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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

yannD
12-01-2019 08:44:21

Bonjour Yoshi
D'accord , si je suis questionné je répondrais ça…
mais en mettant : Par hypothèse, je trouvais ça asssez chic , je l'ai laissé on verra bien si je suis questionné
merci pour l'aide pour mon DM et cet après midi, je voudrais continuer le sujet sur la géométrie 4e

yoshi
12-01-2019 06:27:05

Re,

par hypothèse : les points D et E sont les points d'intersection du cercle et de la droite perpendiculaire à (AC).

Donc ces mêmes points sont bien sur le cercle

on appelle le segment qui joint un point du cercle au centre de ce cercle et le segment [OC]

par définition, est bien un rayon du cercle.

et (encore ) par hypothèse, le cercle est de centre O
et de rayon 4.

J'en déduis : distance OD=4.

Oui, bien sûr...
Un petit conseil :
Par hypothèse : il n'y a plus aucun prof qui dit ça, je pense, maintenant. Ceux qui comme moi, ont appris à dire ça, doivent tous avoir pris leur retraite...
Quand j'étais lycéen, on m'a appris à chaque question avant de commencer, de faire 2 colonnes :
Hypothèses (certains le font encore mais font écrire Données et non hypothèses) et Conclusion et on complétait...
En français une hypothèse est une supposition : en maths, dans ce cadre, ce sont bien les données, donc les éléments de départ connus.
Maintenant, on dit : "on sait que" ou parfois "d'après l'énoncé"...
Ton prof risque de te demander où tu as appris à dire : par hypothèse.

Pour ne pas éveiller de soupçons, dis plutôt :  d'après l'énoncé, ou l'énoncé dit que... Ça paraîtra plus "naturel"...
Si tu es questionné, tu n'auras qu'à dire qu'avec quelqu'un (si il dit qui quelqu'un ? tu réponds un prof en retraite)et - à ta demande,  tu travailles la géométrie de 4e, ce qui est la vérité... ;-)

@+

@+

yannD
11-01-2019 21:07:19

Bonsoir et merci

pour la démonstration de $OD$ j'ai écrit deux fois : par hypothèse et dans la même démonstration, j'aimerais savoir si   c'est quand même correct de dire :

par hypothèse : les points $D$ et $E$ sont les points d'intersection du cercle et de la droite perpendiculaire à $(AC).$

Donc ces mêmes points sont bien sur le cercle

on appelle le segment qui joint un point du cercle au centre de ce cercle et le segment $[OC]$ par définition, est bien un rayon du cercle.

et (encore ) par hypothèse, le cercle est de centre $O$ et de rayon $4.$

J'en déduis : distance $OD = 4.$

voilà, j'ai recopié comme ça mais c'est juste pour savoir si j'ai le droit d'écrire , enfin de mettre 2 fois par hypothèse.

yoshi
11-01-2019 20:04:33

Re,

Oui.
Toujours s'appuyer sur l'énoncé : je le fais régulièrement. Quand un point est délicat, je vais lire et relire l'énoncé en faisant très attention aux mots employés.
En principe quelqu'un qui bâtit un énoncé fait attention à ce qu'il écrit  : si, à la réflexion, un mot, une expression lui paraît douteux, il en change.

Coordonnées de D : en résolvant l'équation [tex]y_D^2-12=0[/tex]   soit   [tex]y_D^2-(\sqrt{12})^2=0[/tex]  et enfin  [tex]y_D^2-(2\sqrt{3})^2=0[/tex]
Tu devais alors factoriser.
Et tu trouvais 2 réponses : [tex]-2\sqrt 3[/tex]  et [tex]2\sqrt 3[/tex] qui étaient les ordonnées des deux points D et E...

@+

yannD
11-01-2019 18:55:45

Bonsoir Yoshi


3.  Que vaut la distance  $OD$ ? Justifier.

Par hypothèse : $D$ et $E$ sont les points d'intersection de la droite perpendiculaire à $(AC)$ avec le cercle de centre $0$

Ainsi,  le segment $[OD]$  qui joint le centre du cercle et le point $D$ est un rayon du cercle

toujours par hypothèse :  le cercle est de rayon $4.$

J'en déduis distance $OD = 4$.



4. Déterminer les coordonnées de $M$, puis en déduire l'abscisse de $D.$

Coordonnées de $M$.
$x_{M}$ = ($x_C$ + $x_O$)/2 = (-4 + 0) /2 = -4/2 = -2
$x_M$ = -2.

J'ai construit $[OC]$ sur l'axe des abscisses (équation $y = 0$), puis $M$ milieu de $[OC].$
et l'ordonnée de ces points est la même que

yoshi
10-01-2019 19:51:08

Bondoir,

Tu dois vraiment aimer te compliquer la vie...
Tu écris :

Ce cercle coupe la médiatrice du segment [AC]  en deux points D et E
les points D et E sont sur cette médiatrice
donc (DE) est  le nom donné à la droite perpendiculaire à (AC)
Le cercle coupe donc (DE)
par conséquent : D est placé sur le cercle

Totalement inutile...
Parce que l'énoncé, lui, te dit :

* On trace la droite passant par M et perpendiculaire à (AC)
* Cette droite coupe le cercle en D et E.

L'énoncé te dit que D et E sont les points d'intersection de la droite avec le cercle...
Pour toi, ça ne veut pas dire que D et E sont sur le cercle ?
Pourquoi écrire 5 lignes pour prouver quelque chose qui est déjà dit dans l'énoncé ?

Et ne me dit pas que je t'ai fait remarquer qu'il n'était pas écrit que A, B et C étaient sur le cercle.
Dans l'énoncé, tout ce qui est dit sur
* ces points sont leurs coordonnées,
* le cercle, c'est : cercle de centre O et de rayon 4.
A, B et C ne sont pas cités comme étant sur le cercle : pas de doute possible

Tandis que pour D et E, c'est :  Cette droite coupe le cercle en D et E. Là, pas de doute possible non plus : c'est bien dit.

@+

yannD
10-01-2019 19:29:23

distance OA
c'est distance $OD$
démonstration :
Le cercle est de rayon $4$ et a pour centre $0$
Ce cercle coupe la médiatrice du segment [AC] $[OC]$  en deux points $D$ et $E$
les points $D$ et $E$ sont sur cette médiatrice
donc $(DE)$ est  le nom donné à la droite perpendiculaire à $(AC)$
Le cercle coupe donc (DE)
par conséquent : D est placé sur le cercle
et comme le segment qui relie le centre du cercler à un point de ce cercle est le rayon et comme l'énoncé me donne rayon = 4
j'en déduis : OD = 4.

yoshi
10-01-2019 19:03:58

Re,

Jusqu'à la citation ci-dessous : d'accord.

La construction explique que le cercle est de centre O est de rayon 4 et A est un point de ce cercle

Non, relis ! A aucun moment, il n'est écrit que A (ou C ou B) sont sur le cercle : c'est bien dommage.
Il te faut le justifier... C'est aussi simple que pour C.

et  si M  c'est le milieu de la distance OC donc l'abscisse de M est 2 mais forcément avec un moins devant

1. On ne dit pas le milieu de la distance OC, mais le milieu du segment [OC]
2. Moyennant quoi tu peux le dire en signalant que [tex]x_C<0[/tex] que [tex]x_O=0[/tex] donc que [tex]x_C<x_O[/tex] et comme M est le milieu de [CO] on a donc [tex]x_C<x_M<x_O[/tex].
Si on veut vraiment éviter les explications tordues, il faudrait passer par les vecteurs (et ça fait plus de calculs et de justifications qu'appliquer la formule.
Mais d'abord, dans les deux cas, ton prof se douterait que ce n'est pas de toi,
ensuite c'est quand même un peu compliqué, alors que
[tex]x_M=\dfrac{x_C+x_O}{2}=\dfrac{-4+0}{2}=-2[/tex] est tellement plus simple et plus rapide : tu étais parti comme ça en question 3 alors qu'il fallait le faire pour la question 4.
Je pense d'ailleurs que votre prof attend que vous fassiez comme ça...
Une ligne au lieu de 3 ou 4 ? Alors, y a pas photo, il ne faut même pas hésiter, calcule l'abscisse de M avec la formule de l'abscisse du milieu...

J'ai toujours dit à mes élèves que quelqu'un qui est bon en maths est paresseux, mais paresseux et intelligent : s'il a le choix ente 1 ligne ou 3 ou 4 pour faire le même travail, il n'hésitera pas un seul instant... ^_^

@+

yannD
10-01-2019 17:32:42

Bonsoir Yoshi, je suis en train de recopier mon DM, pour la 4)je m'aperçois que pour le calcul de l'abscisse je n'ai pas forcément besoin de la formule du cours,

3. distance $OM$ ?

J'ai construit $[OC]$ sur l'axe des abscisses (équation : y = 0)
l'ordonnée de $C$ est $0.$
$C$ appartient à l'axe des abscisses …
et son abscisse est $-4$ donc distance $OC$ = valeurs absolue de 4
c'est une distance donc je prends la valeur absolue.

Et on me demande $OM$ , par construction $M$ est le milieu de $[OC]$, donc $OM = MC$ et $OM$ = $OC$/2 = 2.

distance OA
? c'est distance $OD$

$OA$ c'est le rayon du cercle
La construction explique que le cercle est de centre O est de rayon $4$ et $A$ est un point de ce cercle



4. déterminer les coordonnées de $M$ et en déduire l'abscisse de $D.$

J'ai construit $[OC]$ sur l'axe des abscisses ( équation $y = 0$)  puis $M$ milieu de $[OC].$

  donc  l'ordonnée de $M$ est zéro ici, c'est sûr - > pas besoin d'utiliser  la formule du cours pour avoir l'abscisse de M .


mais j'ai construit $[OC]$ sur l"axe des abscisses  avec $C (-4;0)$ et $M$ milieu de [OC]

et  si M  c'est le milieu de la distance $OC$ donc l'abscisse de $M$ est 2 mais forcément avec un moins devant

mais je ne sais pas si je peux l'expliquer comme ça…

yoshi
09-01-2019 19:07:01

Re,

C'est bon, c'est clair ? Pas de point qui te gène ? même un tout petit peu ?

@+

yannD
09-01-2019 18:53:11

Bonsoir,
Je vous remercie pour vos explications

yoshi
09-01-2019 07:32:45

Bonjour,

Q6.
Dans la question 3, on t'a demandé de trouver la valeur de OD (= 4. C'est un rayon)
Dans la question 5, on t'a demandé de montre que OD s'écrivait aussi : [tex]OD =\sqrt{4+y_D^2}[/tex]
Maintenant, on te demande de trouver les valeurs possibles de $y_D$
La question à ce stade que tu dois te poser, c'est :
pourquoi m'a-t-on demandé
* de trouver OD = 4
* puis que [tex]OD =\sqrt{4+y_D^2}[/tex]
* et enfin d'utiliser OD² pour ne plus avoir de racine carrée...
Réponse : pour te guider dans l'écriture d'une équation :
....................... = .....................
*à gauche du =
  tu écris OD²  à partir de [tex]OD =\sqrt{4+y_D^2}[/tex]
* à droite  du =
  tu écris OD² en sachant que OD = 4...
Tu passes tout dans le premier membre  et tu arrives à :
......................................  = 0
Tu réduis ce 1er membre
Tu le factorises en remarquant que c'est a²-b² et tu résous l'équation-produit obtenue comme en 3e...
Tu trouves deux valeurs opposées de $y_D$ qui sont en fait [tex]y_D[/tex]  et  [tex]y_E[/tex]
Maintenant tu connais les coordonnées complètes de D et E...
Tu calcules facilement DE.
Mais tu connais aussi les coordonnées de A (4 ; 0)

Si tu es astucieux, mais c'est plus long (!), tu ne calcules que AD :
tu fais remarquer que D et E sont symétriques par rapport à l'axe de abscisses et que A est son propre symétrique
Donc que [AE] et [AD] sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.
La symétrie conserve les longueurs d'où AE = AD
Et finalement tu verras que AD = DE = AE

Pour le Le calcul de AD ,
* soit tu appliques la formule,
* soit tu remarques que [AD] est l'hypoténuse du triangle AMD rectangle en D  et tu utilises le théorème de Pythagore...

@+

yoshi
08-01-2019 21:14:15

Re,

Déjà,
1er calcul, paf ! La moitié des points saute...

$x_{M}$ = $x_{0}$+ $x_{C}$ / 2 = 0 + 4 /2 = 2
$y_{M}$ = $y_{O}$ + $y_{C}$/2 = 0

En 5e/4e tu as dû voir un ensemble de règles sous le nom de Règles de priorité des opérations :
En l'absence de parenthèses :
1.  La puissance (et la racine carrée) est prioritaire sur la multiplication (et la division)
2.  La multiplication (et la division) est prioritaire sur l'addition (et la soustraction)
3.  Toute opération entre parenthèses est prioritaire sur les autre
4.  A l'intérieur d'une parenthèse, on retrouve la priorité habituelle.

En conséquence :
$x_{M} = x_{O}+ x_{C}/ 2 = 0 + 4 /2 = 2$
s'écrit en fait :
$x_{M} = x_{O}+ \dfrac{x_{C}}{2} = 0 +\dfrac 4  2 = 2$
Tu as de la chance que 0 ou 0/2, c'est la même chose... Si tu cherches les coordonnée du milieu de [AB](par exemple de cette façon le résultat sera faux...
Tu aurais dû écrire :
$x_{M} = \dfrac{x_{O}+ x_{C}}{2} = \dfrac{0 + 4}{2} = 2$
Ou avec ta notation sans fraction : $x_{M} = (x_{O}+ x_{C})/2 = (0 + 4)/2 = 2$

Cela dit les calculs de coordonnées n'interviennent qu'à la question 4.
Pour OM et OD, il faut faire sans les calculs de coordonnées de M...
Donc
Q3
Le cercle est de centre O et de rayon 4
Tu reprends ta remarque : l'ordonnée de C est 0.
C appartient donc à l'axe des abscisses...
L'abscisse de C est -4, donc = OC =|-4| = 4.
M est le milieu de [OC] donc OM= MC = OC/2 =4/=2

On ne demande pas AD mais OD...
Que te dit l'énoncé sur le placement de D ?
Comment appelle-t-on le segment qui joint le centre O du cercle à un point du cercle ?
Le cercle est de centre O et de rayon 4.
Donc OD = ... ? (Aucun calcul nécessaire)


Q4

Le calcul  précédent m'a permis de trouver (0;2) pour les coordonnées du  point M

As-tu regardé ton dessin après cette phrase ?
Non, sinon tu aurais vu.
Tu confonds longueur du segment OM et abscisse de M : ce n'est pas parce que OM = 2 que $x_M =2$
Tu peux placer le calcul sur lequel je t'ai fait une remarque pour trouver $x_M=-2$
Puis tu rappelles que M et C sont sur l'axe des abscisses donc que $y_M= ...$ (pas de calculs à faire)

Tiens,=... voilà : "en déduire"  !
Connaissant l'abscisse de M tu dois trouver celle D.
Relis l'énoncé : comment a été construite la droite (DE) ? Tu l'as remarqué dans ta rédaction
Comme tu as fais la bonne remarque, tu as l'abscisse de D à ta disposition sans calculs...


Q5.
L'énoncé de demande de

montrer que l'expression OD en fonction de yD est :  [tex]OD = \sqrt{4 + y_D^2}[/tex]

Puisque l'énoncé veut ça, alors :
Coordonnées de O : (0 ; 0)
Coordonnées de D : (2 ; yD)
et tu calcules "bêtement" OD avec la formule de la longueur =[tex]\sqrt{(x_D-x_O)^2+(y_D-y_O)^2}= \sqrt{(...-...)^2+(y_D-...)^2}
[/tex]

La suite demain matin...
Ce n'est plus que du calcul de longueurs.

Q6
Tu devras utiliser le fait que O est le centre du cercle et le rayon est 4, D est sur le cercle, donc OD = 4 et OD²=16
Equation à résoudre...
Tu te serviras de a²-b² =(a+b)(a-b)...

@+

yannD
08-01-2019 18:24:36

3 ) distance $OM$ ?
$M$ est le milieu de $[OC]$.
La formule du cours me permet de calculer les coordonnées du milieu d'un segment.
Je calcule d'abord les coordonnées de $M.$

$x_{M}$ = $x_{0}$+ $x_{C}$ / 2 = 0 + 4 /2 = 2
$y_{M}$ = $y_{O}$ + $y_{C}$/2 = 0

coordonnées du point $M : (0;2)$

je calcule la distance $OM$ avec la formule du cours
Le point $O$ et le point $M$ sont sur une même droite d'équation : $y = 0$ , et tous les points situés sur une même droite à la  même cordonnée   ont même ordonnée donc $y_{0} $ = $y_{M}$.
Aussi ces points $M$ et $O$ se déplacent sur la même droite  donc $x_{O} - x_{M}$  = 0 - 2 =-2
et comme une distance est positive c'est 2.

distance AD ? distance $OD$ ?

Le calcul  précédent m'a permis de trouver $(0 ; 2)$ pour les coordonnées du  point $M$ et l'énoncé est là pour me donner la position du point $D$ sur la droite perpendiculaire à $(AC)$ , celle-ci passe par le point $M$ et le point $M$ a pour abscisse $2$.
Donc $x_{M} = x_{D} = 2.$
- > j'ai déjà l'abscisse du point D.

Reste à trouver son ordonnée …
Le point D est placé sur la droite  perpendiculaire à (AC) passant par M dont l'énoncé me dit que M est le milieu de [AC] de [OC]
Ainsi, la demi droite [DM) est la médiatrice du segment [OC] et tout point situé sur la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment donc DO = DC.
et ça ne m'avance pas vraiment…

yannD
08-01-2019 17:30:46

Bonsoir et merci pour l'aide du forum,

J'ai ce DM sur le Repère à  rendre, et j'aimerais avoir de l'aide pour le résoudre et répondre correctement au question, j'ai fait une figure pour la 1) et j'ai pu résoudre la 3 en faisant le calcul des longueurs OM et d'en déduire les coordonnées du point M qui est sur la même droite que le point D .


Exercice 1 :
Pour cet exercice, l'unité choisie sera le carreau sur une feuille à grand carreau ou le cm ( 2 carreaux ) sur une feuille
à petits carreaux.

On considère un repère orthonormé $(O;I;J)$. On s'intéresse à une méthode pour tracer un triangle équilatéral inscrit dans un cercle.

1. Tracer une figure, et placer les points $A(4;0)$, $B(0;4)$ et $C(-4;0)$. Tracer le cercle  $C$ de centre $O$ et de rayon $4$.


2. Pour construire les points du triangle équilatéral équilatéral, on propose la méthode suivante

  • On place  $M$ le milieu de $[OC].$

  • On trace la droite passant par $M$ et perpendiculaire à $(AC)$ .

  • Cette droite coupe le cercle en $D$ et $E$.

On cherche à montrer que le triangle $ADE$ est équilatéral.

En laissant les traits de construction, placer les points $M, D$ et $E.$



3. Que vaut la distance $OM$  ? Que vaut la distance $OD$ ? justifier.

4. Déterminer les coordonnées de $M$, puis en déduire l'abscisse de $D$.

5 . Montrer que l'expression $OD$ en fonction de $y_{D}$ est :

           OD = racine avec la barre de la racine jusqu'au bout 4 + $y_{D}$ (au carré)

6. En élevant l'égalité précédente au carré, en déduire les valeurs possibles pour $y_{D}$. Puis les coordonnées
de $D$ et celles de $E$.
7. Calculer $AD$ et $AE$ et conclure sur la nature du triangle $AED.$

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