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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

yannD
Hier 17:11:28

Salut Yoshi, je te demande pardon mais j'ai du mal à me remettre dans le travail et j'ai pas trop compris tout ce que tu as écrit.
Ça va 1 peu vite … .
J'ai ouvert Geogebra et j'ai commencé avec x = -7,
le calcul me donne 1 divisé par -8 auquel je retire 2
etc..

yoshi
Hier 10:55:39

Salut

freddy a écrit :

car le tracé est alors plus simple. En effet, on a la somme d'une constante $y=a$ et d'une hyperbole d'équation $y=b/(x-1)$.
De fait, tu vois très vite comment se comporte la courbe.

Si tu lis attentivement, tu vois que freddy a écrit somme de $y =a$ et de $y=b/(x-1)$ ce qui ne veut pas dire de tracer les deux séparément...
Tu as donc l'équation :
$y=2+\dfrac{1}{x-1}$
Elle t'apprend quoi ?   
que
* soit l'ordonnée des points de la courbe est supérieure à 2 (pour x >1), donc les points au dessus de la droite  d'équation $y =2$
* soit l'ordonnée des points de la courbe est supérieure à 2 (pour x <1), donc les points au dessous de la droite  d'équation $y =2$
* jamais sur la droite : il faudrait que $\dfrac{1}{x-1}=0$ (ce qui est impossible).
T out ce qu'on peut dire c'est que
  - si x est positif et de plus en plus grand (on dit que x tend vers $+\infty$) alors la courbe d'équation $y=2+\dfrac{1}{x-1}$ se rapproche de la droite d'équation $ y =2 $ en restant au dessus
  - si x est de plus en plus petit (on dit que x tend vers $-\infty$) alors la courbe d'équation $y=2+\dfrac{1}{x-1}$ se rapproche de la droite d'équation $ y =2 $ en restant au dessous...

    De plus, comme x=1 est une valeur interdite,
    § lorsque x se rapproche de 1 par valeurs supérieures à 1 (on dit tend vers $1^+$) $\dfrac{1}{x-1}$ tend lui vers $+\infty$  : les points sont très près de la droite d'équation $x=1$ en restant à sa droite et très très au dessus de $y=2$
    § lorsque x se rapproche de 1 par valeurs inférieures à1 (on  dit tend vers $1^-$) $\dfrac{1}{x-1}$ tend lui vers $-\infty$  : les points sont très près de la droite d'équation $x=1$ en restant à sa gauche et très très au dessous de $y=2$

Or, tu sais que $f(x)=\dfrac{1}{x-1}$ est la fonction inverse qui se traduit par un graphique comportant deux branches...

Il ne t'étonnera donc pas ici que l'une des branches correspond à la zone x>1 et y>2 et l'autre x<1 et y<2.
Les programmes vont changer : on disait avant que les droites d'équation $x =1$  et $y =2$ étaient des asymptotes à la courbe...
Et voilà :
190720125742697197.png

@+

yannD
Hier 09:17:15

je ne vois pas comment le tracé est facilité (comme l'explique Freddy au # 4)

yannD
Hier 09:15:33

Oui, je suis allé au Festival d'Aix en provence, j'ai fait des photos , je peux vous les communiquer si vous le voulez…
je reprends le sujet et je n'arrive pas à comprendre certains trucs, la question 1 demande de mettre sous la forme a + b/(x+1) afin d'avoir la somme d'une constante et d'une hyperbole, alors dans Geogebra , j'ai tapé  y = 2 et y = 1/(x-1) mais cela me donne une droite et une courbe

Zebulor
19-07-2019 08:30:37

re,

yannD a écrit :

Zebulor : j'ai vu ton post mais je ne pouvais pas y répondre plus tôt , j'étais en vacances et n'avais pas la Wi-Fi.
et tu as raison pour x = 1, (je n'ai pas compris)

@YannD : Yoshi a achevé de t'éclaircir sur ce point. Tu as raison de profiter des vacances. Y a pas que les maths dans la vie !

yoshi
18-07-2019 18:55:50

Re,


$f(x)=\dfrac{2x-1}{x-1}$
La domaine de définition de la fonction est $]-\infty\,;\,1[\;\cup\;]1\,;\,+\infty[$
Pourquoi exclure le 1 ? Parce que pour $x=1$, on aurait alors $x-1=0$ au dénominateur et que cela est interdit : on ne peut pas diviser par 0...

@+

yannD
18-07-2019 17:40:08

Bonsoir et merci à Yoshi, freddy et zebulor pour l'aide.
Zebulor : j'ai vu ton post mais je ne pouvais pas y répondre plus tôt , j'étais en vacances et n'avais pas la Wi-Fi.
et tu as raison pour x = 1, (je n'ai pas compris)

Zebulor
05-07-2019 07:42:46

bonjour,
je m'immisce dans cette discussion ..juste une tite question : pour reprendre ce qu'écrit Black Jack et en relisant ces échanges, notre ami Yann est il bien conscient que pour [tex]x=1[/tex], [tex]f[/tex] n'existe pas ?

yannD a écrit :

J'ai pris les valeurs -4 ; -3 ; -3 ; -2 ; -1 (je commence par ces valeurs quand je dois tracer une courbe) et il est vrai que c'est un peu plus long de faire comme calcul (2 * (-4)-1)/((-4) -1) , en revanche faire 2 + 1/((-4)-1) je peux le faire de tête .

@YannD : Pourquoi pas ... mais je tracerais d'abord les asymptotes ( mais c'est notion que tu n'as peut être pas encore vue ?) [tex]x=1[/tex] et [tex]y=a=2[/tex]. Dans certains cas les courbes présentent des symétries ..
Il se pourrait que la courbe de [tex]f[/tex] soit la translatée de la fonction inverse... ce qui peut se démontrer..

yoshi
30-06-2019 12:14:43

Bonjour,

On retrouve aussi l'idée du procédé technique dans une problématique un peu différente :
Résoudre $6x^3-7x^2-x+2=0$
Là, il y a un premier obstacle à franchir : trouver une solution évidente (j'ai fait ce qu'il fallait pour que ça marche), en génétal -1, 0, 1 à quoi éventuellement on peut rajouter encore -2 et + 2...
On voit que 6-7-1+2 =0
Solution "évidente" : x=1
Donc le polynôme $6x^3-7x^2-x+2$ peut s'écrire sous la forme du produit de $(x-1)$ par un polynôme du 2nd degré :
$6x^3-7x^2-x+2=(x-1)(ax^2+bx+c)$
On développe le 2e membre :
$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+bx^2+cx-ax^2-bx-c$
On réduit et on ordonne :
$(x-1)(ax^2+bx+c)=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
On a donc :
$6x^3-7x^2-x+2=ax^3+(b-a)x^2+(c-b)x-c$
On procède par Identification et on tombe sur le système :
$\begin{cases}a&=6\\b-a&=-7\\c-b&=-1\\-c&=2\end{cases}$
La résolution (facile) donne
$a=6,\;b=-1,\;c=$-2
Donc :
$6x^3-7x^2-x+2=(x-1)(6x^2-x-2)=0$
Et on est ramené à résoudre l'équation :
$6x^2-x-2=0$
qu'on sait résoudre déjà en 2nde (c'est pluuu_hs long à faire en 2nde qu'en 1ere)...

@+

freddy
30-06-2019 07:58:07
yannD a écrit :

# 6 : je n'ai pas de méthode pour y arriver facilement

Salut,

la méthode de yoshi est parfaite, sinon, il faut faire preuve d'imagination (ce que yoshi appelle sens du bricolage).
Par exemple, et c'est un grand classique en la matière, on calcule la limite en +l'infini des deux expressions ($x$ tend vers plus l'infini)e t on trouve immédiatement $a=2$.
Muni de cette information, on pose $x=0$ par exemple et on trouve $a-b=1$ et on déduit $b=1$.
La dernière méthode consiste à faire la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, mais c'est très en avance par rapport au programme, il faut attendre l'enseignement supérieur :-)

yannD
29-06-2019 15:53:56

Salut yoshi, merci de m'avoir montré comment on passe de (2x-1)/(x-1) à 2(x-1)/(x-1)
j'aime bien la phrase clé -> je cherche à faire apparaitre le dénominateur au numérateur

yannD
29-06-2019 08:14:31

Bonjour Yoshi, je n'avais pas trouvé les valeurs de a et de b donc je n'avais pas compris que (2x - 1)/(x - 1) ça pouvait aussi s'écrire 2 + 1 /(x -1) et je ne comprenais pas le message # 6 de Freddy.
J'ai pris les valeurs -4 ; -3 ; -3 ; -2 ; -1 (je commence par ces valeurs quand je dois tracer une courbe) et il est vrai que c'est un peu plus long de faire comme calcul (2 * (-4)-1)/((-4) -1) , en revanche faire 2 + 1/((-4)-1) je peux le faire de tête .

yoshi
28-06-2019 19:24:49

Re,

$\dfrac{2x-1}{x-1} +\dfrac{x(x-1)}{x-1} - \dfrac{x-1}{x-1} \leqslant 0$
Mouais...
A mon sens, décomposer de cette façon, ce n'est pas prudent : c'est un coup à faire une faute de signe...
Ne crois-tu pas que calculer ainsi est largement plus simple :
$\dfrac{2x-1}{x-1} -(-x+1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+(x+1)\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1}{x-1}+\dfrac{(x+1)^2}{x-1}\leqslant 0$
$\Leftrightarrow$
$\dfrac{2x-1+(x+1)^2}{x-1}\leqslant 0$

Méthode classique standard qu'on t'apprendra :
$a+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{a(x-1)+b}{x-1}$
$\Leftrightarrow$
$a+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{ax-a+b}{x-1}$
$\Leftrightarrow$
$a+\dfrac{b}{x-1}=\dfrac{ax+(-a+b)}{x-1}$
et :
$\dfrac{ax+(-a+b)}{x-1}=\dfrac{2x-1}{x-1}$
Et tu en déduis par Identification
$\begin{cases}a&=2\\-a+b&=-1\end{cases}$
La résolution du système te mène à  :
a=2  et b=1

Méthode valable qui nécessite d'être un peu "bricoleur"
Je cherche à faire apparaître le dénominateur au numérateur :
$\dfrac{2x-1}{x-1}$
S'il n'y avait pas le 2, il y serait déjà...
Donc je pense à :
$\dfrac{2(x-1)}{x-1}$
Mais 2x-2 ce n'est pas 2x-1 : il faut que je rajoute 1 et c'est bon :
$ 2x-2 + 1= 2x-1$
Donc :
$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)+1}{x-1}$
On coupe la fraction en 2 :
$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)+1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}$
On simplifie :
$\dfrac{2x-1}{x-1}=\dfrac{2(x-1)}{x-1}+\dfrac{1}{x-1}=2+\dfrac{1}{x-1}$

@+

yannD
28-06-2019 18:48:39

# 6 : je n'ai pas de méthode pour y arriver facilement

yannD
28-06-2019 18:35:32

Bonjour Yoshi,
Patinage artistique, avec cette chaleur . . .
c'est peut-être une bonne idée
Le sujet : je l'ai pris dans Cap mention 2011

Merci de m'avoir montré les calculs parce que à la 3e ligne j'ai enlevé la parenthèse et je ne sais pas si c'est bon aussi

(2x-1)/(x-1) ≤ -x + 1
<=>
(2x-1)/(x-1) - (-x+1) ≤ 0
<=>
(2x-1)/(x-1) + x - 1 ≤ 0
<=>
(2x-1)/(x-1) + x(x-1)/(x-1) - (x-1)/(x-1) ≤ 0

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