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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Zebulor
Aujourd'hui 08:30:37

re,

yannD a écrit :

Zebulor : j'ai vu ton post mais je ne pouvais pas y répondre plus tôt , j'étais en vacances et n'avais pas la Wi-Fi.
et tu as raison pour x = 1, (je n'ai pas compris)

@YannD : Yoshi a achevé de t'éclaircir sur ce point. Tu as raison de profiter des vacances. Y a pas que les maths dans la vie !

yoshi
Hier 18:55:50

Re,


$f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$
La domaine de définition de la fonction est $]-\infty\,;\,1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[$
Pourquoi exclure le 1 ? Parce que pour $x=1$, on aurait alors $x-1=0$ au dénominateur et que cela est interdit : on ne peut pas diviser par 0...

@+

yannD
Hier 17:40:08

Bonsoir et merci à Yoshi, freddy et zebulor pour l'aide.
Zebulor : j'ai vu ton post mais je ne pouvais pas y répondre plus tôt , j'étais en vacances et n'avais pas la Wi-Fi.
et tu as raison pour x = 1, (je n'ai pas compris)

Zebulor
05-07-2019 07:42:46

bonjour,
je m'immisce dans cette discussion ..juste une tite question : pour reprendre ce qu'écrit Black Jack et en relisant ces échanges, notre ami Yann est il bien conscient que pour [tex]x=1[/tex], [tex]f[/tex] n'existe pas ?

yannD a écrit :

J'ai pris les valeurs -4 ; -3 ; -3 ; -2 ; -1 (je commence par ces valeurs quand je dois tracer une courbe) et il est vrai que c'est un peu plus long de faire comme calcul (2 * (-4)-1)/((-4) -1) , en revanche faire 2 + 1/((-4)-1) je peux le faire de tête .

@YannD : Pourquoi pas ... mais je tracerais d'abord les asymptotes ( mais c'est notion que tu n'as peut être pas encore vue ?) [tex]x=1[/tex] et [tex]y=a=2[/tex]. Dans certains cas les courbes présentent des symétries ..
Il se pourrait que la courbe de [tex]f[/tex] soit la translatée de la fonction inverse... ce qui peut se démontrer..

yoshi
30-06-2019 12:14:43

Bonjour,

On retrouve aussi l'idée du procédé technique dans une problématique un peu différente :
Résoudre $6x^3-7x^2-x+2=0$
Là, il y a un premier obstacle à franchir : trouver une solution évidente (j'ai fait ce qu'il fallait pour que ça marche), en génétal -1, 0, 1 à quoi éventuellement on peut rajouter encore -2 et + 2...
On voit que 6-7-1+2 =0
Solution "évidente" : x=1
Donc le polynôme $6x^3-7x^2-x+2$ peut s'écrire sous la forme du produit de $(x-1)$ par un polynôme du 2nd degré :
$6x^3-7x^2-x+2=(x-1)(ax^2+bx+c)$
On développe le 2e membre :
$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c$
On réduit et on ordonne :
$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
On a donc :
$6x^3-7x^2-x+2=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
On procède par Identification et on tombe sur le système :
$\begin{cases}a&=6\\b-a&=-7\\c-b&=-1\\-c&=2\end{cases}$
La résolution (facile) donne
$a=6,\;b=-1,\;c=$-2
Donc :
$6x^3-7x^2-x+2=(x-1)(6x^2-x-2)=0$
Et on est ramené à résoudre l'équation :
$6x^2-x-2=0$
qu'on sait résoudre déjà en 2nde (c'est pluuu_hs long à faire en 2nde qu'en 1ere)...

@+

freddy
30-06-2019 07:58:07
yannD a écrit :

# 6 : je n'ai pas de méthode pour y arriver facilement

Salut,

la méthode de yoshi est parfaite, sinon, il faut faire preuve d'imagination (ce que yoshi appelle sens du bricolage).
Par exemple, et c'est un grand classique en la matière, on calcule la limite en +l'infini des deux expressions ($x$ tend vers plus l'infini)e t on trouve immédiatement $a=2$.
Muni de cette information, on pose $x=0$ par exemple et on trouve $a-b=1$ et on déduit $b=1$.
La dernière méthode consiste à faire la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, mais c'est très en avance par rapport au programme, il faut attendre l'enseignement supérieur :-)

yannD
29-06-2019 15:53:56

Salut yoshi, merci de m'avoir montré comment on passe de (2x-1)/(x-1) à 2(x-1)/(x-1)
j'aime bien la phrase clé -> je cherche à faire apparaitre le dénominateur au numérateur

yannD
29-06-2019 08:14:31

Bonjour Yoshi, je n'avais pas trouvé les valeurs de a et de b donc je n'avais pas compris que (2x - 1)/(x - 1) ça pouvait aussi s'écrire 2 + 1 /(x -1) et je ne comprenais pas le message # 6 de Freddy.
J'ai pris les valeurs -4 ; -3 ; -3 ; -2 ; -1 (je commence par ces valeurs quand je dois tracer une courbe) et il est vrai que c'est un peu plus long de faire comme calcul (2 * (-4)-1)/((-4) -1) , en revanche faire 2 + 1/((-4)-1) je peux le faire de tête .

yoshi
28-06-2019 19:24:49

Re,

$\dfrac{2x-1}{x-1} +\dfrac{x(x-1)}{x-1} - \dfrac{x-1}{x-1} \leqslant 0$
Mouais...
A mon sens, décomposer de cette façon, ce n'est pas prudent : c'est un coup à faire une faute de signe...
Ne crois-tu pas que calculer ainsi est largement plus simple :
$\dfrac{2x-1}{x-1} -(-x+1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+(x+1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+\dfrac{(x+1)^2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1+(x+1)^2}{x-1}\leqslant 0$

Méthode classique standard qu'on t'apprendra :
$a+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{a(x-1)+b}{x-1}$
$\Leftrightarrow$
$a+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{ax-a+b}{x-1}$
$\Leftrightarrow$
$a+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{ax+(-a+b)}{x-1}$
et :
$\dfrac{ax+(-a+b)}{x-1}=\dfrac{2x-1}{x-1}$
Et tu en déduis par Identification
$\begin{cases}a&=2\\-a+b&=-1\end{cases}$
La résolution du système te mène à  :
a=2  et b=1

Méthode valable qui nécessite d'être un peu "bricoleur"
Je cherche à faire apparaître le dénominateur au numérateur :
$\dfrac{2x-1}{x-1}$
S'il n'y avait pas le 2, il y serait déjà...
Donc je pense à :
$\dfrac{2(x-1)}{x-1}$
Mais 2x-2 ce n'est pas 2x-1 : il faut que je rajoute 1 et c'est bon :
$ 2x-2 + 1= 2x-1$
Donc :
$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)+1}{x-1}$
On coupe la fraction en 2 :
$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)+1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}$
On simplifie :
$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=2+\dfrac{1}{x-1}$

@+

yannD
28-06-2019 18:48:39

# 6 : je n'ai pas de méthode pour y arriver facilement

yannD
28-06-2019 18:35:32

Bonjour Yoshi,
Patinage artistique, avec cette chaleur . . .
c'est peut-être une bonne idée
Le sujet : je l'ai pris dans Cap mention 2011

Merci de m'avoir montré les calculs parce que à la 3e ligne j'ai enlevé la parenthèse et je ne sais pas si c'est bon aussi

(2x-1)/(x-1) ≤ -x + 1
<=>
(2x-1)/(x-1) - (-x+1) ≤ 0
<=>
(2x-1)/(x-1) + x - 1 ≤ 0
<=>
(2x-1)/(x-1) + x(x-1)/(x-1) - (x-1)/(x-1) ≤ 0

yoshi
28-06-2019 17:45:24

Bonjour,

@freddy. Bonne question compère...

$\dfrac{2x-1}{x-1}\leqslant -x+1$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+(x-1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+\dfrac{(x-1)^2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1+x^2-2x+1}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{x^2}{x-1}\leqslant 0$

Bon c'est vrai, à partir de $f(x)=2+\dfrac{1}{x-1}$,
C'est un poil plus rapide et moins de calculs, mais pour moi, rien de fondamental :
$f(x)=2+\dfrac{1}{x-1}\leqslant -x+1$
$\Leftrightarrow$
$2+\dfrac{1}{x-1}+(x-1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$2+\dfrac{1}{x-1}+\dfrac{(x-1)^2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$2+\dfrac{1+(x-1)^2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$2+\dfrac{x^2-2x+2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-2+x^2-2x+2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{x^2}{x-1}\leqslant 0$

Alors pourquoi ?
1. Comme pour le patinage artistique, figure imposée ?!...
2. Pas sûr, que cet exo ait été donné dans le cas des nouveaux programmes...
    Les questions d'asymptote et de position de la courbe par rapport à l'asymptote c'était généralement avec une asymptote oblique...
    Ici, ce serait un peu académique quand même  et de toutes façons, ce sont des questions qui ne peuvent plus figurer dans les exos :
    les notions sont sorties des programmes...
    Restent les démos de limites...

@+

freddy
28-06-2019 16:41:13

Re,

étudie alors la fonction $f(x)=a+b/(x-1)$ pour $x \ne 1$ et regarde combien tu vas un poil plus vite avec moins de risque d'erreurs de calculs. A propos, combien valent $a$ et $b$ ? As tu une méthode pour y arriver facilement ?

yannD
28-06-2019 16:20:16

Salut freddy, merci de m'avoir répondu.
A vrai dire , je ne comprends pas trop
Il s'agit d'un exercice (niveau première) et je l'ai pris pour avoir de l'avance, (j'aurais peut-etre pas dû...)
L'énoncé me dit que f(x)=(2x-1)/(x-1) , alors j'ai fait un tableau avec une dizaine de valeurs et j'ai tracé les 2 courbes
mais je ne vois pas en quoi c'est plus rapide avec a et b

freddy
28-06-2019 15:11:45
yannD a écrit :

Bonjour, mais ce que  je ne comprends pas c'est qu'à la 2e question il faut en déduire de f(x) = a + b /(x-1) pour avoir le tracé
alors que j'y arrive quand même à partir de f(x) = (2x-1)(x-1)

Salut,

car le tracé est alors plus simple. En effet, on a la somme d'une constante $y=a$ et d'une hyperbole d'équation $y=b/(x-1)$.
De fait, tu vois très vite comment se comporte la courbe.

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