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Michel Coste
13-02-2019 17:56:18

Une variante, plus forte ($f$ est toujours une bijection de l'ensemble des entiers $>0$ sur lui-même) : montrer que pour tout entier $a>0$, il existe des entiers $b$ et $c$ tels que $a<b<c$ et que $2f(b)=f(a)+f(c)$.

alain
13-02-2019 14:00:12

re bonjour et merci pour la preuve. Pas facile à trouver... Par contre, oui si (n)/n  a une limite cette limite vaut 1.

aviateur
13-02-2019 08:28:41

Bonjour
C'est une erreur de ma part. J'ai lu un peu trop vite un truc de ce genre. En fait si f est une bijection et si f(n)/n  converge alors la limite c'est 1. Donc ma démo est restrictive. 
En voici une autre qui convient à ta question (elle n'est pas de moi)

Soit [tex]g[/tex] la réciproque de [tex]f[/tex] . Soit [tex]a[/tex] tel que [tex]g(a)=1[/tex] . 
Soit [tex]m[/tex] le minimum de l'ensemble [tex]g(\{a+1,a+2,....\})[/tex] et soit [tex]b[/tex] tel que [tex]g(b)=m[/tex].
Manifestement [tex]g(2b-a)>m[/tex]
On a ainsi [tex]g(a)<g(b)<g(2b-a)[/tex] et [tex]2f(g(b))=2b=a+(2b-a)=f(g(a))+f(g(2b-a))[/tex]

alain
13-02-2019 06:09:22

Bonjour et merci pour la réponse.Mais je ne vois pas pourquoi g(p)/p tend vers 1...

aviateur
12-02-2019 14:58:14

Bonjour
On raisonne par l'absurde.
On désigne par g la bijection réciproque.   
Fixons un entier  n. (n=1  par exemple devrait marcher).  Considérons les entiers  p>n=1  impairs. 
Pour chaque  p ,  (p+n)/2 est un entier  et par hypothèse on ne peut avoir g((p+n)/2)  dans l'intervalle ] g(n), g(p)[  (comprendre "entre" g(n)  et g(p)  car on peut très bien avoir g(p)< g(n) ).  Mais comme n est fixé, il est clair qu'on a une infinité  d'entiers p (impairs) tel que
g(n)< g(p)  et g[(n+p)/2]> g(p).

Mais alors  g((n+p)/2)/p  = g((n+p)/2)/[(n+p)/2] * ((n+p)/2)/p  tend vers 1/2  quand p tend vers l'infini alors  que
g((n+p)/2) /p>g(p)/p   et g(p)/p  tend vers 1. D'où la contradiction.

alain
12-02-2019 08:51:44

Bonjour. Soit f une bijection de N*. Montrer qu' il existe a,b,c tels que : 0<a<b<c et 2f(b)=f(a)+f(c). Je ne connais pas grand chose sur les permutations de N* ( à part: la somme de n images est minorée par n(n+1)/2). J'ai essayé de procéder par l'absurde, en prenant a grand et (c-a) très grand, avec f(a) et f(c) de même parité, mais sans grand résultat; D'avance merci pour toute idée.

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