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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

yoshi
18-11-2018 18:53:38

Re,

Le carré est un mix entre rectangle et losange : ils auraient pu l'appeler losangle ou rectange ^_^ tu te rends compte des risques de confusion auxquels on a échappé !!!

Si tu regardes bien et que tu te poses la question :
que faut-il ajouter au rectangle pour obtenir un carré ? et que tu louches sur la réponse à la question :
que faut-il ajouter au parallélogramme pour obtenir un losange ? tu te rends compte que c'est la même réponse dans les deux cas...
Et pour losange + ?? --> carré... Bin là, c'est la même réponse que parallélogramme + ?? --> rectangle...
En somme, un carré c'est un losange auquel on ajoute les propriétés du rectangle, ou un rectangle à qui on ajoute les propriétés du losqnge.

donc pour passer du rectangle au carré , il faut une propriété supplémentaire :
* un carré a les cotés soient égaux

Tu t'es relu là ? Parce que ce que tu dis n'est pas du bon français et que si tu veux dire 4 côtés égaux, c'est trop (= pas nécessaire)
J'ai écrit : 2 côtés consécutifs de même longueur... Consécutifs = qui se suivent.
Si au rectangle, tu ajoutes 2 côtés consécutifs, automatiquement les 4 sont égaux.
Regarde : si ABCD rectangle alors je sais que AB = DC et AD = BC.
Maintenant on suppose 2 côtés consécutifs égaux, par ex, AB = AD.
Avec AB=AD et AB = DC tu déduis que  AB = AD = DC
Et comme tu sais que AD = BC tu arrives à AB = AD = DC = BC (ou CB c'est pareil).

En partant du parallélogramme, si tu ajoutes un angle droit, en jouant avec les théorèmes liant les parallèles et les perpendiculaires, tu arrives à montrer que lorsqu'il y a un angle droit, les 4 sont droits...
Si tu prends un quadrilatère quelconque et que tu redresses les côtés pour avoir 3 angles droits, de la même façon tu prouves qu'il y an 4...
Ce qui explique le théorème : si un quadrilatère possède 3 angles droits, alors c'est un rectangle...

@+

yannD
18-11-2018 18:23:23

Bonsoir

Merci pour la leçon d'histoire, c'est très joli ce nom : lauze, grâce à vous j'ai appris comment on recouvre le toit des maisons,(j'ai regardé sur internet) la seule image que j'ai d'un parallélogramme, c'est l'insigne de la marque de voiture et le cerf-volant.
Avant de poursuivre l'exo, je m'intéresse beaucoup au dessin du # 80 et j'essai de le le refaire sans le regarder : c'est pas facile mais c'est le seul moyen pour moi de progresser en géométrie.

- je pars du parallélogramme
je descends dans la 1ère branche  du dessin # 80
je dois aller vers rectangle et j'ai besoin de prouver une des deux propriétés supplémentaires :

* soit j'ai un angle droit et le parallélogramme est rectangle
* soit j'ai deux diagonales de même longueur

je continue de descendre sur la même branche du dessin pour aller à carré
est ce qu'un carré a les mêmes propriétés que le parallélogramme ?
Voyons ça ...
Puis-je dire qu'un carré a les cotés parallèles 2 à 2 ?
Puis-je dire que deux cotés d'un carré sont parallèles et de même longueur ?
Puis-je dire que les diagonales d'un carré ont même milieu ?
oui pour les 3
et  par rapport au rectangle
Puis-je dire qu'un carré a un angle droit ?
Puis-je dire qu'un carré a des diagonales de même longueur ?
oui aussi
donc pour passer du rectangle au carré , il faut une propriété supplémentaire :
* un carré a les cotés soient égaux

yoshi
18-11-2018 12:15:41

Re,


et là, je me dis : mais alors pourquoi l'appelle t-on rectangle et pas parallélogramme ?

1. Rectangle vient du latin rectus = droit, et angulus = angle.
2. Oui, un rectangle possédant les mêmes propriétés que la parallélogramme est un parallélogramme, ce qui en choque plus d'un.
Mais n'importe quel parallélogramme n'est pas un rectangle.
Il lui faut deux propriétés supplémentaires pour qu'on le nomme ainsi (il suffit de pouvoir en établir une seule) pour prouver qu'on a un rectangle.
Même chose pour un losange.
Une des origines reconnues du mot  est qu'il viendrait du gaulois "lausa" qui veut dire "pierre plate". On emploie encore ces pierres pour couvrir les toits des maisons dans certaines régions : ce sont des lauzes.
Donc pour monter qu'on a  - par ex - un losange
- soit on peut prouver que les 4 côtés sont de même longueur,
- soit si on ne peut pas, on commence par montrer qu'on a un parallélogramme, puis :
  * on cherche à prouver que deux côtés consécutifs ont la même longueur
  * on cherche à prouver que les diagonales sont perpendiculaires.

@+

yannD
17-11-2018 19:02:21

Bonsoir

# 80

propriétés du parallélogramme :

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles 2 à 2.

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a deux cotés parallèles et de longueur identique

Un parallélogramme est un quadrilatère qui a des diagonales de même milieu.


je regarde la différence entre parallélogramme/rectangle et je vais vers la droite euh..non vers la gauche du dessin


propriétés du rectangle :

Est ce que le rectangle a ses cotés parallèles 2 à 2 ? bin oui

Est ce que le rectangle a deux cotés parallèles et de même longueur ? oui

Est ce qu'un rectangle a des diagonales de même milieu ? oui, aussi

donc un rectangle a les même propriétés que le parallélogramme

et là, je me dis : mais alors pourquoi l'appelle t-on rectangle et pas parallélogramme ?

c'est cette question qu'il faut se poser ?

yoshi
16-11-2018 18:17:13

Re,

yannD a écrit :

donc je n'utilise pas ce théorème. impossible

Et pourtant, on peut !... En utilisant la symétrie centrale     (mais c'est plus technique et plus long):

Dans une symétrie centrale, le symétrique d'une droite  est une droite parallèle.
Dans une symétrie centrale, le symétrique  d'un segment est un segment de même longueur.
Pour trouver le symétrique d'une droite, il suffit de trouver les symétriques de deux points de la droite.
Pour trouver le symétrique d'un segment, il suffit de trouver les symétriques des extrémités du segment.

Comme ça :
L'énoncé dit D symétrique de A par rapport à M
L'énoncé dit M milieu de [BC] donc B et C sont symétriques par rapport à M.

Quel est le symétrique de (AB) ?
A --> D
B --> C
Donc c'est (DC). Donc (DC)//(AB)

Quel est le symétrique de (AC) ?
A --> D
C --> B
Donc c'est (DB). Donc (DB)//(AC)
Donc le quadrilatère ABDC qui a ses 4 côtés parallèles deux à deux est un parallélogramme...

(Et encore, j'ai en réserve quelque chose dans ma manche...)
@+

yoshi
16-11-2018 18:00:15

Salut,


Oui, c'est tout ce qui est plat : ta page de cahier, le plateau de ta table, le tableau, sauf que un plan a une "longueur" infinie et une "largeur" infinie, c'est aussi grand qu'on veut.... On est en géométrie, hein, pas dans la vie de tous les jours (m^zme si sans les maths et la physique, il n'y aurait pas grand chose debout !).
Considère les parallélogrammes comme une famille, voilà son arbre généalogique ^_^ :

                            ---- Parallélogramme ----
                          /                          \
                         /                            \
                       +                               +                  
          Diagonales de même longueur      Diagonales perpendiculaires
                   ou                                    ou
                   +                                      +
          un angle droit                   2 côtés consécutifs "égaux"
                  |                                       |
                  |                                       |
            rectangle                                   losange
                   \                                     /                
                    \                                   /
                     +                                 +                          
          Diagonales perpendiculaires       Diagonales de même longueur
                    ou                                 ou
                     +                                 +
          2 côtés consécutifs "égaux"           un angle droit
                      \                              /                
                       \                            /
                         ---------  carré  --------

Donc un carré possède toutes les propriétés du rectangle et toutes celle du losange.
Le rectangle et le losange possèdent aussi toutes les propriétés du parallélogramme.

Il existe deux raccourcis :
Si un quadrilatère possède 3 angles droits (le 4e est alors forcément aussi droit) alors c'est un rectangle.
Si un quadrilatère a ses 4 côtés de même longueur alors c'est un losange.

Si prendre le raccourci n'est pas possible (ce n'est pas rare), alors il faut d'abord montrer qu'on a un parallélogramme et ensuite montrer que ce parallélogramme possède une des propriétés supplémentaires citée dans l'arbre "généalogique"...

@+

yannD
16-11-2018 17:02:24

là, aussi, j'ai mal écouté en classe de 5e, ou alors j'étais un peu trop sûr de moi : partie du plan
le plan c'est tout ce qu'il y a en blanc ?

en cherchant aussi, là, je me rappelle qu'en classe de 5e, je confondais parallélogramme et rectangle, j'avais la même image pour rectangle/parallélogramme

On considère un triangle ABC quelconque.
Soit M le milieu de [BA] et D le symétrique du point A par rapport à M.
1) montrer que ABDC est un parallélogramme

phase 1

une fois tracé le dessin, je remarque le segment [MD] tout seul ( dans le vide ) .

je trace les segments [BD] et [CD].
et là, je me dis : et bien, oui, il y a de grandes chances pour que le quadrilatère ABDC soit un parallélogramme.

Puis-je utiliser 4 cotés parallèles 2 à 2 pour montrer que ABDC est un parallélogramme ?

(je réfléchis encore ) :  j'ai tracé le segment [BD] et le segment [CD] mais tout ce que je sais sur eux : ils vont de B à D et de C à D.
pourtant BD = CD et BD // CD ça se voit bien mais je ne peux pas démontrer que [BD] // [CD].
donc je n'utilise pas ce théorème. impossible

autre piste :

l'énoncé me dit : Soit M le milieu de [BC] et D symétrique de A par rapport à M.
D symétrique de A par rapport à M <=> M milieu de [AD].

donc

hypothèse:

M milieu de [BC].
M milieu de [AD].

yoshi
16-11-2018 16:31:19

Re,

Oui, c'est bon.
C'est parce que la définition d'une bande, c'est : partie du plan comprise entre deux droites parallèles...

yannD
16-11-2018 15:50:26

oui,  comme ça je comprends.
je pose une bande de papier ( couleur bleue ) sur une bande de papier ( couleur jaune )
= >  la partie commune de ces 2 bandes est un parallélogramme

Les bords horizontaux de la bande ( couleur jaune ) sont parallèles
Les bords verticaux de la bande  (couleur jaune ) sont parallèles
donc les cotés sont parallèles 2 à 2

-------------------------------------------------------------------------

je lis l'énoncé et je propose une réponse, d'abord, je vais le faire par écrit sur papier ...

yoshi
16-11-2018 14:50:55

Re,

Un bon dessin vaut mieux qu'un long discours : voilà deux bandes transparentes bleu et jaune posées sur l'une sur l'autre la partie commune (verte) est un parallélogramme...
181116034632643173.png
Petit exo.
On considère un triangle quelconque ABC.
Soit M le milieu de [BC] et D le symétrique de A par rapport à M.
1. Montrer que ABDC est un parallélogramme.
2. On suppose qu'en fait ce triangle est isocèle de base [BC]. Montrer alors que ABDC est un losange...

@+

yannD
16-11-2018 13:33:51

j'ai fait la première méthode mais je suis vraiment nul, j'ai pris 2 feuilles de papiers , j'ai placé une feuille sur la table, et l'autre feuille : je la tiens perpendiculaire à la première. (angle 90°)
et l'intersection des 2 feuilles me donne une droite, je vois pas..
j'ai fait cet exo en 5e mais je n'avais pas accroché à cet exo.

yannD
16-11-2018 13:03:26

Oui, c'est ça..
Auriez- vous un exo à me proposer pour appliquer chaque méthode ?
ou, un exo comme celui du # 8.

yoshi
16-11-2018 12:43:45

Bonjour,

C'est toi qui a parlé de vecteurs...
Sinon, pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme, tu disposes de 3 choix :

- montrer que les côtés de ce quadrilatère sont parallèles 2 à 2. (Si tu découpes 2 bandes de papier à bord parallèles et que tu poses ces 2 bandes l'une sur l'autre en faisant l'angle de ton choix, la partie commune aux 2 bandes est un parallélogramme).

- montrer que deux côtés de ce quadrilatères sont parallèles et de même longueur. (sur une feuille de papier, trace 2 droites parallèles. Sur l'une, trace un segment [AB], sur l'autre un segment [CD] tel que CD = AB mais décalé par rapport à [AB]. Si [AB] et [CD] sont de même sens, alors ABDC est un parallélogramme. Si [AB] et [CD] dsont de sens contraires, alors le parallélogramme se nomme ABCD).

- montrer que les diagonales de ce quadrilatère ont le même milieu. (Sur une feuille de papier trace un segment [AC] et note M son milieu. depuis le point M et de chaque côté trace un arc de cercle de rayon différent de MA. Trace une droite passant par M et différente  de (AC) : elle recoupe les arcs de cercle en B et D. Joins |AB], [BC], [CD], [DA] : tu as un parallélogramme ABCD.)

C'est cela  que tu voulais ?

@+

yannD
15-11-2018 20:12:37

Bonsoir et merci

Là, en classe , je n'ai pas encore vu la notion de vecteurs égaux, il faudrait m'aider à revoir la construction de parallélogramme, j'ai bien aimé le premier exercice avec le cours du torrent, etc ....
il faut aussi que je précise qu'en classe de 4e, j'avais des 03/20; 04/20 et il faudrait peut être refaire des exos.
mais si vous êtes  d'accord, bien sûr... à vrai dire, j'apprécierais beaucoup votre aide surtout que l'aide disponible sur ce forum est le seul moyen pour moi d'y arriver.
D'avance merci

yoshi
14-11-2018 18:48:23

Salut,

Tu dois te souvenir de comment on peut définir un vecteur :
Un vecteur n'est défini que si on connaît :
* sa direction (l'inclinaison de la droite qui le porte si tu préfères. Deux droites parallèles ont la même direction)
* Son sens. Sur une droite donnée, pose un point A. Il y a deux sens possibles de déplacement sur un cette droite.
   Par exemple sur une droite horizontale : vers la gauche ou vers la droite...
* sa longueur

Par conséquent 2 vecteurs (leurs représentants choisis en fait) sont dits égaux si
- si ils sont sur la même droite, ou sur deux droites parallèles, donc s'ils ont même direction
- si ils ont le même sens :   
    B     A    C
    <---|--->  les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex] n'on pas le même sens
- si ils ils ont même longueur.

Les deux vecteurs ci-dessus ont même direction, même longueur mais des sens opposés : on dit que ce sont des vecteurs opposés.
De même que l'opposé de 3,85 s'écrit -3,85,
- l'opposé du vecteur [tex]\overrightarrow{AB}[/tex]  s'écrit [tex]-\overrightarrow{AB}[/tex] ou encore [tex]\overrightarrow{BA}[/tex]
- l'opposé du vecteur [tex]\overrightarrow{AC}[/tex]  s'écrit [tex]-\overrightarrow{AC}[/tex] ou encore [tex]\overrightarrow{CA}[/tex]
 
Regarde un parallélogramme ABCD. Ses côtés [AB] et [DC] sont
parallèles
de même longueur
et de même sens
Donc les vecteurs [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{DC}[/tex] sont égaux :  [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]

Réciproquement, sur ta feuille, place deux points distincts A et D : tu peux faire apparaître deux vecteurs opposés : $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{DA}$.
Maintenant place un 3e point C distinct des deux autres.
Tu peux placer alors deux points B différents selon que tu construis B tel que :
- $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}$
ou
- $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DA}$

Dans les deux cas, tu peux faire apparaître un parallélogramme : dans le 1er cas il s'appelle ACBD, ADBC... etc ; dans le deuxième cas c'est ABCD, ADBC ... etc
Pourquoi :
dans les deux cas tu as deux droites parallèles (AD) et (BC) et deux segments [AD] et [BC] de même longueur, donc tu as un parallélogramme.
Donc si tu traces un parallélogramme AMCP tu peux écrire :
$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{PC}$ (ou $\overrightarrow{PMA}=\overrightarrow{CM})$
Et si tu traces deux vecteurs $\overrightarrow{EB}$  et $\overrightarrow{DF}$ égaux : la simple égalité $\overrightarrow{EB} =\overrightarrow{DF}$ te permets de dire que EBFD est un parallélogramme...

C'est plus clair ?

Si c'est non, précise ce qui te paraît obscur...

@+

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