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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- mdeboute
- 18-05-2020 16:34:35
Merci ! En effet l'argument du coefficient constant de f où 0 est racine de f - c est assez astucieux et concluant !
- Maenwe
- 18-05-2020 16:24:48
Bonjour,
il faut que tu vois $Y$ comme un élément de R dans un premier temps, comme si $f$ n'avait qu'une variable, et là c'est plutôt simple, tu notes $c$ ($f(0) = c$) le coefficient constant de $f$ et 0 est racine de $f-c$, donc cela conclut.
Maintenant tu as deux manière de le faire, soit la manière directe, où tu exprimes $f$ clairement ($f(X,Y) = \sum\limits_{0 \leq i,j \leq n} a_{i,j} X^i Y^j$), soit la manière indirecte en posant $R(X) = f(X,Y)$ comme polynôme à coefficients dans $R[Y]$.
- mdeboute
- 18-05-2020 15:59:33
Bonjour, n'ayant trouvé une démonstration rigoureuse, je viens vous poser la question ici. Comment justifier que pour tout f dans R[X,Y], la factorisation de f s'écrit f = h(Y)+X·g(X,Y), pour un polynôme h à une indéterminée à coefficients réels et pour un g(X,Y) dans R[X,Y] ?
Merci d'avance pour vos retours :)
(PS : je me sers de ce résultat pour montrer qu'un certain idéal de cet anneau est engendré par X mais j'aimerai montrer ce résultat rigoureusement.)