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yoshi
14-09-2018 15:40:22

Re,

Oui..
Tu as fait tous les calculs que j'ai passé sous silence, ils sont justes ! C'est bien...
Ta dernière écriture devrait être :
$a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]=0$
et non
$a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2+\dfrac{-b^2+4ac}{4a^2}\right]=0$ (Rassure-toi, c'est bien juste !)
Mais la forme que je t'ai présentée et que tu as dû voir en cours, présente un gros avantage, qui est que l'on pense immédiatement à chercher sion peut utiliser la forme A²-B²=0

$A=x+\dfrac{b}{2a}$
et
$B =\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$
B lui doit être positif ou nul.
Mais comme  ${4a^2>0}$, en fait on ne s'intéresse qu'au numérateur
soit à :
$b^2-4ac$
Le voilà, le fameux discriminant...
Si $b^2-4ac\geqslant 0$ alors le trinôme du 2nd degré $ax^2+bx+c$ est factorisable et l'équation $ax^2+bc+c =0$ possède soit deux solutions distinctes, soit une solution double...
Sachant cela, lorsqu'on cherche les solutions d'une équation du 2nd degré, on ne va pas refaire tout le travail précédent, mais calculer directement le discriminant :
$\Delta=b^2-4ac$

Il y a des cas où ce n'est pas nécessaire, par exemple $4x^2-3x-1=0$ où l'on voit rapidement que les solutions sont x=1 et x=-1/4 à cause de la solution "évidente" (ça s'appelle comme ça) x = 1.
Donc, on ne peut pas dire qu'il y a deux méthodes, l'une utilisant le discriminant, l'autre demandant d'écrire le trinôme sous sa forme canonique...
Le discriminant av été établi à partir de la forme canonique : c'est un raccourci !

@+

leo0
14-09-2018 12:15:48

Salut

$ax² + bc + c $ est un polynome de degré 2 ( condition a $\not = 0 $ sinon j'ai une droite)

étape 1 : je dois montrer qu'un polynôme de degré 2 peut s'écrire sous la forme $ a (x + \frac{b}{2a})² + \frac{b² - 4ac}{4a²}$

pour cela je factorise et je précise au début de la démonstration que $a \not = 0 $

comme $ a \not = 0$, pour tout réel x :on a  $f(x) = a \left[x² + \frac{b}{a}x  + \frac{c}{a}\right]$



$x² + \frac{b}{a}x$ est le début du développement de l'identité remarquable $(x + \frac{b}{2a})²$

comme $(x + \frac{b}{2a})² = x² + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)²$ alors $\left(x +\frac{b}{2a}\right)² - \frac{b²}{4a²}  = x² + \frac{b}{a}x$

Soit $a\left[x² + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a}\right] = a \left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)² - \frac{b²}{4a²} +\frac{c}{a}\right]$

$a\left[x² + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a}\right] = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)² - \frac{b²}{4a²} + \frac{4ac}{4a²}\right]$

les deux fractions sont au même dénominateur, je peux les additionner

$a\left[x² + \frac{b}{a}x +\frac{c}{a}\right] = a \left[\left(x + \frac{b}{2a}\right)² + \frac{-b² + 4ac}{4a²}\right]$


étape 2 : je dois utiliser une autre identité remarquable $A² - B²$
et pour pouvoir l'appliquer A doit être > 0 et B doit être > 0
c'est bien cela ?

yoshi
13-09-2018 17:57:52

Salut,

Je suivais du coin de l’œil, mais avec attention quand même !
Prêt pour cette année ?

il y a donc deux méthodes pour avoir les racines d'un polynôme ?

Oui et non...Tu n'as probablement pas fait attention, mais je pense qu'on a dû te l'expliquer : tout part de la forme canonique...
Souviens-toi comme tu as peiné là-dessus l'an dernier.
Je raccourcis les calculs.
On part de $ax^2+bx+c =0$
On factorise et on arrive à :
$ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]$
D'ac ?
Maintenant tu mets au même dénominateur les deux expressions en dehors de la parenthèse :
$a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac{4ac}{4a^2}\right]$
et tu arrives à :
$a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right]=a\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^2 -\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right]$

Et maintenant, tu vois que tu ne peux factoriser l'expression que si $\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\geqslant 0$

Or [tex]4a^2>0[/tex]

Donc en revient à la condition [tex]b^2-4ac \geqslant 0[/tex] expression qu'on appelle discriminant et qu'on désigne par le symbole [tex]\Delta[/tex]
Dans ce cas, tu factorises et tu arrives à :
a$x^2+bx+c=0$
$\Leftrightarrow$
$a\left(x+\dfrac{b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\dfrac{b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)=0$

Ce que tu as appris cette année n'est don pas vraiment une "autre" méthode : c'est un "raccourci" qui te fait gagner beaucoup de temps...

@+

leo0
13-09-2018 17:13:52

Bonsoir Yoshi cela me fait plaisir de te retrouver, as-tu passé de bonne vacances ?

en tapant racine carré de 13 sur la calculatrice , j'obtiens 3,60555127546
ainsi je peux  mettre un signe égal, si j'écris 2 + $\sqrt{13}$ = 5,60555127546

j'ai rendu le devoir avec un calcul différent , en calculant le discriminant et les deux racines, puisque c'est le cours de début d'année
mais l'année précédente pour avoir les racines d'un polynôme j'avais plus l'habitude de passer par la forme factorisée
et l'identité remarquable $A^2 - B^2$
il y a donc deux méthodes pour avoir les racines d'un polynôme ?

yoshi
13-09-2018 16:00:43

RE,

Oui, c'est juste... tant que tu n'écris ni x=-1.6 qui est une valeur approchée (donc pas le droit d'écrire = ), ni x= 1.6 qui est faux :
[tex]2+\sqrt{13}\approx 5.6[/tex]

@+

leo0
10-09-2018 15:50:46

Bonjour,

Pour la construction du premier triangle ABC avec géogebra -- > ok
obtenir un triangle A'B'C' avec les cotés x + 3, x+ 4 et x + 4
là, il faudra me montrer..

$A'B' = x + 3$

$A'C' = x + 4$

$B'C' = x + 6$

d'après Phytagore $(B'C')²=(A'B')²+(A'C')² $
soit $(x+6)² = (x+3)²+(x+4)²$
je développe chaque carré
$x² + 12x + 36 = x² + 6x + 9 + x² + 8x + 16$
$x² + 12x + 36 -x² -6x - 9 - x² - 8x - 16 = 0$
$x² - 2x² + 12x - 6x - 8x + 36 - 9 - 16 = 0$
$- x² - 2x + 9 = 0$
$x² + 2x - 9 = 0$
pour résoudre l'équation, je propose
$(x - 2)² - (2)² - 9 = 0 <=> (x - 2)² - 4 - 9 = 0 <=> (x - 2)²  -13 = 0 <=> (x - 2 - \sqrt{13})(x - 2 + \sqrt{13}) = 0$

<=> $(x - 2 - \sqrt{13}) = 0 $ ou bien $(x - 2 + \sqrt{13}) = 0$

L'équation $x² + 2x - 9 = 0$ a deux solutions $ x = 1,6$ et$ x = -1,6$

tibo
10-09-2018 14:13:50

Bonsoir,

Pour le triangle $ABC$, c'est bon.
Mais il faut construire un autre triangle, appelons le $A'B'C'$, ayant pour coté $3+x$, $4+x$ et $6+x$.
Donc tu traces un segment $A'B'$ de longueur $3+x$, puis un cercle de centre $A$ de rayon $4+x$, etc...

leo0
09-09-2018 21:53:16

Bonsoir

je comprends plus trop
j'ai tracé un segment AB = 3
puis un cercle de centre A et de rayon AC = 4 et un deuxième cercle de centre B avec un rayon BC = 6
donc les cercles ne peuvent pas avoir pour rayon 3 + x, 4 + x,  6 + x

tibo
09-09-2018 14:13:56

Ok pour la construction du triangle de coté 3,4,6.
As-tu réussi à le faire sur géogébra ?
Si oui, tu peux faire exactement la même chose, sauf que tes cercles auront pour rayons $3+x$, $4+x$ et $6+x$.


Mais sinon l'énoncé ne te demande pas de faire de shéma.
C'est toujours bien d'en avoir un sous la main, mais ici on peut s'en passer.

Posons $x$ la longueur que l'on ajoute à chaque coté du triangle $ABC$.
On obtient ainsi un triangle $A'B′C′$ avec
$A′B′=...$
$A′C′=...$
$B′C′=...$
Or d'après Pythagore...

À toi de compléter les ... et de continuer le raisonnement.

leo0
09-09-2018 10:39:44

Pour la deuxième construction,  j'ai placé un curseur mais je n'arrive pas à déterminer la longueur max
je dois construire un triangle de coté AB = 3+x; AC = 4+x et BC = 6 + x.


quand je vais bouger le curseur avec la souris
le point B va se déplacer vers la droite avec AB = 3 + x
le point C va se déplacer

je cherche ...

leo0
09-09-2018 10:08:28

Bonjour Tibo




Les mesures des cotés sont 3, 4 et 6

j'ai tracé un segment [AB] = 3

avec le compas, j'ai piqué en A et j'ai tracé un premier arc de cercle de rayon AC = 4

puis je prends la mesure partant de  0 jusqu'à  6 sur la règle graduée.

je pique en B et je trace un deuxième arc de cercle et l'intersection ça va me donner le point C

et le point C est bien l'un des deux points d'intersection des deux cercles.

180909122002293651.png

tibo
09-09-2018 08:41:26

Re,

Finalement on va peut-être revoir comment on dessine un triangle dont les longueurs des cotés sont donnés :
1) Tracer le segment $[AB]$
2) Tracer un cercle de centre $A$ de rayon $AC$
3) Tracer un cercle de centre $B$ de rayon $BC$
4) Le point $C$ est l'un des points d'intersection des deux cercles

Quant à ton triangle rectangle, ok il est bien rectangle, mais il ne respecte pas du tout l'énoncé.
Tu dois ajouter à chaque coté une même longueur.

Sur Géogébra, tu peux créer un curseur (que tu laisse sur 0 au début).
Et tu construis un triangle de coté $3+x$, $4+x$ et $6+x$.

leo0
08-09-2018 21:01:46

Bonsoir Tibo

merci de m'avoir répondu

J'ai construit une première figure avec AB = 4 AC = 3 et BC = 6 enfin disons j'ai essayé puisque j'ai promené le point C avec la souris dans toutes les directions pour essayer d'avoir les mesures données.

Pour avoir un angle droit, et bien toujours en déplaçant le point C avec la souris, j'arrive à obtenir un triangle avec AB = 4
BC = 3 et AC = 5
ainsi pour avoir un triangle rectangle j'ai 3 , 4 et 5

180908111439671824.png

tibo
06-09-2018 17:59:44

Salut,

On va dire ok pour le shéma (même s'il y avait moyen d'être plus précis avec Géogébra).

après j'ai d'autres idées pour l'équation ...

Quelles sont-elles ?

Je te donne le début :
Posons $x$ la longueur que l'on ajoute à chaque coté du triangle $ABC$.
On obtient ainsi un triangle $A'B'C'$ avec
$A'B' = ...$
$A'C' = ...$
$B'C' = ...$

Or d'après Pythagore...

leo0
06-09-2018 14:03:22

j'ai tout simplement dessiner un segment AB puis j'ai placé le point C dans le plan afin d'avoir une représentation d'un triangle ABC

en sélectionnant le quatrième icône en partant de la droite dans la barre d'affichage de géogebra
j'ai déterminer les longueurs des segments [CB] et [CA] en déplaçant le point C avec la souris

j'arrive ainsi à obtenir un triangle dont les cotés sont 3,4 et 6

après j'ai d'autres idées pour l'équation ...

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