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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

yoshi
Hier 19:38:21

Bonsoir,

J'attendais la suite, mais toi, tu attendais peut-être que te dise : ok, c'est bon !
Alors, oui, c'est bon !
J'ai d'abord construit [AC] sur l'axe des abscisses (équation : y=0), puis M milieu de [AC].
Sur la médiatrice de [AC] (elle passe par M) j'ai placé deux points symétriques (B et D) par rapport à M (donc d'ordonnées a et -a)
Avec M milieu des diagonales, j'ai un parallélogramme.
Avec des diagonales perpendiculaires, ce parallélogramme est devenu un losange.
Comme un carré est aussi un losange, en faisant varier a, à un moment donné, B et D se trouvent placés de telle façon que le losange ABCD est devenu un carré...
La question est : qu'est-ce qu'il a de plus que le losange de départ ?
2 réponses possibles...

@+

yannD
09-12-2018 17:54:58

Bonsoir,,

C'est une construction avec les diagonales  …
       et pour utiliser la  propriété du parallélogramme : Si les diagonales d'un quadrilatère ont même milieu alors c'est un parallélogramme , on commence par la diagonale [BD] et on construit cette diagonale tel que  M soit milieu de [BD].

Pour que M reste le milieu de [BD]. , il faut que les coordonnées du milieu ne bougent pas.

-> donc l'ordonnée doit être zéro, et  si a est l'ordonnée du point B, il faut prendre l'opposé de a pour avoir zéro.

yoshi
08-12-2018 19:38:29

Re,

Comme ces points sont sur la même droite,

Comme ces points sont sur la même droite perpendiculaire à (AC) et passant par le milieu M de [AC], ils sont sur une LA médiatrice de  [AC]

[BC] est un côté, pas une médiatrice.
Si B et D sont sur la médiatrice, alors la médiatrice, c'est (BD).

yannD
08-12-2018 19:31:48

B et D ont même abscisse donc en variant leur ordonnées respectives : ces deux points vont se déplacer verticalement car c'est l'ordonnée qui change. Comme ces points sont sur la même droite, ils sont sur une médiatrice de  [AC], et là, je dois trouver la suite d'une démonstration pour montrer que (BC) est bien le nom de la médiatrice.
En fait , on veut que (BC) soit le nom de la médiatrice…

yoshi
08-12-2018 19:12:36

Et pourquoi donc ?
Je t'ai donné 4 autres points : on n'est plus dans ma construction.
Place ces 4 points et regarde : les 4 côtés n'ont pas la même longueur...
Une fois que tu as vu, tu supprimes tout et tu reviens à la la construction demandée.

Je récris le tout en modifiant la présentation et en élaguant un peu :
Placer un curseur a.
Le régler avec minimum 1, maximum 6, incrément 0.5. Postionner le curseur à 6.0
Placer les points A(2;0), M(4 ;0) et C(6;0)
Tracer la médiatrice de [AC]
Placer les points B(4;a) et D(4;-a).
Tracer les diagonales [AC] et [BD], les côtés [AB], [BC], [CD] et [DA]

Déplace ton curseur et ouvre les yeux.

N-B
ABCD ainsi construit est un losange.
En effet
1. M est le milieu de [AC] : vérification facile par le calcul des coordonnées.
    M est le milieu de [BD] : vérification facile par le calcul des coordonnées.
    Les diagonales du quadrilatère ABCD ont le même milieu, c'est donc un parallélogramme.

2. Par définition, la médiatrice de [AC] lui est perpendiculaire et passe par son milieu, ici M.
    Donc tous les points de la médiatrice de [AC] ont donc la même abscisse (=4).
    Donc B et D qui ont pour abscisse 4 sont sur cette médiatrice.
    Donc je peux appeler cette médiatrice : (BD)
    Alors je peux dire que $(AC)\perp (BD)$
    Ce parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, c'est donc un losange.

@+

yannD
08-12-2018 19:00:33

A(2 ; 0) , B(4 ; 3) .....
c'est B (4 ; 0), non ?

yoshi
08-12-2018 18:50:59

Ouh là, mais ça devient caïman dangereux ! ^_ ^                                       

Oui,
MAIS uniquement parce que D pour coordonnées (4,-a), et que D se déplace en même temps que B de telle façon que M reste le milieu de [BD].
Si D se déplaçait indépendamment de B tu pourras arriver à une configuration en cerf-volant avec
BA = BC d'une part et DA = DC d'autre part, sans avoir l'égalité des 4....

Exemple :A(2;0), B(4;3), C(6;0) et D(4;-6)...
Et pourtant, ici aussi (BD) est la médiatrice de [AC]

Alors pourquoi ça marche avec ma construction ?
A cause de B(4;a) et D(4;-a) --> coordonnées du milieu de [BD] : $\frac{4+4}{2}=4\; ; \;\frac{a+(-a)}{2}=\frac 0 2=0$ ce sont celles de M...
M milieu de [AC] et [BD] --> ABCD parallélogramme -- AB=CD et AD = BC
Et B sur la médiatrice de [AC]  --> AB = CB
Donc on a AB=BC =CD = DA

Ok ?

@+

yannD
08-12-2018 18:30:57

c'est pas vraiment un lézard ! plutôt un crocodile derrière mon kayak…(Ah! Ah!)

Comment dire ? je comprends que la construction doit se faire en plaçant le point B sur la perpendiculaire au segment  [AC], ainsi en déplaçant le curseur : l'ordonnée de ce point va varier , alors  BA = BC  -- > par ce que tout point de la médiatrice est équidistant etc...
oK
Instruction suivante : je place un point D  sur cette même perpendiculaire et l'ordonnée de ce point va varier donc il va se promener sur la même perpendiculaire et donc d'après la propriété de la médiatrice, enfin je répète pas tout, mais comme tout point de la médiatrice est équidistant des extrémités de ce segment alors je vais avoir une autre égalité DA = DC
ce qui signifie que  :
AB = BC
AD = AC donc AB = BC = AD = AC
c'est ça ?

yoshi
08-12-2018 17:43:01

Re,

Fais ton dessin :
Un curseur, 5 points et une droite à tracer...
Où est le lézard ?

@+

yannD
08-12-2018 17:37:28

181208063801437133.jpg

yoshi
08-12-2018 15:31:02

Bon, un p"tit coup de GeoGebra.
Je vais te faire construire un losange en ABCD, en le traçant à partir d'un triangle isocèle  ABC de base [AC], puis le triangle isocèle ADC de base [AC] symétrique du 1er par rapport à (AC).
Donc, crée un curseur a qui varie de 1 à 6 par incrément de 0.5, règle-le à 6.
Place les points A(2;0) ; M(4;0) et C(6;0). M est le milieu de [AC]
Trace la médiatrice de [AC] : elle passe par M et est perpendiculaire à (AC), c'est la définition.
Place B sur cette médiatrice et tel que B(4;a).
Le triangle est ABC est isocèle : B est sur la médiatrice de [AC] et comme tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment, alors on a bien BA=BC.
Place D tel que D(4,-a).
Trace les segments AB], [BC], [CD], [DA]

B et D ayant même abscisse, ils sont la même verticale, donc sur une perpendiculaire à [AC]
Cette abscisse étant 4, le point M est sur [BD]. M étant le milieu de [AC], (BD) est donc le nom de la médiatrice de [AC].
Si tu calcules BM et MD, tu constates que BM = MD = a.
D est le symétrique de B par rapport à M et comme (BD) est perpendiculaire à (AB) alors D est aussi le symétrique de B par rapport à (AC).
M milieu de [AC] et [BD] ==> ABCD parallélogramme.
Ses diagonales (AC) et (BD) étant de pkus perpendiculaires (ou 2 côté consécutifs [AB] et [BC] égaux) alors ABCD est un losange...

Maintenant, il te reste à faire varier le curseur a jusqu'au moment où ABCD sera un carré.

Alors là, regarde et conjecture ce que ce carré a en plus du losange....


(En italique, les preuves de ce je fais)

@+

yannD
08-12-2018 14:32:16

Oui, j'ai re-écrit sans réfléchir...
Maintenant je sais que losange a deux propriétés supplémentaires par  rapport à un parallélogramme, il faut que  continue l'arbre.
Comment puis-je passer du losange a un carré ?

yoshi
08-12-2018 14:02:16

Bonjour,

Au # 80, il est écrit :  Si un quadrilatère a ses 4 côtés de même longueur alors c'est un losange. C'est pour cela que j'ai écrit  : 4 côtés sont égaux dans le losange

Certes, mais tu as oublié de noter qu'on part d'un quadrilatère dont on ne sait rien.
Et que dans le cas qui nous concerne, je t'ai fait tracer un parallélogramme et que je t'ai demandé de chercher ce que ce parallélogramme devait avoir en plus, pour qu'on dise de lui que c'est un losange...

@+

yannD
08-12-2018 11:23:55

Bonjour et merci pour votre aide !

Au # 80, il est écrit :  Si un quadrilatère a ses 4 côtés de même longueur alors c'est un losange. C'est pour cela que j'ai écrit  : 4 côtés sont égaux dans le losange

yoshi
07-12-2018 19:59:09

OUI

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