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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Benjea
08-10-2018 22:01:48

Merci à vous deux pour vos explications.
Tout cela est bien intéressant.

Yoshi, je retiens ta façon astucieuse de présenter la problématique avec le résultat 0...
Je continue à présentir qu'il ne semble pas possible de passer par la démonstration du porte monnaie auquel on ajoute ou retire des sous-sous pour expliquer la chose, mais voilà autant d'explications, de pistes pédagogiques intéressantes...

D_john a écrit :

... Pourquoi ? Simplement parce que c'est beaucoup plus rapide sans réfléchir... et c'est comme ça dans bien des domaines !

Moui... cela m'évoque un sujet qui me touche particulièrement.
Je n'ai aucune prétention intellectuelle n'ayant pas vraiment fait d'études, la seule serait que je sais poser les questions qui dérangent... :)
Je ne parle pas de celle que je pose ici évidemment.

J'ai fréquenté des étudiants de grandes écoles et, si je n'avais pas leurs savoirs, je constatais que la question de candide que m'inspirait leurs explications, pour peu qu'elle sorte de leur savoir livresque, les embarrassait souvent.
Il y avait un manque de créativité intellectuelle parfois.
Peut-être ce qu'évoquait Bourdieu, un manque de pensée critique...
Je suis convaincu qu'un savoir nécessite non seulement d'être appris, non seulement d'être compris, mais surtout d'être ressenti... Alors l'esprit est prêt à créer à ce moment là.
AMHA ;)

D_john
08-10-2018 15:09:31

... je me disais aussi que le style littéraire n'était pas actuel !
La manière la plus visuelle d'expliquer, me semble d'utiliser la symétrie des entiers relatifs (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...) marqués sur une droite. La notion de symétrie est très intuitive (donner/recevoir ; acheter/vendre ; gagner/perdre ou dépenser...) et le symétrique du symétrique évident.
Mais attention, une fois expliqué, il est préférable de tout oublier pour ne retenir que la règle [- x - = +] et savoir l'appliquer. Pourquoi ? Simplement parce que c'est beaucoup plus rapide sans réfléchir... et c'est comme ça dans bien des domaines !

yoshi
08-10-2018 15:01:24

Bonjour,

Je comprends mieux la problématique...
Alors, tant qu'à ouvrir la boîte de Pandore, ouvrons-la en grand : je vais te faire part de la présentation que j'avais adoptée en 4e...
Présentation personnelle, dont je ne suis pas sûr qu'elle soit conforme à l'Histoire...
Donc je commençais par expliquer, à rappeler qu'à l'introduction des nombres relatifs en 5e, il avait décidé, par convention, que + 5 s'écrirait simplement 5....
On redécouvrait ensemble toutes les propriétés connues (en fin de 5e) de l'addition et de la multiplication :
(+5)+(-3) = (-3)+(+5)  écriture d'avant les simplifications... d'écriture
5 x 3 x 2 = (5 x 3) x 2 = 5 x (3 x 2)
quel que soit le nombre a : a x 0 = 0 x a =0
2 x (3 + 5) =  2 x 3 + 2 x 5 développement
3 x 7 +  3 x 5  = 3 x 7 +  3 x 5 factorisation
Ces deux derniers calculs n'étant que les 2 facettes d'une même propriété nommée distributivité de la multiplication sur l'addition.

Et maintenant arrivent les nombres négatifs...
Combien va donc "faire" 2 x (-3) ?
On va m'objecter que c'est simple, - 3 + (-3)... Bah oui, sauf que et D_john l'a effleuré, que $a×b=\underbrace{a+a+⋯+a}_{b fois}$
et que, techniquement, $\underbrace{ b+b+\cdots+b}_{a fois}$, c'est b×a...
Il vous en souvient peut-être que les pendants des mots Dividende et diviseur existent pour la multiplication, à savoir : multiplicande (= quantité qui est multipliée) et multiplicateur... Bon, ils ont un peu disparu des écrans radar...

Et revenons à -3+(-3) qui est (-3) x 2... Oui, mais 2 x (-3) = (-3) x 2...
Certes, c'est la propriété de commutativité de la multiplication, mais pourquoi s'applique-t-elle à des nombre négatifs ?

Alors, l'idée m'était venue de contourner la difficulté en racontant une histoire qui se tient (se non è vero, è ben trovato)...
Je commençais donc par dire qu'on avait décidé que la multiplication notamment garderait les mêmes propriétés dans tous les ensembles de nombres (Entiers relatifs, Décimaux relatifs, Nombres rationnels, Nombres réels : si la multiplication devait changer de propriétés au fil des ensembles de nombres, ç'aurait été le chaos !).
Adoncques, ceci posé, je proposais de calculer de 2 x (-3) en l'additionnant à 2 x 3 :
2 x (-3) + 2 x 3 = 2 x [(-3)+3)] (propriété de distributivité qu'on a souhaité conserver) = 2 x 0 = 0
Et comme 2 x 3= 6, on en déduisait que 2 x (-3) = -6

Cas de (-3) x 2
Là,
soit, c'est clairement (-3)+(-3) = -6,
soit on dit qu'on a souhaité conserver la propriété a x b=b x a (commutativité)...

Cas de (-3) x (-5).
Là, on fait la somme  (-3) x (-5)+(-3) x 5 = (-3) x [(-5)+(+5)] = (-3)  x 0 = 0
Et (cas précédent) comme  (-3) x 5 = -15 alors (-3)x (-5) = +15 = 15

@+

Benjea
08-10-2018 13:06:47
D_john a écrit :

OK donc s'il n'y a pas de contraintes, tu écris simplement :
- soit (-3)x(-3) = 3x3 en appliquant la règle des signes avant de transformer en somme ;
- soit (-3)x(-3) = -(3x(-3)) = -((-3) + (-3) + (-3)) = 3 + 3 + 3 en appliquant la règle des signes après
avoir transformé en somme. Je préfère la première...

En quelle classe est-tu ?

Quand je prends le train?
En 2 ème classe pourquoi????


Je rigole...:) :) :)
J'ai 53 balais, c'est pour mon fils qui est en 4 ème... ;)
Je gère évidemment (et heureusement) les signes mais, si je peux facilement lui expliquer que 3 euro x 3 = 3€ + 3€ +3€ , j'ai du mal à lui expliquer que s'il a -3€ et que je les multiplie par -3 ça fera 9 euros et ce par le biais d'une addition "simple"...
Ton explication, dont je te remercie, est la plus simple je pense.
Le raisonnement passe par une multiplication et implique un signe moins pour le groupe malgré tout...

Difficile, mais j'aurais aimé lui expliquer par le biais d'un raisonnement, simplifié au niveau des opérateurs.
Par exemple pour 3 x 3, c'est facile, littéralement tu dis:
Tu as 3 euro, ces trois euro tu vas les avoir 3 fois : Tes 3 euro initiales + 3 euros et encore + 3 euros...

Comment expliquer simplement et de façon la plus littéraire possible -3 x -3, c'est pas la même histoire :
Si tu as -3 euros, tu "enlèves 4 fois ton débit" pour arriver à 9 euros...?

D'aucun trouverons que pour quelque chose de facile à admettre - par - = +, il est bien inutile de faire cette recherche et je ne suis pas d'accord.
Il y a souvent des règles mathématiques que les étudiants admettent et sur lesquelles ils s'appuient sans pour cela en comprendre la mécanique... (Il en va de même sur une bonne partie du savoir de certains d'entre eux souvent, quelque soit la matière...).

Voilà ma motivation à le comprendre "autrement".
;)

D_john
08-10-2018 12:38:31

OK donc s'il n'y a pas de contraintes, tu écris simplement :
- soit (-3)x(-3) = 3x3 en appliquant la règle des signes avant de transformer en somme ;
- soit (-3)x(-3) = -(3x(-3)) = -((-3) + (-3) + (-3)) = 3 + 3 + 3 en appliquant la règle des signes après
avoir transformé en somme. Je préfère la première...

En quelle classe est-tu ?

Benjea
08-10-2018 11:58:14
D_john a écrit :

Pas mal !... mais si tu isolais le premier signe - du reste, tu obtiendrais quoi ?
Et aussi, pour ne pas mélanger les 3 (3 paquets de 3 éléments), tu peux aussi essayer de trouver la solution pour -3x(-4) non ?

Remarque
Pour les lecteurs, ton énoncé est partiel... en particulier, il manque les contraintes (on n'a pas le droit de...) de ce que tu cherches à faire => difficile de t'aider.


Avec l'exemple que tu proposes ça donnerait:
(-3) x (-4) = (-3)x(-1) + (-3)x(-1) + (-3)x(-1) + (-3)x(-1) 

Et en isolant le moins:
(-1) x ((-3) + (-3) + (-3) + (-3)) je suppose...

En transformant 3 x 3 en 3 + 3 + 3 dans mon énoncé,  "tout est dit", on passe d'une multiplication à une addition...
Je ne vois pas quelles contraintes il faudrait soulever en dehors du fait qu'il faut passer d'une multiplication à une addition comme indiqué.
Donc avec l'exemple que tu proposes, comment transformer la multiplication (-3) x (-4) en addition "pure" (c'est à dire sans autre opérateur que le "+")
(-3) x (-4) = ...+ ... + ... etc...

D_john
08-10-2018 11:15:51

Pas mal !... mais si tu isolais le premier signe - du reste, tu obtiendrais quoi ?
Et aussi, pour ne pas mélanger les 3 (3 paquets de 3 éléments), tu peux aussi essayer de trouver la solution pour -3x(-4) non ?

Remarque
Pour les lecteurs, ton énoncé est partiel... en particulier, il manque les contraintes (on n'a pas le droit de...) de ce que tu cherches à faire => difficile de t'aider.

Benjea
08-10-2018 09:46:29

Bonjour D_john,

La seule réponse à laquelle je pense pour l'instant est la suivante:
(-3)x(-1) + (-3)x(-1) + (-3)x(-1)

Mais cette addition n'échappe pas à la multiplication comme c'est le cas de 3 x 3

D_john
08-10-2018 09:15:45

Salut,
Apparemment, c'est le signe - qui tu gènes. Tu peux par exemple le remplacer par sym (abréviation de symétrique par rapport à zéro).
Ce n'est qu'une piste à explorer... pas une solution pour le moment.

Benjea
08-10-2018 01:58:47

Bonjour,
Quelqu'un pourrait il repondre à cette question svp?

3x3 est égal à 3+3+3
mais comment transformer en addition:
-3x(-3)...?

J'ai ma petit idée mais pas sur...
:)

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