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Mais PC = MB ??

Bonjour,

Allons-y

Hypothèses $\begin{cases}\text{ABC triangle quelconque}\\ \text{M mileu de [AB], N milieu de [AC]}\\ \text{P symétrique de M par rapport à N} \end{cases}$
Conclusion : (MN)//(BC)

Donc, je réfléchis et je dis que ce point P ne figure pas dans le théorème, on l'a construit en plus, il doit donc jouer un rôle important, sans lequel la démonstration n'est pas possible classiquement.
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Je dis classiquement, parce que si j'utilise les vecteurs je peux m'en passer.
La preuve :
M milieu de [AB], donc $\overrightarrow{BA}=2\overrightarrow{MA}$
N mileu de [AC], donc $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow[{N}$
Grâce à la relation de Chasles, j'écris :
$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}$ je remplace :
$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{AN}$ je factorise :
$\overrightarrow{BC}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN})$ et grâce à la relation de Chasles, j'écris :
$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}$
La condition de colinéarité me permet de dire alors que (MN)//(BC) et MN = 1/2 BC
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Alors je réfléchis et je pense à la conclusion : (MN)//(BC) : là où il y a des parallèles, souvent les parallélogrammes ne sont pas loin..
Oui, c'est vrai... Il semble bien que MPCB soit un parallélogramme...
Comment le montrer ?
Il est certain que je ne peux pas utiliser 4 côtés // 2 à 2 parce que cela nécessite de savoir que (MP) // (BC) : mais si je sais cela, comme M est sur [NP], je n'ai pas besoin de montrer que MPCB est un parallélogramme : (MN)//(BC) est la conclusion attendue...
Donc il me reste 2 côtés // et de même longueur
   * (PC)// (MB) et
   * PC= MB
Je sais (énoncé) que M est le milieu de [AB], je vais le coder sur le dessin...
Mais PC = MB ???
Ou encore diagonales [MC] et [BP] de même milieu.

Encore ce point P ???
A quoi peut bien servir ce P ? Qu'est-ce que je sais de lui ?
* Il est sur [MN)
* Il est le symétrique de M par rapport à N, une autre façon de dire que N est le milieu de [MP]
C'est tout...
Seule information nouvelle N est le milieu de [MP] : je le code sur le dessin...
Et là, je me dis que je sais aussi que N est le milieu de [AC] que je code également...
Là je prends un peu de recul et j'ouvre les yeux : normalement, je dois repérer immédiatement que [AC] et et [MP] diagonales du quadrilatère APCM ont le même milieu N.
(Même si je ne sais pas trop où ça va mener, j'ai trouvé un parallélogramme --> APCM.
Il m'apporte quoi de plus ?
* que (AP)//(MC) et AP = MC
* que (AM)//(PC) et AM = PC (et je code que AM=PC)

Tiens voilà la longueur PC...
Et je retourne examiner mon dessin : là, grâce aux codages , je prends conscience que PC = MA, que MA =MB donc que PC = MB
Tiens, tiens...
Et (PC)//(MB) alors ?
Bin si je sais (et je le sais) que (PC)//(AM), M étant sur [AB), (AM), (AB) et (MB) sont trois noms différents pour la même droite.
Dponc (PC)//(MA) ==> (PC)//(MB).
Comme PC =MB et (PC)//(MB) MPCB est un parallélogramme et j'en conclus que (MP)//(BC).

Donc si je débroussaille tout ça la démonstration consiste à montrer
1. Que APCM est un parallélogramme (en utilisant N milieu des diagonales).
2. en tirer les infos supplémentaires (PC)//(AM) et PC = AM.
3. En constatant que M milieu de [AB] est sur (AB) et donc que (PC)//(MB)
4. En constatant que M étant milieu de [AB] on a aussi MA =MB et  comme PC = MA, alors PC = MA =MB, donc PC =MB
5. que de PC)//(MB) et PC = MB je conclus que MPCB est un parallèlogramme
6. que je peux alors en déduire que (MP)//(BC) et MP=BC.
N  étant le milieu de [MP, j'en déduis que (MN)//(BC) MN = MP/2=BC/2 l'énoncé

Si je veux modifier l'énoncé, pour que la démo soit évidente (quel intérêt ?), il faut que je pose les questions ainsi :
1. Que représente N pour le segment [MP] ?
2. En déduire que le quadrilatère APCM est un parallélogramme
3. Que pouvez-vous dire alors des côtés [PC] et [MA] ?
4. Que pouvez-vous dire des segments [MA] et [MB] ?
5. Que pouvez-vous dire alors des côtés [PC] et [MB] du quadrilatère MPCB ?
6. Conclusion pour la droite (MN) et la longueur MN ?

@+

Bonjour,

Je repose mes questions :

Réponses ?

J'ai trouvé : je vais te proposer de montrer que les 3 hauteurs d'un triangle se coupent en un même point.

Mais d'abord, un petit échauffement...
On considère un triangle ABC quelconque et $\Delta_1$ et $\Delta_2$ les médiatrices respectives des côtés [AB] et [AC].
Elles se coupent en O.
Montre-moi que la médiatrice $\Delta$ de [BC] passe aussi par le point O.
Tu auras alors prouvé que les 3 médiatrices d'un triangle se coupent en un même point.
Maintenant que tu auras prouvé ce théorème (que tu connais déjà depuis la 4e), je te donne le feu vert pour l'utiliser pour ce qui suit.
Niveau : facile. Court.

Les hauteurs.
On considère un triangle ABC quelconque.
On trace
* la parallèle (D) à (BC) passant par A,
* la parallèle (D₁) à (AB) passant par C,
* la parallèle (D₂) à (AC)  passant par B
Soient B' le point d'intersection des droites (D) et (D₁), C' le point d'intersection des droites (D) et (D₂) et A' le point d'intersection de (D₁) et (D₂).
1. Montrer que les quadrilatères AB'CB et ACA'B sont des parallélogrammes
2. En déduire que C est le milieu de [A'B'].
Pour la suite, on admettra sans démonstration que A et B sont les milieux respectifs de [B'C'] et [A'C'].
Soit (CM) la hauteur abaissée de C sur le côté [AB] du triangle ABC et (BN) la hauteur abaissée de B sur le côté [AC] du triangle ABC.
Elle se coupent en H.
3. Montrer que la hauteur (BN) du triangle ABC est aussi la médiatrice du côté [A'C'] du triangle A'B'C'. On admettra sans démonstration que (CM) est aussi la médiatrice du côté [A'B'] du triangle A'B'C'.
4. Tracer la droite (AH). Montrer qu'elle est la médiatrice du côté [B'C'].
(Commentaire : voilà le pourquoi du petit échauffement)
5. En déduire que (AH) est aussi la hauteur relative à [BC] dans le triangle ABC.

Niveau : moins facile. Plus long.

@+

Bonsoir,

Ce serait bien de montrer sur quoi tu hésites et expliquer pourquoi...

Est-ce que changer de thermomètre fait baisser la fièvre (quand on en  a) ?
Cela dit, je peux envisager de modifier l'énoncé, mais pour le rendre éventuellement plus clair si c'est possible et si je sais pourquoi tu as encore beaucoup d'hésitations et ce qui te fait hésiter…

Les théorèmes ce n'est pas ce qui manque, je vais chercher pour voir ce que je peux t'offrir en pâture.
N'attends pas de réponse demain matin, j'ai 400 km à faire, départ 6 h...
Il faut me laisser le temps d'arriver !

@+

Bonsoir Yoshi,

Merci beaucoup pour le schéma.

Bonjour Yoshi, j'essaye de faire le schéma :

J'ai la question :
M milieu de [AC]
Je remonte le courant :
- > j'ai besoin de APCM parallélogramme
|
< - Montrer N milieu de [AC]

Ainsi j'ai 3 théorèmes pour y arriver

Déjà, je ne peux pas utiliser N milieu de [AC] et de la diagonale [MP] puisque je dois montrer N milieu de [AC], j'ai besoin de savoir que APCM est un parallélogramme pour le démontrer donc je tourne en rond…

Il ne me reste que les côtés [MA] et [CP] soit je montre que ces côtés sont // et de même longueur
ou bien je montre :
les côtés [AP] et [MC] sont parallèles et les côtés [AM] et [PC] pour avoir 4 côtés // 2 à 2

et je ne peux pas utiliser : Si un quadrilatère a ses 4 côtés parallèles 2 à 2 alors c'est un parallélogramme
car pour avoir (AP) // (MC) je dois déjà savoir que APCM est un parallélogramme donc je tourne en rond…(là aussi)

Merci beaucoup pour l'aide.