

 VAR g: Reel; Liste: Tab_P;

 PROCEDURE Calc_T1(VAR L_: Tab_P);     // Calcul de Theta[1] = Liste[1].Theta,
                                                        //normalement nul pour la valeur de (g) recherchée
   CONST Rs2 = Rsph * Rsph;            
   VAR k: Word; Dt2, Rk, s, Z2: Reel;
   BEGIN
     L_[Nm].Theta:= Pi;
     FOR k:= (Nm - 1) DOWNTO 1 DO     // sommation depuis la dernière valeur Theta[N] = Liste[N].Theta
       BEGIN
         Z2:= Sqr((k + 1) * Hm); Rk:= Sqrt(Rs2 - Z2);     // Z2: carré de l'altitude (z) ; Dt2: 2 * Distance totale à l'axe
         Dt2:= 2 * (Rk + Lesc);  s:= ArcSin(g / Dt2);
         L_[k].Epsilon:= 2 * s;  L_[k].Theta:= L_[k + 1].Theta - 2 * s
       END

   END;

 PROCEDURE Aff_GTheta1;     // Affichage préliminaire Wt(x, y, '****'): affichage d'un texte ou d'un caractère
   CONST v = 21; w = v - 3;     // E(code) couleur du texte, du fond / effacement de l'écran (code>999)
   VAR i: Byte; s: Reel;          // Code = <abcd>; b: couleur du fond (0 à 7) ; <cd>: couleur du texte (0 à 15)
   BEGIN
     g:= 274; E(1015); Wt(5, 3, 'Nombre de marches: Nm = ');
     E(0013); Write(Nm:3);
     E(0015); Write('   Hauteur des marches: H: = ');
     E(0013); Write(Hm:7:3); E(0015);
     FOR i:= 1 TO 20 DO BEGIN
                          IncR(g, 1);                  Calc_T1(Liste);
                          Wt(5, 5 + i, 'Giron g = ');  E(0010);
                          Write(g:9:4);                E(0015);
                          Write('     Theta[1] = ');
                          s:= Liste[1].Theta;
                          IF (s>0) THEN E(0011) ELSE E(0012);
                          Write(s:v:w);              E(0015)
                        END;
     Wt(70, 27, '+'); A_
   END;

 PROCEDURE ZeroL(VAR L_: Tab_P);     // Initialisation à zéro
   VAR k: Byte;
   BEGIN
     FOR k:= 1 TO NmaxM DO
       WITH L_[k] DO BEGIN
                       Theta:= 0; Epsilon:= 0
                     END
   END;

 BEGIN
   ZeroL(Liste); Aff_GTheta1;
 END.

yoshi
15-06-2020 13:27:08

Bonjour,

Clap, clap, clap !

Impressionnant...
Je pense que notre ami, en espérant qu'il repasse
1. le sera aussi
2. voudra probablement tracer le polygone inscrit

Si je comprends bien, il lui faudrait tracer les quadrilatères $M'_kM'_{k+1} E'_{k+1}E'_k$  pour k allant de 1 à  Nm, nombre de marches choisi ?
Tu peux montrer ton code que j'essaie sa traduction Python puis le tracé ?

@+

Wiwaxia
15-06-2020 12:31:40

Le comportement numérique de la fonction implicite g = F(N) paraît conforme aux prévisions:
N = 20 _ h = 172.5 mm _ g = 406 mm _ pe = 0.425
N = 25 _ h = 138.0 mm _ g = 335 mm _ pe = 0.412
N = 30 _ h = 115.0 mm _ g = 285 mm _ pe = 0.404
La pente correspondante est nettement plus faible.

N=20
N=25
N=30

Wiwaxia
15-06-2020 07:55:22

Reprenons les projections orthogonales (M'k, M'k+1, E'k, E'k+1) des points (Mk, Mk+1, Ek, Ek+1) sur le plan d’ordonnée nulle (xOy).
Les bords des deux marches consécutives de rang (k, k + 1) déterminent l’écart angulaire:

εk = θk+1 - θk .

                                 
Soit (F'k) le point de (OM'k) tel que les distances (O F'k, OE'k+1) soient égales; la base du triangle isocèle en (O) ainsi créé, à laquelle on impose la longueur (g), devient par convention le giron de la marche de rang (k).

Spirale sphérique

On obtient dans ces conditions:

g = 2.OE'k+1Sin(εk/2) = 2(L + rk+1)Sin(εk/2) = 2(L + (R2 - zk+12)1/2)Sin(θk+1 - θk) .

À ce stade, il suffit de convenir que les altitudes des marches successives sont en progression arithmétique

zk = R(k/N) = k.h , ce qui implique h = R/N ;

Les angles polaires θk = (Ox, OMk) sont déterminés de proche en proche depuis le bord de la dernière marche (θN = 180 °) par la relation de récurrence:

θk = θk+1 - εk , avec εk = 2.ArcSin(g/[2(L + rk+1)]) et rk+1 = (R2 - (k + 1)2h2)1/2 .

Une rotation de 180° séparant les bords des première et dernière marche, (θ1) est nécessairement nul. Le giron commun à toutes les marches vérifie par conséquent l'équation numérique:

0 = θN - εN-1 - εN-2 - ... - ε1 , soit encore: π = Σk=1N-1k) .

C'est là qu'apparaît l'inconvénient de cette démarche: la recherche d'une racine par voie purement numérique.

Merci de me signaler les erreurs.

Wiwaxia
14-06-2020 17:51:08

Il faut reprendre la première condition limite: une marche initiale de hauteur nulle entraîne un gaspillage de place dans la construction, et rehausse inutilement la pente compte tenu de la limitation imposée à la torsion de l'escalier - j'étais obnubilé par l'idée d'une hélice partant d'un point du demi-axe (Ox).
Le bord (M1E1) de la première marche se situe à la verticale de (Ox), au-dessus du plan équatorial (xOy) à une altitude (z1) positive;
les coordonnées du point (E1) le plus éloigné de l'axe vertical vérifient donc:

θ1 = 0 , φ1 < $\pi$/2 , x1 = R + L , y1 = 0 , z1 > 0 .

Une évaluation approximative du nombre de marches et de leur giron permet de tester la conformité anatomique des données de l'énoncé.

1°) Le nombre de marches est donné par le rapport N = R/h , ce qui , en reprenant les normes indiquées au message précédent (h ~ 17 à 21  cm) conduit au créneau:

[ N1 = 345/21 = 16.4 ~ 16 ; N2 = 345/17 = 20.3 ~ 20 ] .


2°) Soient d'autre part (E'1, E'2 ... E'N) les projections orthogonales des extrémités des marches (E1, E2 ... EN) sur le plan équatorial (xOy); elles définissent une ligne brisée constituée de (N - 1) segments consécutifs de longueur grossièrement de l'ordre de (g)(1), approximativement circonscrite par un demi-cercle de diamètre (R + 2L = 455 cm) et de longueur:

($\pi$/2)(R + 2L) ~ (N - 1)g ;

on peut en déduire une autre évaluation du nombre de marches: N = 1 + ($\pi$/2)(R + 2L)/g ,
soit en reprenant les valeurs extrêmes données pour le giron (g ~ 21 à 27 cm):

N3 = 1 + ($\pi$/2)(455/27) ~ 27 ; N4 = 1 + ($\pi$/2)(455/21) ~ 35 .

Cela amènera à envisager des marches moins hautes et plus larges, ce qui n'est pas dangereux:

h = R/N ~ 15 cm et g ~ 32 cm pour N = 23 (valeur moyenne).

La pente de l'escalier, à laquelle l'énoncé impose une valeur fixe, aura pour valeur approchée:

pe = h/g ~ (2/$\pi$)(R/(R + 2L)) ~ 0.50 ,

résultat nettement inférieur à celui que l'on peut déduire des normes: 19/27 = 0.70 .

(1) PS: À la réflexion, l'approximation devient énorme (~ 40%) dans la partie supérieure de l'escalier, mais elle ne concerne que les dernières marches et n'invalide pas le résultat sur les ordres de grandeur.
Il ne s'agit que d'une recherche préliminaire sur les caractéristiques de la construction.

[EDIT]J'ai simplement remplacé tous les symboles que je prenais pour n par $\pi$
Yoshi

yoshi
12-06-2020 07:43:25

Salut Wiwaxia,

J'ai découvert hier soir le sujet, et je crains, assez surpris, qu'on me prête beaucoup plus que je ne puis donner.

On ne prête qu'aux riches, c'est bien connu...
Et pour moi, tu as suffisamment montré ici pour qu'on (je) te prête beaucoup...
D'ailleurs, ne viens-tu pas de recadrer, recentrer la problématique ?

@+

Wiwaxia
12-06-2020 07:11:16

Bonjour,

J'ai découvert hier soir le sujet, et je crains, assez surpris, qu'on me prête beaucoup plus que je ne puis donner.

yoshi a écrit :

... Le Physicien Wiwaxia me semble être en mesure de te simplifier la vie.
Il passe assez régulièrement.
Je vais déplacer ce message pour qu'il y ait davantage de chance qu'il le voie et y réponde ...

Ceci dit, c'est intéressant. Je me demande si l'impasse de la discussion ne vient pas de l'ambiguïté du mot "pente", qui représente:
a) une grandeur locale pour toute courbe tracée sur la sphère et définissable à partir du vecteur unitaire tangent (T), soit en convenant de prendre (xOy) pour plan horizontal:

p = tan(α) , avec sin(α)= Tz/║T║ = Tz ;

b) le rapport pe = h/g de la hauteur des marches (supposée constante) à leur profondeur (dénommée "giron"), définition floue en l'absence de toute autre précision, compte tenu du non-parallélisme des bords des marches.

Si l'assimilation des deux termes paraît aller de soi pour une surface cylindrique, elle semble beaucoup plus problématique dans le cas d'une sphère. il est donc prudent de s'en tenir à la seconde définition, d'autant que la présence de marches d'escalier de même hauteur suggère un découpage de l'axe vertical (z'z) en segments égaux de longueur (h).

On suppose donc la sphère centrée en (O), dotée d'un rayon R = 3450 mm , et les coordonnées de tout point (M) de cette surface représentées par les équations:

x = R.Sin(φ)Cos(θ) , y = R.Sin(φ)Sin(θ) , z = RCos(φ) ;

celles de la projection (H) du point précédent sur l'axe vertical (z'z): x = y = 0 , z = RCos(φ) ;
les deux points sont ainsi séparés par la distance: r = HM = RSin(φ) = (R2 - z2)1/2 .

Le bord de toute marche est un segment (ME) de longueur (L = 550 mm) aligné avec (H); l'extrémité extérieure (E) admet pour coordonnées:

x = (r + L)Cos(θ) , y = (r + L)Sin(θ) , z = RCos(φ) .

Imaginons une vue de dessus de l'escalier ascendant, le bord de la marche de rang nul (au niveau du sol) coïncidant avec la partie positive de l'axe (x'x); on a dans ce cas pour le point (E0), qui se trouve au niveau de l'équateur;

θ0 = 0 , φ0 = π/2 ,  x0 = R + L , y0 = z0 = 0 ;

On arrive au plateau supérieur (zN = R) après avoir gravi (N) marches et accompli un demi-tour (θN = π); le point extérieur (EN) a désormais pour coordonnées:

φN = 0 , xN = - L , yN = 0 , zN = R ;

cette position est purement théorique, parce que le bord de la dernière marche se confond avec celui du plateau supérieur, où se trouve le garde; le point (EN) peut se situer nettement plus loin de l'axe vertical (x0 < - L), ce qui ne sera pas forcément inutile compte tenu de ce que le décalage radial d'une marche sur sa voisine est maximal au pôle.

Pour résumer, le bord externe de la marche de rang (k) aura pour coordonnées:

xk = (rk + L)Cos(θk) , yk = (rk + L)Sin(θk) , zk = RCos(φk) ,
avec rk = RSin(φk) = (R2 - zk2)1/2 .

Voilà un point de départ pour la construction de l'escalier, défini par une séquence de (N + 1) termes.
Résultats à vérifier.
La seule issue que je vois est un calcul programmé assez lourd, dont le principe repose sur la définition du giron.
Je poursuis dès que possible.

À titre indicatif, je vous signale les normes de sécurité concernant les marches d'escalier - quoiqu'on puisse s'en affranchir en partie dans le cas de militaires entraînés aux parcours sportifs:
Les dimensions classiques d’un escalier sont les suivantes :

    Hauteur de marches : entre 17 et 21 cm
    Giron de marche : entre 21 et  27 cm

https://www.camif-habitat.fr/reglementa … er-normes/

yoshi
11-06-2020 15:40:19

Il y a encore ça : https://www.geogebra.org/m/W9mHzcUJ mais aucune explication sur le tracé. Dommage...
Et clélie ramène vite sur mathcurve...

Sur ton dessin, la spirale devrait être du type logarithmique.
Ainsi que je te l'avais déjà suggéré, sauf si la précision de ton tracé en 3D doit être maximale, pour des valeurs approchées acceptables, je pense que tu devrais t'intéresser à une méthode de cartographie du globe terrestre comme par exemple ici :
UNE projection azimutale qui transforme les parallèles en cercles concentriques et les demi-méridiens en rayons.
En se plaçant n'importe où sur l'équateur, on trace alors une spirale logarithmique qui passe par le centre (pôle)en un demi-tour...

Je ne peux guère faire mieux, cette histoire de clélie dépasse mes compétences (et si j'en crois le nombre d'intervenants, peu de monde est capable de répondre)

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