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freddy
10-09-2019 08:15:45

Salut,

c'est l'équation du cercle de centre l'origine et rayon a >0.
L'équation générale du cercle  de centre $(x_0,y_0)$ et de rayon $r > 0$ est $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2$

Maenwe
09-09-2019 20:33:12

Re-bonsoir !

@Yann, ici $a$ est un nombre que l'on fixe au préalable (il doit être strictement positif pour l'équation ci-après, parce que diviser par zéro c'est pas bien, enfin, ça n'a surtout pas de sens mathématiques), chercher les solutions de $\frac{x^{2}+y^{2}}{a^{2}}=1$ c'est chercher l'ensemble des points $P = (x,y)$ dont les coordonnées respectent l'équation précédente. Et il se trouve que l'ensemble des solutions (comme je l'ais expliqué au post #6) forme un cercle dans le plan. Ça c'est le point de vu géométrique, un point de vue plus analytique serait de dire que l'on cherche l'ensemble des valeur $x$ et $y$ qui respectent l'équation ci-dessus.

Zebulor
09-09-2019 19:43:22

Bonsoir Yann,

yoshi a écrit :

$\dfrac{x^2+y^2}{a^2}=1$  ou   $\dfrac{x^2+y^2}{b^2}=1$

En effet [tex]a^2[/tex] ou [tex]b^2[/tex] ne doivent jamais être nul .. ce qui équivaut à [tex]a \ne 0[/tex] ou [tex]b \ne 0[/tex]
Et si [tex]a[/tex] était nul, il ne se passerait pas grand chose géométriquement... parce que $x^2+y^2=a^2$ reviendrait à $x^2+y^2=0$, soit [tex]x=y=0[/tex]

Pour tout [tex]a[/tex] non nul et positif, $x^2+y^2=a^2$ $<=>$ $\dfrac{x^2 + y ^2}{a^2} = 1 $....j'ajoute "et positif" car [tex]a[/tex] représente une distance géométriquement..


yannD a écrit :

... je dois donc chercher les solutions  de  $\dfrac{x^2 + y ^2}{a^2} = 1 $ dans le domaine de définition : $D_f = ]-\infty ; 0]\,\cup\, ] 0; + \infty [$

2 questions me viennent à l'esprit :

A quelle fonction [tex]f[/tex] penses tu ? Et une autre question sous jacente:

le graphe d'un cercle complet peut il être celui d'une fonction ?

yannD
09-09-2019 18:02:16

$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{a^2} = 1$

$<=>$

$\dfrac{x^2 + y^2}{a^2} = 1 $


$a^2$ ne devant jamais être nul, je dois donc chercher les solutions  de  $\dfrac{x^2 + y ^2}{a^2} = 1 $ dans le domaine de définition : $D_f = ]-\infty ; 0]\,\cup\, ] 0; + \infty [$

yannD
09-09-2019 17:41:18

Oui, si a /b  = 1 , c'est b ≠ 0 donc c'est chercher les solutions dans $D_f = ]-\infty; 0[\, \cup\, ]0; + \infty[$

yoshi
09-09-2019 17:26:36

Re,

Bien sûr tu peux écrire au choix (pourquoi non ?) :
$\dfrac{x^2+y^2}{a^2}=1$  ou   $\dfrac{x^2+y^2}{b^2}=1$
Je prends le 1er cas et je multiplie les deux membres par $a^2$ (car bien sûr , il n'est pas question que a ou b soient égaux à 0) et j'arrive à :
$x^2+y^2=a^2$ qui est l'équation du cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon a.

Va voir GeoGebra
Tape O=(0,0)
puis $x^2+y^2=9$ et tu verras...

Alors les coniques avaient déjà disparu des programmes de Maths 2019 Simple  + enseignement de spécialité Maths, alors, ils n'existent plus non plus dans les programmes de Terminale avec option Maths (la Ts n'existe plus !).

@+

yannD
09-09-2019 17:09:39

arrivé là, j'aimerais savoir si je peux mettre sous la forme d'une seul et meme fraction puisque j'ai $a^2$ pour les 2 fractions

yannD
09-09-2019 17:06:09

Bonsoir Maenwe, j'ai lu le # 6, peux-tu me dire si je peux écrire ça :

je pars de  : $\dfrac{x^{2}}{a^2} + \dfrac{y^{2}}{b^2} = 1.$

Si $a = b$

$\dfrac{x^{2}}{a^2} + \dfrac{y^{2}}{a^2} = 1$       ou   $\dfrac{x^2}{b^2} + \dfrac{y^{2}}{b^2} = 1 $

Zebulor
09-09-2019 16:08:15

re,
@YannD : les coniques sont au programme de certaines préparations internes aux concours d'ingénieurs dans la fonction publique...

freddy
09-09-2019 15:47:04

Re,

@yannD :l'orbite de la terre est une ellipse dont le soleil est un des foyers !!!

Maenwe
09-09-2019 14:12:12

@freddy oui je suis bien jeune ^^ Je sors de prépa, et je suis en L3 de mathématiques, et je n'ai pas vraiment étudié de géométrie jusque là, à part peut-être au collège, les programmes se concentrent maintenant bien plus sur l'analyse, l'algèbre, et un peu de probabilité...

freddy
09-09-2019 14:02:52
Maenwe a écrit :

Salut !

L'ellipse est décrit par cette équation : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = k^{2}$, ce qui veut dire quoi ?
Eh bien prenons un point $P= (x,y)$, et une ellipse de centre $C = (a,b)$ et de rayon $k$, alors P est un point de cette ellipse si et seulement si $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = k^{2}$.

Au passage, au lycée (ni en école préparatoire d'ailleurs !) on ne voit pas les coniques (à part peut être le cercle), et assez peu d'éléments de géométrie d'ailleurs.

En effet, $k=1$ , j'avais oublié et suis allé trop vite.
En revanche, tu dois être bien jeune pour soutenir que les coniques n'étaient étudiées ni en terminale, ni en sup. Pour moi, il y a plus de 45 ans, c'était bien au pgm des classes terminale scientifiques.

Avant d'affirmer, écoute les anciens !

PS  : conique = ellipse, parabole ou hyperbole. L'aventure commence par l'équation générale $ax^2+by^2+cx+dy+e=0$

Zebulor
09-09-2019 13:54:59

Bonjour,
@Yann : une ellipse a deux foyers, et comme l'écrit Maenwe, le cercle est un cas particulier de l'ellipse où les deux foyers sont confondus en un point qui n'est autre que le centre du cercle...
A partir de 2 clous fixés et sol reliés par une ficelle assez longue tu peux tracer une ellipse... comme le font les jardiniers paraît il... en utilisant la propriété que si [tex]M[/tex] est un point quelconque de l'ellipse, [tex]F_1[/tex] et [tex]F_2[/tex] ses 2 foyers, alors [tex]MF_1+MF_2=2a[/tex]....tout un programme..
Au passage : pour le cercle [tex]F_1=F_2=F[/tex] donne bien [tex]MF=a[/tex] équation du cercle de centre F de rayon MF=a
C'était au programme de terminale C ou 1ere S d'après mes souvenirs au moins après 1985....

Maenwe
09-09-2019 13:33:38

Oh pardon ! J'ai fais une grosse erreur... (a,b) ne correspond pas au centre de l'ellipse, désolé c'est une grosse inattention de ma part.

D'ailleurs si je ne me trompe pas @freddy a fait une erreur, l'équation pour une ellipse est plutôt : $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$.
Et si $a=b$, on a bien l'équation d'un cercle,qui peut s'exprimer de cette manière aussi (et se comprend mieux ainsi) :
$x^{2}+y^{2}=a^{2} \iff \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} = 1$ avec $a$ le rayon du cercle.
Pour l'équation du cercle je peux t'expliquer d'où elle vient (mais pas celle de l'ellipse malheureusement) :
Prend un cercle de centre $(0,0)$ de rayon $a$ et un point P = (x,y) .

Tout d'abord comment mesure t'on la distance entre un point du plan et $(0,0)$ ? (on note $OP$ cette distance)
En utilisant Pythagore ! En effet, le triangle (OXY) (où $O = (0,0)$, $X = (x,0)$ et $Y = (0,y)$) est rectangle en $X$, et on remarque qu'en fait la distance $d$ est l’hypoténuse de ce triangle, donc en appliquant le théorème de Pythagore tu as :
$OP=\sqrt{OX^{2}+OY^{2}} = \sqrt{x^{2}+y^{2}}$ ou, ce qui revient au même car nécessairement $OP$ est positif,
$OP^{2} = x^{2}+y^{2}$ .

Maintenant pour continuer il faut savoir ce qu'est un cercle. C'est l'ensemble des points (du plan) se trouvant tous à la même distance (distance appelé rayon) du centre. Donc le point P se trouve sur le cercle de centre $(0,0)$
et de rayon $a$ si et seulement si $OP = a$ autrement dit : $a^{2} = OP^{2} = x^{2}+y^{2}$.

Si il y a quelque chose que tu ne comprends pas, n'hésites pas à demander !

yannD
09-09-2019 13:23:11

Bonjour Maenwe, une Ellipse a donc 2 centres , un cercle de centre $a$   e t  un cercle de centre $b$

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