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mati
01-02-2019 19:20:39

Bonjour
on a un résultat qui dit que: pour tout $\lambda > 0$ et pour tout $f \in H^{-1}(\mathbb{R}^n)$, il existe un unique $u \in H^1(\mathbb{R}^n)$ tel que $(A-\lambda)u=f$, où $A$ est l'opérateur donné par $\sum_{i,j=1}^n D_i(a_{ij} D_j)$.

Pour démontrer ce résultat, on utilise le résultat suivant: l'application qui à $(u,v) \in H^1(\mathbb{R}^n) \times H^1(\mathbb{R}^n)$ on assosie $(u,v)_*= \sum_{i,j=1}^n \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} a_{ij}(x) D_i u \overline{D_j v} dx + \lambda \displaystyle\int_{\mathbb{R}^n} u \overline{v} dx$ représente un produit scalaire sur $H^1(\mathbb{R}^n)$ équivalent au produit scalaire de $H^1$.
Soit $f \in H^{-1}(\mathbb{R}^n)$. Alors on lui associe l'application linéaire continue qui associe à tout $v \in H^1(\mathbb{R}^n)$, $\langle f,v\rangle_{H^{-1},H^1}$.
D'un autre côté on a par le théorème de représentation de Riesz qu'il existe un unique $w \in H^1(\mathbb{R}^n)$ tel que $\langle f,v\rangle_{H^{-1},H^1}= (w,v)_*, \ \forall v \in H^1(\mathbb{R}^n)$. En posant $w=-u$ on trouve que $f=-\sum_{i,j=1}^n D_j(a_{ij}(x) D_i u )-\lambda u$ dans $\mathcal{D}'$ donc $f=(A-\lambda)u$ dans $\mathcal{D}'$.

Ma question est puisque par Riesz, $w$ est unique est ce que cette preuve donne l'existence et l'unicité de $u$, ou bien il faut démontrer l'unicité en considérant deux solutions $u_1$ et $u_2$ puis prendre $u=u_1-u_2$ ...ect?

Bien cordialement

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