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mopakarim6000
21-06-2019 23:31:19
Extrazlove a écrit :

La c'est un intégrale difficile à calculez si en remarque pas une chose qui facilite le calcul de ce intégrale si mais souvenir son bon c'est un intégral à niveau Master
Intégral de +infini à- infini de exp(-x^2)Brazzers Youporn Xhamster
=racine (pi/2) si mes souvenir son bon.

Bonjour,

Normalement tu ne doit plus avoir de
y
après avoir appliqué Fubini.

Roro
18-06-2019 19:03:08

Bonsoir,

C'est dommage d'avoir transformé ce post à tel point qu'on ne voit plus trop ni la question, ni la réponse :

Question : post 1
Indication : post 10
Réponse : post 13

La suite (et pas mal de trucs avant) n'apporte rien à cette question qui est une application directe et assez simple de Fubini...

En particulier le lien avec $\int_{-\infty}^{+\infty} \mathrm e^{-x^2} \mathrm dx$ (qui est plutôt du niveau Licence puisque ça se calcule habituellement en utilisant $\int_{\mathbb R^2} \mathrm e^{-(x^2+y^2)} \mathrm dx\mathrm dy$ et les coordonnées polaires), ne me semble pas utile...

Roro.

yoshi
18-06-2019 18:29:57

Re,

Souvenirs pas bons  : $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\;dx=\sqrt{\pi}$
Mais ce n'est pas si mal.

Source : Wolfram  Alpha

N-B : je me prononce pas sur la proposition disant que le calcul soumis se ramène à celui de $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}\,e^{-x^2}\;dx$

@+

freddy
18-06-2019 16:28:33
Extrazlove a écrit :

La c'est un intégrale difficile à calculez si en remarque pas une chose qui facilite le calcul de ce intégrale si mais souvenir son bon c'est un intégral à niveau Master
Intégral de +infini à- infini de exp(-x^2)
=racine (pi/2) si mes souvenir son bon.

Tu es sûr de toi ? Je ne vois pas dans l'intégrale d'exponentielle ...

Extrazlove
18-06-2019 14:32:40

La c'est un intégrale difficile à calculez si en remarque pas une chose qui facilite le calcul de ce intégrale si mais souvenir son bon c'est un intégral à niveau Master
Intégral de +infini à- infini de exp(-x^2)
=racine (pi/2) si mes souvenir son bon.

Osud
15-06-2019 11:09:15

Exact, c'est la bonne réponse (en tout cas confirmée par worframalpha), problème résolu.

AloWarZ
14-06-2019 13:10:24

La réponse était toute bête :

$\int_0^1\left(\int_y^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dx\right)\mathrm dy=\int_0^x\left(\int_0^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dx\right)\mathrm dy$

Puis Fubini :

$\int_0^1 x^{-3/2}\int_0^x \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dy\mathrm dx = \int_0^1 x^{-3/2}\left[\frac{2x}{\pi }\sin{\left(\frac{\pi y}{2x}\right)}\right]^{y=x}_{y=0}\mathrm dx = \frac{2}{\pi} \int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\mathrm dx = \frac{2}{\pi} \left[2\sqrt{x}\right]^{x=1}_{x=0} = \frac{4}{\pi}$

AloWarZ
10-06-2019 12:02:03

Effectivement j'ai déjà appliqué Fubini comme dit au départ

freddy
10-06-2019 09:42:03
AloWarZ a écrit :

Bonjour,
J'ai récemment eu un partiel d'Intégration et je suis tombé sur cette intégrale :

$\int_0^1\left(\int_y^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dx\right)\mathrm dy$

J'utilise donc Fubini puis j'ai :

$\int_y^1\left(\int_0^1 x^{-3/2} \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dy\right)\mathrm dx = \int_y^1 x^{-3/2}\left(\int_0^1  \cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right) \, \mathrm dy\right)\mathrm dx = \int_y^1 x^{-3/2} \left[\frac{2x}{\pi} \sin\left(\frac{\pi y}{2x}\right)\right]^{1}_{0}\mathrm dx = \int_y^1 \frac{2x^{-1/2}}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2x}\right)\mathrm dx$

Sauf que là je bloque, je ne vois absolument pas comment calculer ça.

Pouvez vous m'indiquer quoi faire si il existe une solution?
Merci

Salut,

je pense que c'est déjà fait !

Roro
10-06-2019 08:58:58

Bonjour,

Une fois n'est pas coutume, je pense qu'extrazlove a raison !!!
Ca me semble assez simple en faisant correctement l'inversion de l'ordre d'intégration.
En fait, il s'agit d'une intégrale d'une fonction de 2 variables $(x,y)$, à l'intérieur du triangle $\mathcal T = OAB$ où $A=(1,0) et $B=(1,1)$.

En écrivant $\displaystyle \int_{\mathcal{T}} ... dxdy = \int_0^1 \Big( \int_y^1 ... dx \Big) dy = \int_0^1 \Big( \int_0^x ... dy \Big) dx$, j'ai l'impression que tout devient plus simple...

Roro.

extrazlove
10-06-2019 07:10:46

non même pas c'est juste un piège vous pouvez changer la place de l'intégrale et les dx et dy pour calculer intégral facilement.

AloWarZ
10-06-2019 01:50:14

Ouais c'est bizarre, j'ai eu cette intégrale à un rattrapage de L3 math et j'ai l'impression qu'elle est niveau master ou plus. Sinon merci quand même de m'avoir aidé :)

Guitout
09-06-2019 13:57:12

Bonjour, alors j'ai essayer un truc, je sais pas si c'est acceptable, je ne sais pas si ça marche mais j'essaie quand même.

[tex]\frac{\pi}{2}I=2-2\sqrt{y}\sin(\cfrac{\pi}{2y})+\pi\int_{y}^1 \frac{1}{\sqrt{x}^3}\cos(\cfrac{\pi}{2x}) \; dx[/tex].

On sais que [tex]\cos(\theta)=\cfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}=\mathfrak{Re}(\cfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2})[/tex]

Donc [tex]\cos(\cfrac{\pi}{2x})=\mathfrak{Re}(\cfrac{e^{i\frac{\pi}{2x}}+e^{-i\frac{\pi}{2x}}}{2})=\mathfrak{Re}(\cfrac{(e^{i\pi})^{\frac{1}{2x}}+(e^{-i\pi})^{\frac{1}{2x}}}{2})=\mathfrak{Re}(i^\frac{1}{x})[/tex].

Ce qui donne [tex]\pi\int_{y}^1 \frac{1}{\sqrt{x}^3}\cos(\cfrac{\pi}{2x}) \; dx= \pi\mathfrak{Re}\Big(\int_y^1 \cfrac{e^{\frac{1}{x}\ln(i)}}{\sqrt{x}^3} \; dx\Big)[/tex]

Voila Voila ...
Après je sèche, je pense ne pas avoir les connaissances suffisantes pour continuer.

Guitout
08-06-2019 20:36:56

Si [tex]u'=x^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{x}}[/tex], alors [tex]u=2\sqrt{x}[/tex].

Donc [tex]\frac{\pi}{2}I=2-2\sqrt{y}\sin(\frac{\pi}{2y})+\pi\int_{y}^1 \frac{1}{\sqrt{x}^3}\cos(\frac{\pi}{2x}) \; dx[/tex]

AloWarZ
08-06-2019 17:39:10

Je prend $I=\int_y^1 \frac{2x^{-1/2}}{\pi} \sin\left(\frac{\pi}{2x} \right) \mathrm dx$

en prenant :
$u'=x^{-1/2}$ et $v=\sin \left(\frac{\pi}{2x}\right)$
J'ai :
$u=-2\sqrt{x}$ et $v'=-\frac{\pi}{2x^{2}}\cos \left(\frac{\pi}{2x}\right)$
Puis IPP:
$\frac{\pi}{2}I=\left[uv\right]^{1}_{y}-\int_y^1uv' \mathrm dx=2\sqrt{y}\sin\left(\frac{\pi}{2y} \right)-2-\int_y^1\pi x^{-3/2}\cos \left(\frac{\pi}{2x}\right)$

J'ai pas l'impression que c'est possible en IPP puisque la puissance de $x$ n'est pas un entier.

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