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D_john
12-06-2019 18:05:49
Chris a écrit :

Noté. Merci!

(oui je vois en effet: \(\times (\lambda f, g)\)...)

En général la notation d'une loi de composition interne c'est simplement un signe entre 2 éléments =>      [tex] \lambda f \times g [/tex]

Chris
11-06-2019 07:19:04

Noté. Merci!

(oui je vois en effet: \(\times (\lambda f, g)\)...)

D_john
10-06-2019 22:59:14
Chris a écrit :

...que je traduis par

\[
\forall (f,g,h)\in {\mathcal{I}_a^b}^{3},\quad\forall \lambda \in \mathbb{R},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
I_a^b (f+g,h)&=I_a^b (f,h)+I_a^b (g,h)\\
I_a^b (f,g+h)&=I_a^b (f,g)+I_a^b (f,h)\\
I_a^b (\lambda f g)&=I_a^b (f,\lambda g)\\
&=\lambda I_a^b (f,g).
\end{aligned}
\right.
\]

or je ne comprends pas ce que \(I_a^b (f,g)\) signifierait, à supposer que ma "traduction" soit correcte, ce dont je doute.

A une virgule près, ta traduction est correcte, à partir du moment où la notation est définie.
On note souvent (toujours ?)
[tex] <f, g> = \int_{}^{} f.g [/tex]

Chris
10-06-2019 19:35:18

hey,

je vais jeter un oeil sur tout ça,
merci pour ta réponse.

Edit:

Okay, dois-je comprendre que je devrais écrire \(\times (f+g,h)\) plutôt que \(I_a^b (f+g,h)\) et:

\[
    \begin{array}{rl}
    \times \colon\qquad\left(\mathcal{I}_a^b\right)^2&\longrightarrow{\mathbb{R}}\\
        (f+g,h)&\longmapsto \displaystyle\int_a^b (f+g)h
    \end{array}
\]
?
Ce qui satisferait en tous les cas \(\times(f+g,h)=\times(f,h)+\times(g,h)\)...

(oui, bon, ben à la réflexion, ça me semble évident , mais une confirmation serait bienvenue)

D_john
10-06-2019 16:21:39

Salut,

A tout hasard, juste un petit lien pour entrevoir la généralisation du produit scalaire à la dimension infinie... (vaste domaine !).
http://www.bibmath.net/dico/index.php?a … /p/ps.html

Chris
10-06-2019 11:51:12

Bonjour,

je feuillette en ce moment un cours sur l'intégration, pour lequel mes connaissances sont peut-être les bases juste suffisantes.

Jusqu'au point où ça coince, on a montré que \(\left(\mathcal{I}_a^b, +, \cdot\right)\) est un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel, avec

\[\mathcal{I}_a^b:= \left\{ f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R} \ \Big| \ f \text{ est Riemann-Intégrable sur [a,b]} \right\}\]

A aussi été montré que pour \(f,g \in \mathcal{I}_a^b\) on a \(fg \in \mathcal{I}_a^b\). Le document stipule que \(\mathcal{I}_a^b\) a dès lors une structure de \(\mathbb{R}\)-algèbre; or il s'agit d'un objet que je n'ai pas encore manipulé. En me référant à la wikipédia (oui, désolé):

Une algèbre sur un corps commutatif \(\mathbb{K}\), ou simplement une \(\mathbb{K}\)-algèbre, est une structure algébrique \((A, +, \cdot, \times)\) telle que :

  1. \((A, +, \cdot)\) est un espace vectoriel sur  \(\mathbb{K}\) ;

  2. la loi \(\times\) est définie de \(A \times A\) dans \(A\) est donc une loi de composition interne ;

  3. la loi \(\times\) est bilinéaire.

Donc 1 et 2 sont ok. Pour 3 - c'est ici que ça ne passe pas - on voudrait:

\[
\forall (x,x')\in E^{2},\quad\forall (y,y')\in F^{2},\quad\forall \lambda \in \mathbb{K},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
\varphi (x+x',y)
    &=\varphi (x,y)+\varphi (x',y)\\
\varphi (x,y+y')
    &=\varphi (x,y)+\varphi (x,y')\\
\varphi (\lambda x,y)
    &=\varphi (x,\lambda y)\\
    &=\lambda \varphi (x,y).
\end{aligned}
\right.
\]

que je traduis par

\[
\forall (f,g,h)\in {\mathcal{I}_a^b}^{3},\quad\forall \lambda \in \mathbb{R},\qquad\qquad
\left\{
\begin{aligned}
I_a^b (f+g,h)&=I_a^b (f,h)+I_a^b (g,h)\\
I_a^b (f,g+h)&=I_a^b (f,g)+I_a^b (f,h)\\
I_a^b (\lambda f g)&=I_a^b (f,\lambda g)\\
&=\lambda I_a^b (f,g).
\end{aligned}
\right.
\]

or je ne comprends pas ce que \(I_a^b (f,g)\) signifierait, à supposer que ma "traduction" soit correcte, ce dont je doute. Quelqu'un pourrait-il me donner un coup de pouce svp?

merci d'avance,

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