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freddy
10-08-2019 20:12:18
yoshi a écrit :

Salut freddy,

PS : je vais regarder ce qu'a fait yoshi, je manque un peu d'énergie pour le faire tout seul.

Et dis-moi si t'es d'accord et si tu vois plus simple, plus court (j'me connais trop !)...

@+

@yoshi,
je t'ai lu d'un jet, c'est limpide, simple et efficace, ne change rien :-)

yoshi
10-08-2019 14:25:49

Salut freddy,

PS : je vais regarder ce qu'a fait yoshi, je manque un peu d'énergie pour le faire tout seul.

Et dis-moi si t'es d'accord et si tu vois plus simple, plus court (j'me connais trop !)...

@+

freddy
10-08-2019 11:12:51

Re,

pour la 13, je suis d'accord, j'ai eu la flemme de chercher à convertir en exponentielle complexe les deux autres solutions données en puissance fractionnaire de $i^2$, genre $(-1)^{\frac{1}{3}}$ et $-(-1)^{\frac{2}{3}}$

Après, j'aurais dû aussi modifier le polynôme d'origine en $(z+i)((z-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4})$ ce qui donne immédiatement les deux autres racines que tu as trouvées. Tu vois, la paresse est très mauvaise conseillère :-) ! (je suis un peu fatigué et donc distrait).

PS : je vais regarder ce qu'a fait yoshi, je manque un peu d'énergie pour le faire tout seul.

freddy
10-08-2019 09:16:14

Salut,

c'est une loi binomiale de paramètre $n=100$ et $p=0,1$.
Et la proba d'avoir $0 \leq k \leq 100$ défauts est égale, par définition, à $\binom{100}{k}(0,1)^k(0,9)^{100-k}$
On you !

PS : répondre sans faire de calcul suppose de connaître quelques propriétés de cette loi, en particulier sa distribution de probabilité autour de son espérance mathématique qui, ici, est égale à $100\times 0,1 \times 0,9 = 9$

oboskobo
09-08-2019 23:44:21

Merci les gars pour votre aide,

pour la question 5
comment calculer la proba de tirer 20 pièces en défauts et celle de tirer 15 pièces en défauts.
moi j'ai répondu D. par logique mais bon par le calcul se serait mieux.

freddy
09-08-2019 20:50:10

Re,

Oui, oui, $a=-50$, je suis allé trop vite, je l'ai fait de tête, pardon !
et donc, c'est bien A et B pour la 20 et la 21 !

yoshi
09-08-2019 18:22:32

Salut,

Rageant...
J'ai laissé en plan ma réponse pour traiter autre chose (bon, ça a pris du temps, et je ne tape pas vite  en plus), je reviens et paf : le document a expiré (le pôvre ^_^)
Je vais essayer de reprendre ... en moins détaillé

Q9
Idée bien plus simple...
Il m'est revenu en mémoire mes cours de géométrie dans l'espace (des vrais, hein, pas l'ersatz servi aujourd'hui) d'il y a au moins 50 berges...) et ce théorème :
Si une droite est perpendiculaire à un plan, elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
Et je remplace droite par vecteur.
Je note [tex]\overrightarrow{V_1}(9\,;\,-1\,;\,3)[/tex]  et [tex]\overrightarrow{V_2}(-10\,;\,1\,;\,-3)[/tex]
Je vais donc tester l'orthogonalité de chacun de ces 2 vecteurs avec les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}(1\,;\,-2\,;\,-4)[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}(1\,;\,1\,;\,-3)[/tex] via leurs produits scalaire...
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{V_1}=9+2-12=-1\neq 0[/tex] non.
Inutile de continuer le test avec $\overrightarrow{AC}$

[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{V_2}=-10-2+12=0[/tex] oui
Nouveau test :
[tex]\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{V_2}=-10+1+9=0[/tex] oui
Réponse B correcte.

C. un système d'équations paramétriques de la droite (AB) est-il : 1-t ; 1-2t ; 4+4t ?
Je vais voir s'il existe une valeur de t pour laquelle on obtient des coordonnées qui soient celles de A, puis B...
Ce serait le + rapide et le + simple
t=0 donne (1 ; 1 ; 4) coordonnées de A.
t=-1 donne (2 ; 3 ; 0) ça ne colle pas, B n'est pas sur la droite d'équation paramétrique 1-t ; 1-2t ; 4+4t. Cette droite n'est pas (AB).

D. un système d'équations paramétriques de la droite (BC) est-il : 2 ; -1 + 3t ; t  .
Si  t = 0 , on obtient (2 ; -1 ; 0) coordonnées de B.
Si  t = 1, on obtient (2 ; 2 ;  1) coordonnées de C.
Réponse D correcte.

Q10.
On va travailler basiquement et vérifier si les coordonnées de A, B et C vérifient les équations proposées.
L'équation cartésienne du plan (ABC) est-elle  :
A. 10x + y + 3z = 21 ?
A(1 ; 1 ; 4) --> [tex]10+1+12 =23 \neq 21[/tex] Non...
Inutile de continuer

B. 10x - y + 3z = 0 ?
A(1 ; 1 ; 4) --> [tex]10-1+12 =21 \neq 0[/tex] Non...
Inutile de continuer

C. 10x - y + 3z = 21
A(1 ; 1 ; 4)  -->  [tex]10-1+12 = 21 [/tex] oui...
B(2 ; -1 ; 0) -->  [tex]20+1+0 = 21[/tex] oui...
C(2 ; 2 ; 1)  -->   [tex]20-2+3 = 21[/tex] oui
Réponse correcte

N-B
Un vecteur normal au plan (ABC) étant [tex]\overrightarrow{V_2}(-10\,;\,1\,;\,-3)[/tex], l'équation cartésienne du plan est de la forme :

$-10x+y-3z+d=0$ ou encore $10x-y+3z-d=0$ ou enfin $10x-y+3z=d$
Calculons d en écrivant que B en écrivant que les coordonnées de B (le moins de calculs, j'assume ma fainéantise !) vérifient l'équation du plan :
20 +1+0=d
L'équation est bien $10x-y+3z=21$

D. -10x - y + 3z = 0 ?
Non, inutile de chercher.

Q11
On considère la droite (D1) d'équation paramétrique : t ; 1-3t ; 1+2t avec t appartient à R
J'ai cherché à économiser le boulot...
Les propositions :
B.(D1) est perpendiculaire au plan (ABC).
C. (D1) coupe le plan (ABC) au pt M(1;2;3)
D. (D1) coupe le plan (ABC) au pt M(0;3;8)
ont une problématique commune : (D1) doit couper le plan...
Je cherche donc s'il existe une valeur de t solution du système :
[tex]\begin{cases}10x-y+3z-21&=0\\x&=t\\y&=1-3t\\z&=1+2t\end{cases}[/tex]
que je résous par substitution :
$10t-1+3t+3+6t-21=0$
$\Leftrightarrow$
$19t-19=0$
Soit $t=1$
(D1) coupe bien le plan ce qui élimine la réponse A.
Intersection : M(1 ; -2 ; 3)
donc réponses C et D éliminées.
Mais, quant à la B, (D1) peut très bien couper le plan sans lui être perpendiculaire...
A tester...
je vais choisir une autre valeur de t qui me donnera un autre point N de (D1), je calculerai les coordonnées de $\overrightarrow{MN}$
et vérifierai si $\overrightarrow{V_2}(-10\,;\,1\,;\,-3)$ (qui lui est un vecteur normal au plan) et $\overrightarrow{MN}$ sont colinéaires ou pas.
Je veux voir si je peux trouver [tex]k \in \mathbb{R}[/tex]  tel que $\overrightarrow{V_2}=k\overrightarrow{MN}$.
Mais fainéant, je vais encore essayer de m'économiser.
Je choisis t=-9 ainsi, je verrai tout de suite si k=1 est bon....
N(-9 ; 28 ; -17) et $\overrightarrow{MN}(-10\,;\,30\,\;-20)$
Non.
$\overrightarrow{V_2}$ n'est pas colinéaire à $\overrightarrow{MN}$
La droite (D1) n'est pas perpendiculaire au plan (ABC)...

@+

oboskobo
09-08-2019 18:17:36

salut freddy, mince moi je trouve a= -50 à la question 18.
U(n+1) = 3Un - 100 et Vn = Un + a
U(n+1) = 3Un -100
U(n+1) = 3(Vn-a) -100
V(n+1) - a = 3(Vn-a) -100
3Vn - a = 3Vn - 3a - 100
par identification - a = -3a - 100
donc a = 3a + 100
        a = -50
mon niveau en maths est très moyen, tu me dire où je me trompe dans le calcul?

question 19 :
Vn = Un - 50
Vn est une suite géométrique donc Vn = 3^nVo
3^nVo = Un - 50
Un = 3^nVo + 50
Un = 3^n(Uo -50) + 50
réponse D

et pour la Q20 et Q21?
c'est bien A et B?

freddy
09-08-2019 09:25:30

Salut,

pour les bactéries, c'est bien possible. C'est la raison pour laquelle il est proposé deux versions, avec un coefficient multiplicateur égal à 2 ou 3. Si on prend ta proposition, à la question 18, on trouve a = 50, et à la question 19, la bonne réponse est D, ainsi de suite. Oui, ça marche mieux comme ça, mais faut être copain avec les bactéries pour connaître leurs vies et leurs mœurs :-)

oboskobo
08-08-2019 23:49:08

Merci yoshi et freddy pour l'aide,

pour la Q7: Aire = (ACxBC) / 2 mais AC = rac11 et BC= rac10 donc aire = rac110/2 c donc E.

Q13 : le polynôme s'écrit (z+i) (z²-z+1)
donc on résoud z²-z+1 et on trouve z1 = 1/2 - i(rac3/2) et z2= 1/2 + i(rac3/2)
exp (ipi/3) est solution de (E) puisque exp (ipi/3) = cos (pi/3) + isin(pi/3)
                                                                        = 1/2 + i(rac3/2)
réponse A.

Concernant l'exo 4 :
Q1 j'ai mis le B. U(n+1)=3Un -100
je pense que celui qui a fait le sujet ne connaît pas la division bactérienne, puiqu'il met 1 bactérie "donne naissance à 2 bactéries"
à mon avis c'est 3 bactéries (bactérie mère + 2 bactérie fille).
pour résoudre les autres question, on y arrive pas avec u(n+1) = 2Un -100 par contre avec U(n+1) = 3Un -100 oui.

freddy
08-08-2019 20:26:52

Re,

pour la 12, $-i$ est solution, donc B

On en déduit que le polynôme s'écrit $(z+i)(z^2-z+1)$

Donc 13 = E, sauf erreur.

freddy
08-08-2019 19:55:04

Merci yoshi !

je reviens sur la question 3. La bonne réponse est B car $A$ et $B$ ne sont pas indépendants car 7%x11% est différent de 3 %.

yoshi
08-08-2019 17:46:39

-RE,

EXO 2
Q6
Déjà, A ,B et C coplanaires c'est une évidence (c'est du cours : 3 points définissent un plan) même dans la vie courante : j'ai toujours constaté que placer un frigo, un congélo de façon non bancale n'était pas évident, alors qu'un tabouret à 3 pieds était toujours stable.
Réponses B et D.
$AB^2=21$, $AC^2=11$ et $BC^2=10$
10 + 11 =21

Q7
$Aire = \dfrac {AC\times BC}{2}=\dfrac{11 \times 10}{2}=\dfrac{110}{2}=55$
Réponse C

Q8
Réponse C
Même si l'énoncé écrit $\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ qui est une notation douteuse...
En toute rigueur $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ est un angle orienté, mais comme on a tendance a écrire
indifféremment $\cos \widehat{CAB}$ ou $\cos(\widehat{CAB})$, du coup si les parenthèses sont celles de l'angle orienté $(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})$ alors il faut tenir compte du sens de rotation pour passer de $\overrightarrow{AB}$ à $\overrightarrow{AC}$
Heureusement, un schéma 3D à la main montre que ledit sens de rotation est le sens trigonométrique (+).
Donc :
$\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=\cos(\widehat{CAB})=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{\sqrt{11}}{\sqrt{21}}$

Q9
Si $ax+by+cz+d=0$ est l'équation cartésienne d'un plan alors un vecteur normal à ce plan a pour coordonnées $(a\,;\,b\,;\,c)$
Donc, on est obligé de calculer l'équation du plan et question posée plus tard.
Calcul via le produit vectoriel (et on tombe sur des équations paramétriques de droite question posée plus tard.
Si on est négatif, on va dire quel énoncé mal foutu, si on est positif, on dit que le temps perdu ici sera rattrapé ensuite...

rideau pour ce soir...

A vous autres de jouer...

@+

freddy
08-08-2019 12:20:57

Re,

non, l'indépendance se calcule, il faut vérifier, par définition, que $P(A \cap B)=P(A)\times P(B)$. En l'état, tu ne peux rien faire.
Donc selon moi, la bonne réponse est E.
Toutefois, je ne connais pas le cours que tu as suivi, donc je ne sais pas ce qu'on t'a appris.
Je reste sur l'exo 1 :

4 - OK
5 - A (pourquoi B ???) Pour D, as tu vérifié par le calcul ?

EXO 4 :

16 - A (pourquoi B ???) Chaque bactérie donne naissance à deux bactéries, chaque jour : donc si 1, on passe à 2, puis 4, puis 8, ... Bien entendu, la bactérie disparait après avoir donné naissance à une paire de bactérie. Il y a une imprécision dans le sujet : à quel moment  tue-t'on  100 bactéries ? Ou alors, on a une quantité à l'origine $u_0$ quelconque et en date $t=0$, on en tue 100.

17 - E, c'est une suite arithmético-géométrique.

18 - E, car il faudrait que $U_{n+1}=2U_n-100 =3U_n + 2a$ ce qui est impossible.

19 - C
20 - B
21 - E, car à la fin du jour $0$, il n'y a déjà plus de bactérie puisque -110 + 100 = -10 !
(Rque : le sujet manque un peu de précision et de rigueur).

Il faut que je bosse un peu plus pour la géométrie, s'il y a des candidats ?!!!

oboskobo
07-08-2019 23:59:53

Salut freddy, merci pour ton aide, j'ai eu 3h de temps pour cette épreuve.
pour la question 3 : A et B sont indépendants car la réalisation de l'un ne dépend pas de l'autre.

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