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Zebulor
01-01-2020 13:31:22

Bonjour , bonne année avec plein de découvertes mathématiques !

yannD
01-01-2020 13:25:02

Bonjour, je vous souhaite une Bonne et Heureuse année !!
Merci beaucoup pour l'aide qui me permet de progresser
et pour répondre au  # 295 : j'ai compris ce que tu as écris et tu peux me proposer des exemples à traiter...

Zebulor
26-12-2019 20:38:21

Merci Yoshi d’avoir complété, précisé ma pensée. C est exactement ce que j’ai voulu dire et ça résume où nous en sommes.
Dans mon post 293 il manquait quelque chose, ce qui a logiquement fait décrocher puis partir en vrille notre ami Yann dans son avion en chocolat, ce que Yoshi a pu constater depuis sa tour de contrôle.
Tiens voilà une idée de signature éventuelle..à voir entre speedy gonzales (Génial ce dessin animé avec cette souris..) ou Tournicotons.

Et pour y rajouter mon grain de.,, et non cette fois ci mes graines de pépites au chocolat :

yannD a écrit :

$p+q$ est l'indice du dernier terme de la suite.
il y a donc $(p+q) - (p-1) \Leftrightarrow p+q - p + 1 = q+1$

@Yann : par exemple : p+q - p + 1 = q+1 ceci est correct.
Mais ceci $(p+q) - (p-1) \Leftrightarrow p+q - p + 1$ n a pas de sens. Il faut aussi un signe =

PS : a mon humble avis.pour s initier au raisonnement par récurrence, pour plus tard je suggère aussi cet exemple simple suivant, qui s ajoute à celui de Yoshi du post #295

yoshi a écrit :

De $a_p$ à $a_{p+q}$ (peu importe p) : (p+q-p)+1 =q+1
Ça peut se prouver.... par récurrence (sur q) en partant de p quelconque...
@+

PS: il me vient un songe. Yann semble se dire : on a pas démontré par récurrence qu il y a $n$ termes de $a_1$ à $a_n$. Alors pourquoi faut il maintenant démontrer par récurrence la propriété  $P(n)$ : $u_n=u_0+n*r$ pour une suite arithmétique.

yoshi
26-12-2019 20:32:32

Salut,

Si je comprends bien ce qu'il a voulu dire.
Il a dit qu'une certaine propriété P est vraie au rang n ( P(n) vraie)
On veut montrer que si cette propriété est vraie au rang n, elle est vraie aussi au rang n+1 (P(n+1) vraie) donc que
P(n) vraie $\Rightarrow$ P(n+1) vraie...

Et qu'on peut transposer cela en termes d'égalité
Une égalité est une proposition mathématique vraie, par ex : 4 = 3+1...
Et en termes d'égalité
$E_n \Rightarrow E{n+1}$
qui peut se lire
L'égalité $E_n$ implique (entraîne) l'égalité $E_{n+1}$

Dans ton DM
E1, c'était $u_1=u_0+r$
E2, c'était $u_2=u_0+2r$
Et tu as bien montré que $u_1=u_0+r\Rightarrow u_2=u_0+2r$, c'est à dire que $E_1\Rightarrow E_2$

@+

[EDIT] Grillé... On devrait l'appeler Speedy Gonzalès (allusion à un dessin animé de ma jeunesse) et non Zebulor

Zebulor
26-12-2019 20:28:59

Re,

yoshi a écrit :

Bonsoir

Dans une égalité, il y a un signe égal.
Dans
$P(n)\Rightarrow P(n+1)$
il n'y a pas de signe égal...

Salut à Yoshi que je mets au chômage partiel !
@Yann :
Exemple de propositions : $P(1) : x=2$ et $P(2) : x+4=6$ telles que $P(1)\Rightarrow P(2)$

yannD a écrit :

et moi, dans ma petite tête , j'essaie de voir ce qu'est E1,
j'ai compris que E1 c'est P(n)=>P(n+1)
ce n'est pas ça

$E_2 \Rightarrow E_2$ n est que la retranscription "en termes d'égalité" (cf yoshi ci dessous) de l’implication :
$P(1) \Rightarrow P(2)$

Ce sont deux écritures différentes d une seule implication logique.

yannD
26-12-2019 20:08:10

Bonsoir Yoshi, je sais pas mais il me dit que l'implication P(n) => P(n+1) se traduit une autre implication E1=>E2
et moi, dans ma petite tête , j'essaie de voir ce qu'est E1,
j'ai compris que E1 c'est P(n)=>P(n+1)
ce n'est pas ça

yoshi
26-12-2019 19:45:19

Bonsoir,

Dans une égalité, il y a un signe égal.
Dans

$P(n)\Rightarrow P(n+1)$

il n'y a pas de signe égal...
Zebulor va se faire un devoir de te remettre sur les rails...

Pour ce qui suit, il dirait qu'il veut apporter son grain de sel...
Yann, moi, je veux seulement apporter ma pierre à l'édifice, sous forme de deux exemples qu'on a déjà traité ensemble, mais autrement.
C'est bien de chercher à comprendre : apprendre par cœur une recette de cuisine, c'est pas enthousiasmant (et c'est même "dangereux"). Pourtant, c'est bien comme ça comme on m'a appris les maths et souvent, je comprenais le pourquoi un an, deux ans après...
Et je me disais : pourquoi ne me l'a-t-on pas dit ? Ça m'aurait simplifié la tâche !
Une fois passé de l'autre côté du bureau, je m'étais bien promis de ne jamais travailler de cette façon. Le "c'est comme ça, point-barre !" en guise d'explication ne doit plus être d'actualité...

Yann : à ne lire que lorsque tu auras fini de digérer le chocolat  de Zebulor

La démonstration par récurrence, c'est un peu surprenant, voire déroutant au début, mais on s'y fait, et quand le sujet s'y prête, c'est bien pratique...
Qq exemples
1. La somme des n premiers termes de la suite des nombres entiers est $S=\dfrac{n(n+1)}{2}$
On peut démontrer ça comme on l'a déjà fait au début :
- en écrivant deux fois la somme,
- en appliquant la formule de calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique...

Mais aussi par récurrence :
- On vérifie la propriété pour des valeurs simples de n
   $S_2=\dfrac{2(2+1)}{2}= 3$  qui est bien égal à 1+2 =3
   $S_3=\dfrac{3(3+1)}{2}= 6$  qui est bien égal à 1+2+3 =6
   $S_4=\dfrac{4(4+1)}{2}= 10$  qui est bien égal à 1+2+3+4 = 10

- On suppose (ou on admet) que la propriété est vraie pour n : $S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$
  Et on vérifie l'héritage, c'est à dire qu'elle est vraie pour n+1..
  A quoi doit-on s'attendre ?
  Réponse : à  $S_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$
  Démonstration :
  $S_{n+1}=S_n +(n+1)=\dfrac{n(n+1)}{2}+(n+1)$
  D'où
  $S_{n+1}=\dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{2(n+1)}{2}$
  $\iff$
  $S_{n+1}=\dfrac{n(n+1)+2(n+1)}{2}$
  $\iff$
(on met (n+1) en facteur )
$S_{n+1}=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

2. La somme des n premiers termes de la suite des nombres impairs est $S=n^2$
On peut démontrer ça comme on l'a déjà fait au début :
- en écrivant deux fois la somme,
- en appliquant la formule de calcul de la somme des termes d'une suite arithmétique...

Mais aussi par récurrence :
- On vérifie la propriété pour des valeurs simples de n
   $S_2= 2^2 =4$  qui est bien égal à 1+3 = 4
   $S_3=3^2 =9$  qui est bien égal à 1+3+5 = 9
   $S_4=4^2= 16$  qui est bien égal 1+3+5+7 = 16

- On suppose (ou on admet) que la propriété est vraie pour n : $S_n=n^2$
  Et on vérifie l'héritage, c'est à dire qu'elle est vraie pour n+1..
  A quoi doit-on s'attendre ?
  Réponse : à $S_{n+1}=(n+1)^2$
  Démonstration :
  J'ai besoin de savoir quel est le n+1 ième nombre impair, donc pour cela connaître l'écriture du n_ième nombre impair...
  Ce n_ième nombre impair s'écrit 2n-1, son suivant est donc 2n-1+2 = 2n+1
  $S_{n+1}=S_n+2n+1$
  $\iff$
  $S_{n+1}=n^2+2n+1$
  $\iff$
  $S_{n+1}=(n+1)^2$

Le moment venu lorsque tu auras compris ce que j'ai écrit, on pourra te proposer des exemples à traiter toi-même...

@+

yannD
26-12-2019 19:30:18

P(n)=>P(n+1) : c'est l'égalité E1 ??

Zebulor
26-12-2019 19:21:45

Voilà . Et cette implication se traduit par :
Su une égalité E1 est vraie alors l égalité E2 est vraie : E1 => E2

yannD
26-12-2019 19:15:47

Si c'est du chocolat Light, il pourra peut-être voler ....
Pour le DM, on a P(1), P(2) et P(3) vraie
et on cherche P(n)=>P(n+1)

Zebulor
26-12-2019 19:01:01

La dernière version me semble plus précise. La récurrence est une notion délicate, une affaire de logique avec les implications.
De toute façon n hésites pas si tu as des questions. Une fois que tu auras compris le principe de la récurrence, le reste de ton Dm est simple par rapport à ce qu on a déjà fait.
PS : l’avion de chasse est en chocolat.

yannD
26-12-2019 18:47:49

je fais faire le max pour comprendre le 287 !!!!!!

Zebulor
26-12-2019 18:24:09

Bonsoir Yann...il est peut être un peu long ce post, je l ai retravaillé, reecris’, mais je voulais t offrir des dominos pour Noël. L’avion de chasse est fourni gratuitement sous réserve d’avoir bien compris mon post 287.

yannD
26-12-2019 18:10:17

Bonjour Zebulor, je suis en train de travailler avec ton premier post 287, c'est à dire celui d'hier soir que j'ai gardé à l'écran..
merci pour les dominos et les piquets... L'avion de chasse ?? c'est pas possible ??

Zebulor
25-12-2019 21:29:46

Re,
PS : j’ai complété le post 282. Partiellement redondant avec le 285 mais ce n’est pas grave.

yannD a écrit :

P(n) est vraie parce que P(1), P(2) et P(3) sont vérifiés, c'est ça ?

Surtout pas : on ne sait pas si P(n) est vraie pour n’importe quel entier. C est ce qu’on veut démontrer. Par exemple as tu démontré que : $u_{345}=u_0+345*r$ ?
J’appelle P(n) : pour $n$ entière la propriété suivante :
u$_n$=$u_0$+n*r.  C’est exprès que je mets le $n$ en rouge.

En remplaçant n par 1, 2 et 3 tu es d’accord que tu as bien démontré que P(1); P(2) et P(3) sont vraies. Ok?

Je tente de t’expliquer le principe de la récurrence . C'est la difficulté de ton Dm. Le calcul, très très simple, viendra après.

Imagine une rangée de dominos placés debout très près les uns des autres.
https://m.youtube.com/watch?v=_lEmDtl45KU
Cette rangée est comme une demi droite : elle commence par un domino $u_1$ mais n’a pas de fin comme l’ensemble des entiers. Le premier domino $u_1$ tombe (c est P(1) vraie ) sur le deuxième qui tombe à son tour : (P{2) vraie) sur le troisième, lequel tombe  : P(3) vraie: c’est ce que tu as démontré jusque ici par analogie avec les trois premiers termes de la suite.

Comment montrer que tous les dominos vont tomber ? Par analogie comment démontrer que P(n) est vraie pour tout entier?
On suppose, on admet (comme l 'écrit Yoshi), on émet l’hypothèse qu un domino quelconque $u_n$ tombe à partir d un indice $n$, n importe lequel (de façon analogue on admet P(n) vraie). On veut alors démontrer que son suivant $u_{n+1}$ d indice $n+1$ tombe aussi : soit P(n+1) vraie.
D ou : P(n)=>P(n+1). Si on parvient à faire cette démonstration ..simplissime ! alors on peut en déduire que tous les dominos a partir de l’indice $n$ tombent, jusqu’à l’infini, en cascade. C est le point délicat à comprendre.

Pourquoi ?
P(n) => P(n+1) => P(n+2)...
Parce que si c’est vrai pour un certain rang ( ou indice ) $p$ quelconque ça l est aussi pour le rang suivant.
Logiquement si c est vrai pour ce rang suivant -et c est le cas car c est la conclusion précédente-, alors c est vrai pour le rang suivant de ce rang suivant. Etc..

On admet P(p) vraie. On conclut : P(p+1);P(p+2)..P(p+3).....etc vraies.

En résumé le raisonnement par récurrence consiste à dire :
• les dominos $u_1$ et $u_2$ sont tombes.
Le domino $u_3$ est tombé. Tu as aussi démontré P(3) vraie et  c est l’amorce de la récurrence. : P(3) est vraie. Je n admets pas que P(3) est vrai, je sais qu’il est vrai : c’est une certitude et non une supposition.

• Que si un domino quelconque tombe alors son suivant aussi :
P(n) => P(n+1). J applique cette implication pour n=3. Je pourrai le faire pour n=1 et 2 mais je sais déjà que P(1) et P(2) sont vraies donc c’est inutile. Ça donne dans  le détail :
si P(3) est vraie alors P(4) est vrai. Or P(3) est vraie donc P(4) est vraie.
Si P(4) est vraie alors P(5)  est vrai. or P(4)  est vraie donc P(5) est vraie.
Et ça ne s’arrête pas.


• Conclusion : P(3) vraie entraîne P(n) vraie pour tout entier supérieur ou égal à 4.
Or P(1) et P(2) sont vrais.
P(n) est vrai pour tout $n$ : tous les dominos tombent donc à partir du premier domino $u_1$
De manière analogue : $u_n=u_0+n*r$ pour tout entier.

j imagine que tu auras des questions. Reste la mise en oeuvre, assez rapide à faire.
Pour les fêtes Yoshi t’a apporté des piquets’ et moi des dominos !!
A bientôt

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