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mati
14-09-2018 19:32:47

Bonsoir
il me semble que j'ai mal posé ma question.
On a le problème
$$
\partial_t u - \Delta u +F(u)= f(t,x), t>0, x \in \mathbb{R}^n; u(x,0)= u_0
$$
où $f$ est définie sur $[0,T]$.
1- première remarque, le problème est posé pour tout $t \in \mathbb{R}_+$ mais le second membre est définie sur $[0,T]$. Est-ce normal?
2- ensuite on a un résultat d'existence et d'unicité qui dit que il existe $\delta>0$ telle que ce problème admet une solution unique $u$ définie pour tout $t \in [0,\delta]$. Et aussi que cette solution est prolongeable à $[0,T]$.
Ma question est: quand la solution est définie sur $[0,\delta]$ alors on dit qu'elle est locale. Et quand on l'a prolonge à $[0,T]$ alors elle est maximale? ou globale?

Merci par avance pour toute aide.

mati
13-09-2018 12:22:30

Bonjour
si on a le problème
$$
\partial_t u -\Delta u + F(u)= f(x,t), t > 0, x \in \mathbb{R}^n
$$
$$
u(x,0)=u_0.
$$
où $f: [0,T] \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$.

1- c'est normal de considérer le problème pour tout $t>$ puis de définit $f$ pour $t \in [0,T]$? Dans ce cas $T$ est fixé ou bien $T=+\infty$?
2- Si on montre que ce problème admet une solution u définie sur $[0,T] \times \mathbb{R}^n$, est-ce que cette solution est dite maximale ou globale?
3- c'est quoi l'intérêt de montrer que la solution est définie sur $\mathbb{R}_+ \times \mathbb{R}^n$ au lieu de $[0,T] \times \mathbb{R}^n$

Merci d'avance.

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